劉儀廣，錢學(xué)毅，陳慧中，施強(qiáng)來

（武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 武夷山 354300）

基于彈流潤滑理論的雙圓弧齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

劉儀廣，錢學(xué)毅，陳慧中，施強(qiáng)來

（武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 武夷山 354300）

為提高雙圓弧齒輪傳動(dòng)的綜合技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，依據(jù)彈性流體動(dòng)力潤滑的理論，借助于改進(jìn)的微分進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)及Matlab計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)，通過建立同時(shí)追求齒面在一定范圍內(nèi)的縱向重合度最大、齒間最小油膜厚度最大及齒輪傳動(dòng)總體積最小的約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，對(duì)雙圓弧齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了有約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究過程及結(jié)果表明，改進(jìn)的微分進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)能有效地縮短產(chǎn)品的設(shè)計(jì)周期，提高產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量。

微分進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化算法；縱向重合度；約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；彈性流體動(dòng)力潤滑

0 引言

由于雙圓弧齒輪齒廓不受端面共軛條件限制，不易產(chǎn)生干涉，齒形參數(shù)比較靈活，制造工藝簡(jiǎn)單、成本低，因此在高速、重載、大功率機(jī)械傳動(dòng)中具有顯著的優(yōu)越性，尤其是在中小型發(fā)電站汽輪發(fā)電機(jī)組、工業(yè)汽輪機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、透平壓縮機(jī)等行業(yè)應(yīng)用更為突出。和有二百余年歷史的漸開線齒輪相比，雙圓弧齒輪無論在理論研究上，還是在設(shè)計(jì)方法上，都遠(yuǎn)不及漸開線齒輪那樣成熟，都有待進(jìn)一步深入研究。

本文根據(jù)彈性流體動(dòng)力潤滑的理論及雙圓弧齒輪的嚙合原理與設(shè)計(jì)方法，建立了同時(shí)追求齒面在一定范圍內(nèi)的縱向重合度最大、齒間最小油膜厚度最大及齒輪傳動(dòng)總體積最小的約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，擯棄了傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，在修正微分進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)上，通過范例，在追求綜合性能最優(yōu)的前題下對(duì)雙圓弧齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了有約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 雙圓弧齒輪傳動(dòng)齒間最小油膜厚度

對(duì)于雙圓弧齒輪的膠合強(qiáng)度設(shè)計(jì)問題，目前尚無系統(tǒng)而深入的研究。文獻(xiàn)[1～3]就雙圓弧齒輪的冷膠合強(qiáng)度問題提出了如下的設(shè)計(jì)計(jì)算方法。

如圖1兩齒輪的節(jié)圓半徑為R01和R02、端面壓力角為αs、接觸點(diǎn)移距為l。由于在端面上凸齒齒廓的圓弧半徑（一般取為l）要比凹齒的圓弧半徑略小，因而理論上圓弧齒輪的嚙合應(yīng)是點(diǎn)接觸。但是經(jīng)過磨合以后，輪齒接觸部位迅速擴(kuò)大到占整個(gè)齒高的60%～80%以上，這樣，雙圓弧齒輪的嚙合實(shí)際上可以處理為兩個(gè)圓弧圓柱體的線接觸。柱體的半徑為 RK1和 RK2，寬度為2L，圓弧面半徑為l。

圖1 圓弧齒輪傳動(dòng)Fig.1 Circular gear transmission

根據(jù)圓弧齒輪的嚙合原理可以推導(dǎo)出與接觸跡相切的兩共軛齒面的法曲率半徑RK1和RK2，即圓弧面柱體的半徑分別為：

其中，β—螺旋角；RB1、RB2—接觸跡所在圓柱的半徑，由圖1的幾何關(guān)系可得：

沿齒高方向的接觸寬為2L，一般選?。?/p>

L=l（αs-δ）Kmn（αs-δ）

其中：K—系數(shù)，通常K=1.5；mn—齒輪法面模數(shù)；δ—工藝角。

兩圓弧面柱體的對(duì)滾速度即嚙合點(diǎn)沿接觸跡的線速度vK1和vK2為：

式中，v0—節(jié)圓的線速度。作用在輪齒上的法向力為Fn，則單位寬度上的載荷為Fn/2L。這樣，相當(dāng)于圓弧齒輪嚙合的兩個(gè)圓弧面柱體的幾何尺寸、運(yùn)動(dòng)速度和載荷可由以上各式求出。然后，根據(jù)圓弧面柱體的幾何和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，近似地引用Dowson-Higginson線接觸最小油膜厚度公式，并結(jié)合圓弧齒輪的情況進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，即可得到彈流潤滑最小油膜厚度的計(jì)算公式，對(duì)于鋼制圓弧齒輪采用礦物油潤滑時(shí)，最小油膜厚度hmin為：

