張智卿， 秦銳夫

(浙江樹人大學(xué)城建學(xué)院，浙江杭州 310015)

0 引言

樁基縱向振動(dòng)理論是樁基抗震、防震設(shè)計(jì)，動(dòng)力機(jī)器基礎(chǔ)設(shè)計(jì)和動(dòng)力試樁的理論基礎(chǔ).近幾十年來，學(xué)者們以樁周土體力學(xué)模型的建立為切入點(diǎn)，采用各種理論方法研究了動(dòng)態(tài)豎向荷載作用下樁基的振動(dòng)特性.王奎華[1]采用廣義Voigt模型模擬樁周土體，研究了粘彈性樁的縱向振動(dòng)性狀.Militano[2]利用平面土模型，在時(shí)域內(nèi)研究了瞬態(tài)扭轉(zhuǎn)和縱向荷載作用下單樁的動(dòng)力響應(yīng)問題.闕仁波等[3]，鄭長(zhǎng)杰等[4]基于連續(xù)介質(zhì)模型模擬樁周土體，分別研究了實(shí)心樁和管樁的縱向振動(dòng)問題.余俊等[5]，王小崗[6]將樁土體視為飽和多孔介質(zhì)，分別研究了飽和地基以及橫觀各向同性飽和地基中樁的縱向振動(dòng)特性.然而，以上研究問題的主要對(duì)象為完全埋入式樁基.

值得注意的是，上述研究問題的主要對(duì)象為完全埋入式樁基.然而，部分埋入式樁基已在道路，橋梁和近海平臺(tái)等大型工程中得到了廣泛的應(yīng)用，關(guān)于該問題的研究目前主要集中在部分埋入單樁的自由振動(dòng)特性和群樁縱向振動(dòng)特性.李炳求等[7]采用特征值搜索法得出部分埋入單樁的自振頻率和振型.鐘銳等[8]在考慮土體非線性的前提下，研究了部分埋入群樁的縱向振動(dòng)特性.

迄今為止，關(guān)于部分埋入樁完整性分析方面的研究仍相對(duì)不足.余云燕等[9]基于回傳射線矩陣法，研究了部分埋入變模量樁的動(dòng)力響應(yīng)問題.然而，該研究采用的彈簧和阻尼參數(shù)難以直接與工程實(shí)際參數(shù)相匹配.因此，本文基于單相土體的運(yùn)動(dòng)方程，采用解析的方法研究均質(zhì)土體中部分埋入樁的縱向振動(dòng)響應(yīng)問題.

1 基本假設(shè)及定解問題

計(jì)算模型如圖1所示，樁身沿著垂直方向分為完全埋入地基土體的樁段1和未埋入地基土體的樁段2.為了建立適合該問題的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)假設(shè)如下:(1)樁段1周圍土體為均質(zhì)、各向同性線性粘彈性體，其材料阻尼采用滯回阻尼形式;，地基土層上表面為自由邊界;(2)樁為彈性、垂直、圓形均勻截面樁，樁身底部為彈性邊界，樁與周圍土體完全連續(xù)接觸;(3)樁土系統(tǒng)初始處于靜止?fàn)顟B(tài).

忽略土體縱向位移沿深度方向梯度時(shí)，土體在瞬態(tài)縱向激勵(lì)力作用下的控制方程可以表示為:

式中:wz(r，t)表示土體縱向振動(dòng)位移;Gs，Ds和 ρs分別表示土體的剪切模量，阻尼系數(shù)和密度.

由于樁土體系初始為靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)式(1)進(jìn)行拉普拉斯變換可得:

圖1 樁土動(dòng)力相互作用示意圖

鑒于樁土系統(tǒng)初始靜止，經(jīng)過拉普拉斯變換后樁段1和樁段2動(dòng)力平衡方程可以分別表示為:

式中:Ep，ρp和r0分別表示樁的彈性模量，質(zhì)量密度和半徑分別表示拉氏變換后樁段1和2的縱向位移表示拉氏變換后樁周土體作用在樁身的側(cè)壁切應(yīng)力.

樁段1拉氏變換后的邊界條件可以寫為(采用局部坐標(biāo)表示):

樁段2拉氏變換后的邊界條件(采用局部坐標(biāo)表示):

式中:H2表示樁段2的長(zhǎng)度;kpb2表示樁段1頂部作用于樁段2底部的支撐系數(shù);P*0(s)表示拉氏變換后作用于樁頂?shù)呢Q向力.

樁土接觸面兩側(cè)的銜接條件:

2 部分埋入樁縱向振動(dòng)問題求解

2.1 土體縱向振動(dòng)解

方程(2)解的可以表示為:

式中:I1(qr)和K1(qr)分別為一階第一類和第二類修正的貝塞爾函數(shù).由土層無限遠(yuǎn)處土體的應(yīng)力和位移衰減為零，可得A=0，則方程(8)可以進(jìn)一步表示為:

樁土接觸面處的側(cè)壁切應(yīng)力可以表示為:

2.2 樁縱向振動(dòng)問題求解

利用樁土接觸面的位移銜接條件式(7)，將式(9)和(10)代入式(3)中，可得:

方程(11)的解可以表示為:

式中:

將式(12)代入邊界條件(5)中可以得到C1和C2，則樁段1頂部阻抗函數(shù)可以進(jìn)一步表示為:

