王欣欣

（武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430070）

1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

用迭代方法處理各種反問題已有悠久的歷史。但是研究表明，使用迭代方法求解反問題，有時會出現(xiàn)所謂的“半收斂”現(xiàn)象，即在迭代的早期階段，近似解可穩(wěn)定地得到改進，展現(xiàn)出“自正則化”效應(yīng)，但當(dāng)?shù)螖?shù)超過某個閾值后便會趨向于發(fā)散。因而，使用迭代法求解的關(guān)鍵是要尋找一個恰當(dāng)?shù)慕K止原則，在迭代次數(shù)和原始數(shù)據(jù)誤差水平之間找到平衡值。研究表明，迭代指數(shù)，即迭代步數(shù)正好起到正則化參數(shù)的作用，而這個終止準(zhǔn)則對應(yīng)著正則化參數(shù)的某種選擇方法。并且使用迭代方法求解還有很多優(yōu)點，因此，在正則化問題求解中通常選用迭代的方法，常用的迭代方法有：Landweber 迭代法、VanCittert 迭代方法、最速下降方法和迭代Tikhonov 正則化的求解方法，以及正則化方法的快速數(shù)值實現(xiàn)。

2 基于解空間分解的GMRES 算法及圖像復(fù)原應(yīng)用

2.1 正則化模型與圖像復(fù)原

設(shè)F 和U 分別表示度量空間，度量為ργ和ρμ，算子A：F 到U 映F到U，則該問題變?yōu)榫€性反問題（當(dāng)A 為線性算子時），或非線性反問題（當(dāng)A 為非線性算子時）。“不適定性”（病態(tài)性）是所有反問題所具有的一個共同的特性。一般情況下，不適定性是反問題本身的固有特征：如果問題的先驗信息是未知的，那么就無法得到理想的結(jié)果。因此，我們應(yīng)該盡可能多的收集先驗信息，最大限度的復(fù)原原問題。通常，人們將求解反問題(不適定問題)的理論和方法稱為正則化方法。對于圖像處理問題，由于涉及到大規(guī)模的方程組求解，法方程的維數(shù)太大，此時再應(yīng)用代數(shù)方法求解就會遇到一些難以實現(xiàn)的技術(shù)問題，而選用正則化方法不但可以克服上述缺點，還具有某些優(yōu)點，當(dāng)問題從無窮維度變到有限維度時，迭代求解不會影響系數(shù)結(jié)構(gòu)，而且能夠起到節(jié)約運算空間的效果。這些優(yōu)勢在大規(guī)模計算中非常有利。

對于圖像恢復(fù)的病態(tài)性問題，利用正則化思想進行圖像復(fù)原時，需要利用先驗信息，構(gòu)造某種約束條件，使用數(shù)理統(tǒng)計方法，將圖像復(fù)原這一不適定問題轉(zhuǎn)變成適定問題，進而使得近似解滿足適定性的三項約束，這也是正則化方法的優(yōu)勢所在。

2.2 解空間分解的廣義極小殘量算法

在對線性方程組Ax=b，A 緊算子，進行求解時，為了盡可能減少存儲空間和計算開銷，Krylov 子空間迭代法是求行之有效的方法。當(dāng)系數(shù)矩陣A 對稱正定，共扼梯度法(CG)或預(yù)共轆梯度法(PCG)可快速準(zhǔn)確求解該方程組的近似解；當(dāng)A 對稱但不正定時，極小殘量法或預(yù)極小殘量法則能有效求解方程組。對于一般的非對稱矩陣，常采用廣義極小殘量法、共扼梯度法來求解。GMRES 算法利用Arnold 過程產(chǎn)生Krylov 子空間Kj 的正交基，Arnold 過程中每次迭代運算，都要調(diào)用所有前面的迭代所產(chǎn)生的正交基來生成下一個正交基。

2.3 光學(xué)圖像復(fù)原結(jié)果

對于方程Ax=b，利用基于解空間分解的加速GMRES 算法迭代求解。計算步驟如下：

Step1.置初始值x0=0，并令δ=10-8；

Step2.用解空間分解的加速GMRES 算法迭代求解式Ax=b，在第j 步的值為xj；

圖像復(fù)原實驗中處理的是256*256 尺寸的0-255 灰度級的liftingbody 圖像。用改進信噪比來衡量算法的復(fù)原性能。從復(fù)原之后的對比效果看，共扼梯度法(CG)并不能有效的抑制模糊退化，復(fù)原結(jié)果仍然比較模糊，圖像邊緣有振鈴波紋出現(xiàn)。解空間分解的加速GMRES算法復(fù)原結(jié)果的邊界紋路比較清晰，很好的顯示出原圖像邊緣細(xì)節(jié)部分，與此同時，振鈴波紋因為加窗處理得到有效抑制，整體視覺效果很好。

3 線性代數(shù)方法與圖像復(fù)原應(yīng)用

在涉及到復(fù)雜矩陣和向量的離散圖像復(fù)原模型中，可以從線性代數(shù)方法中得到一種效率較高的求解方法，常用的方法是約束最小二乘法。對約束最小二乘法進行改進，根據(jù)先驗信息，把正則化思想和約束最小二乘法等有機結(jié)合在一起，并將其運用到離散圖像復(fù)原中，得到的約束最小二乘的空域迭代法可以出色的抑制噪聲，而且在噪聲很強是也可以得到很好地復(fù)原結(jié)果。

將正則化思想與約束最小二乘法相結(jié)合，繼而復(fù)原退化圖像。通過對噪聲能量的限制來使用正則化理論，運用空域迭代時很好的抑制了噪聲放大現(xiàn)象，同時克服了病態(tài)性，而且計算速度得到了提升。實驗數(shù)據(jù)表明，本方法更適合復(fù)原污染程度較大的圖像，但不適合復(fù)原模糊程度較大的圖像。

4 總結(jié)與展望

圖像復(fù)原近年來受到了越來越廣泛的關(guān)注，正則化方法理論的發(fā)展也越來越得到完善，許多學(xué)者從模型上、理論上、應(yīng)用上分別展開了對于正則化的圖像復(fù)原的深入研究，本文的研究雖然力求有較強的實用性，但是由于受到多方面的限制，在理論和工程應(yīng)用等方面仍存在很多的待豐富和改進之處，需要在以后的工作中繼續(xù)深入研究。

首先，要加深對觀測圖像的先驗信息的挖掘，因為如果能夠有效利用先驗信息，就能極大的改善估計精度以及問題的病態(tài)性。要充分的利用各種先驗知識，構(gòu)造更加精確地目標(biāo)泛函，設(shè)計出更加優(yōu)良的算法，同時要充分分析現(xiàn)有正則化參數(shù)的選擇方法，結(jié)合各個方法的優(yōu)缺點，構(gòu)造出更加高效的正則化算子；要注意噪聲擴大與圖像復(fù)原的平衡，充分利用成像時的分段平滑性質(zhì)，去除圖像邊緣模糊和振鈴現(xiàn)象。其次，要注重正則化圖像復(fù)原方法與其他圖像復(fù)原方法的有機結(jié)合?，F(xiàn)階段，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析和遺傳算法等新式的算法在圖像復(fù)原方面取得了極大的進展，如果能夠?qū)⑦@些理論結(jié)合在一起，形成優(yōu)勢互補，一定能得到性能更好的圖像處理算法。

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