任文博， 顏兵兵， 殷寶麟， 帥俊峰

(佳木斯大學機械工程學院，黑龍江佳木斯 154007)

0 引言

并聯(lián)機構(Parallel Mechanism，簡稱 PM)[1～3]，可以定義為動平臺和定平臺通過至少兩個獨立的運動鏈相連接，機構具有兩個或兩個以上自由度，且以并聯(lián)方式驅動的一種閉環(huán)機構.與串聯(lián)機器人相比具有無累積誤差、負載力大、工作空間小，并且結構簡單，動態(tài)響應好等特點[4～6]，而被學者廣泛研究.

機構的運動學分析包括兩種問題，即運動學正解和運動學反解.運動學正解(即已知輸入桿長參數(shù)求出運動平臺的位置和姿態(tài))是解決機構速度、加速度以及其他的受力分析、工作空間分析和機構綜合等問題的基礎[3，4]，而運動學正解卻包含非線性方程組而十分復雜.求解正解通常采用解析法和數(shù)值法，數(shù)值法多采用Newton－Raphson法、桿長修正法、同倫連續(xù)法等等[7～9]，但是這種方法不一定能得到運動學正解的全部解，而且對初值的要求較高，解析法包括矢量代數(shù)法、幾何法、矩陣法、對偶矩陣法、螺旋代數(shù)法、四元素代數(shù)法等等[10～12].

本文對3－RPS型并聯(lián)機構進行運動學正解應用幾何解析法進行了求解，得到全部的位置解，并給出對應空間圖形，驗證實數(shù)解的正確性.

1 建立坐標系及約束方程

3－RPS型并聯(lián)機構如圖1所示，由三條結構相同的運動支鏈連接運動平臺與基座.其中第i運動支鏈(i=1，2，3)與基座Bi點處通過轉動副Ri連接，與運動平臺Mi點處通過球面副Si連接，Ri與Si間通過主動移動副Pi連接.設定基座坐標系OB－xByBzB，其中OB位于基座形狀中心，xB軸、yB軸處于基座平面內.設定基座坐標系OM－xMyMzM，其中OM位于基座形狀中心，xM軸、yM軸處于運動平臺平面內.設定OBBi與xB軸夾角為φBi，且Ri的軸線與 OBBi垂直，OMMi與 xM軸夾角為 φMi..

圖1 3－RPS型并聯(lián)機構

若基座半徑為RB，運動平臺半徑為RM，設定BiMi=li，BiMi與 OBBi間夾角為 θi，則 Bi點在 OB－xByBzB中的坐標可表示為

Mi點在OB－xByBzB中的坐標可表示為

由于幾何封閉關系可知，MjMk任意兩點間距離不變，其中下標(j，k)=(1，2)，(2，3)，(1，3)，即

式中wjk為BjBk任意兩點間距離可表示為

式(6)中的各項系數(shù)分別為

通過解方程組(6)可求得x1，x2，x3的符號解，將結果代入式(5)得θ1，θ2和θ3，進一步代入式(2)可求得動平臺上各球鉸在固定坐標系的坐標以及動坐標系的回轉變換矩陣.

2 數(shù)值實例

若3－RPS型并聯(lián)機構的結構參數(shù)如下:RB=0.1m，RM=0.05m，l1=0.24m，l2=0.18m，l3=0.2m，φBi= φMi=(i－1).將已知量帶入方程(5)，求得16組解，其中12組實數(shù)解，4組復數(shù)解，所得結果如表1.

表1 非線性方程組的全部解

表2給出了其中12組實數(shù)解對應的機構第i運動支鏈與OBBi間的夾角θi.

表2 并聯(lián)機構運動學正解實數(shù)解(度)

由表1，表2可知16組解中有12組實數(shù)解，對應于其中的6組解的運動平臺位于固定的上方，而對應于另外的6組解的運動平臺位于固定平臺的下方.前6組實數(shù)解對應空間圖形，如圖2(a)至(f)所示.

圖2 部分實數(shù)解對應的機構空間圖形

3 結論

由幾何封閉關系建立了3－RPS型并聯(lián)機構運動學正解方程，對所建立的非線性方程組進行了求解，獲得運動學正解方程全部16組解，其中實數(shù)解12組，復數(shù)解4組，并針對所求得的部分實數(shù)解進行了空間圖形驗證.結果表明，針對3－RPS型并聯(lián)機構所建立的運動學正解方程組求解方法精確、可靠.

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