方程(4)的解可以表示為:

式中:κ =(－ ρps2/Ep)1/2

圖2 樁段2長(zhǎng)度變化對(duì)樁頂速度導(dǎo)納和速度時(shí)域響應(yīng)影響(H1=20m，Gs=21×07Pa)

根據(jù)阻抗函數(shù)遞推原理，樁段1頂部阻抗與樁段2底部支撐系數(shù)相等，即kpb2=Z1(s).然后，將式(14)帶入邊界條件式(6)可以得到D1和D2，則樁頂阻抗函數(shù)可以進(jìn)一步表示為:

令s=iω，可以在頻域內(nèi)得到樁頂速度響應(yīng)函數(shù)(或稱為樁頂速度導(dǎo)納):

式中:θ= ωTc，t=t/Tc和T=T0/Tc分別表示無量綱頻率，時(shí)間和脈沖寬度;Tc=H/Vp表示彈性縱波從樁頂傳遞到樁底經(jīng)歷的時(shí)間.

圖3 樁段1長(zhǎng)度變化對(duì)樁頂速度時(shí)域響應(yīng)影響(H2=4m，Gs=2×107Pa)

圖4 樁土模量比變化對(duì)樁頂速度時(shí)域響應(yīng)影響(H1=20m，H2=4m)

3 數(shù)值計(jì)算與討論

下面將通過數(shù)值計(jì)算研究主要參數(shù)對(duì)樁頂速度導(dǎo)納和速度時(shí)域響應(yīng)的影響，土體及樁的常用參數(shù)取為:ρs=1600kg/m3，r0=1.0m，ρp=2500kg/m3，Vp=3700m/s，μ =0.25，Ds=0.02，kpb1=4Gsr0/(1－ μ).

樁段2長(zhǎng)度變化對(duì)樁頂速度導(dǎo)納和速度時(shí)域響應(yīng)的影響如圖2所示.由圖2(a)可見，當(dāng)H2為0(即完全埋入樁)時(shí)，速度導(dǎo)納曲線上除第1階共振峰外，以后各階共振峰幅值相等;隨著H2的增大，各階共振頻率逐漸減小，存在大峰夾小峰的現(xiàn)象，這與缺陷樁響應(yīng)曲線類似，表明速度導(dǎo)納曲線無法應(yīng)用于部分埋入樁的完整性分析之中，因此下文中將不再研究部分埋入樁的速度導(dǎo)納響應(yīng)變化特征.由圖2(b)可以看出，部分埋入樁樁段分界面處存在著一定程度的界面反射信號(hào)，且該信號(hào)不存在2次反射現(xiàn)象.隨著H2的增大，由于縱波傳播距離的增大，界面和樁底反射信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)間也相應(yīng)延后，而樁底反射信號(hào)幅值基本上未發(fā)生改變，這表明入射脈沖能量在上部樁段耗散地很少.

圖3反映了樁段1長(zhǎng)度變化對(duì)樁頂速度時(shí)域響應(yīng)的影響.由圖3可見，樁段分界面處的反射信號(hào)與H1大小無關(guān)，而隨著H1的增大，入射脈沖在下部樁土體系中產(chǎn)生了更多的耗散，導(dǎo)致樁底反射信號(hào)的幅值逐漸減小.

圖4反映了固定樁身彈性模量時(shí)，樁土模量比變化對(duì)樁頂速度時(shí)域響應(yīng)的影響.由圖4可見，隨著樁土模量比大范圍地增大(即土體剪切模量減小)，樁段分界面處的反射信號(hào)的幅值有著略微的減小，因此在實(shí)際工程中可以不考慮土體性質(zhì)變化對(duì)界面反射信號(hào)的影響.此外，隨著樁土模量比的增大，樁底反射信號(hào)幅值有著明顯地增大，這與完全埋入樁的變化規(guī)律相同.

4 結(jié)論

(1)樁段2長(zhǎng)度對(duì)樁頂速度導(dǎo)納響應(yīng)有著明顯的影響，隨著的增大，導(dǎo)納曲線的變化規(guī)律與缺陷樁響應(yīng)曲線類似，因此速度導(dǎo)納曲線無法應(yīng)用于部分埋入樁的完整性分析之中.

(2)隨著樁段2長(zhǎng)度的增大，樁段界面和樁底反射信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)間相應(yīng)延后，樁底反射信號(hào)幅值基本上未發(fā)生改變.樁段1長(zhǎng)度變化與樁段分界面處的反射信號(hào)無關(guān)，且隨著H1的增大，樁底反射信號(hào)的幅值逐漸減小.

(3)部分埋入樁樁段分界面處存在著一定程度的界面反射信號(hào)，該信號(hào)不存在2次反射現(xiàn)象，且受到樁周土體性質(zhì)變化的影響很小.因此，在實(shí)際工程中可以忽略土體性質(zhì)變化對(duì)界面反射信號(hào)的影響，同時(shí)需要注意防止此類信號(hào)作為缺陷信號(hào)的誤判.

(4)樁土模量比變化對(duì)樁底反射信號(hào)幅值的影響與完全埋入樁的變化規(guī)律一致，隨著樁土模量比的增大，樁底反射信號(hào)幅值有著明顯地增大.

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