式中，η0—?jiǎng)恿φ扯?（Pa·s）。在近似計(jì)算時(shí)，上式中兩個(gè)方括號(hào)中的后面一項(xiàng)都可以忽略不計(jì)，并且取

2 雙圓弧齒輪傳動(dòng)的縱向重合度

雙圓弧齒輪傳動(dòng)時(shí)，齒面接觸點(diǎn)是沿軸向移動(dòng)的?？v向重合度εβ表示一個(gè)齒面?zhèn)鬟f運(yùn)動(dòng)的富裕程度，用每一瞬時(shí)參與接觸的輪齒上的點(diǎn)數(shù)和輪齒對(duì)數(shù)的周期變化來描述?？v向重合度對(duì)雙圓弧齒輪傳動(dòng)的承載能力及傳動(dòng)的平穩(wěn)性均有重大的影響[4]。合理選用縱向重合度，可以提高雙圓弧齒輪傳動(dòng)的承載能力，減輕振動(dòng)和噪聲。

3 微分進(jìn)化約束多目標(biāo)優(yōu)化算法

微分進(jìn)化算法（Differential Dvolution，DE）是近來提出的簡(jiǎn)單而高效的多目標(biāo)進(jìn)化算法，目前國內(nèi)外的相關(guān)研究[5～8]主要集中在算法性能的改進(jìn)與完善上。但這些研究還僅限于對(duì)數(shù)學(xué)測(cè)試函數(shù)的研究，在實(shí)際工程應(yīng)用上還存在一些問題，尚需改進(jìn)。

3.1 現(xiàn)有微分進(jìn)化技術(shù)在機(jī)械設(shè)計(jì)中存在的問題

機(jī)械設(shè)計(jì)中的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)往往是在復(fù)雜而苛刻的約束條件下進(jìn)行。當(dāng)利用現(xiàn)存的算法[9～10]進(jìn)行迭代時(shí)，會(huì)發(fā)生下面的問題：①在進(jìn)行變異和交叉操作產(chǎn)生的新個(gè)體有可能在可行域內(nèi)，也有可能在不可行域內(nèi)，而支配關(guān)系的比較和極大極小距離密度的計(jì)算都是在目標(biāo)函數(shù)空間中進(jìn)行的，不可行域內(nèi)的個(gè)體產(chǎn)生的目標(biāo)函數(shù)完全有可能支配可行域內(nèi)的個(gè)體產(chǎn)生的目標(biāo)函數(shù)，其密度值的計(jì)算也同樣具有不確定性，這樣刪除的很可能將是有用的個(gè)體，保留的將是無用的個(gè)體。最后迭代出的結(jié)果很可能毫無意義；②若變異和交叉操作只在可行域內(nèi)進(jìn)行，則每產(chǎn)生一個(gè)新個(gè)體都要進(jìn)行可行性檢驗(yàn)，滿足約束條件則保留，不滿足約束條件則罰掉，再重新搜索，直到滿足約束條件為止。設(shè)計(jì)實(shí)踐表明，復(fù)雜而苛刻的約束條件不但會(huì)使收斂速度慢得讓人難以接受，而且約束邊界上的目標(biāo)個(gè)體還很容易使程序陷入死循環(huán)。

3.2 機(jī)械工程實(shí)用多目標(biāo)微分進(jìn)化算法

為解決前述多目標(biāo)微分進(jìn)化算法所產(chǎn)生的問題，使迭代高速有效，避免程序進(jìn)入死循環(huán)，提出算法如下：

（1）設(shè)置初始參數(shù)：向量維度D、初始群體規(guī)模 NP、縮放因子F、交叉常量CR、最終可行解規(guī)模N。

（2）在可行域內(nèi)隨機(jī)生成初始群體P，規(guī)模為NP。

（3）將群體P中的非劣解加入Pareto候選解集中。

（4）在無約束條件下，用DE的變異和交叉操作，對(duì)群體P和Pareto候選解集中的每一目標(biāo)個(gè)體x都生成一個(gè)新個(gè)體x′。

（5）對(duì)每一個(gè)新個(gè)體x′都進(jìn)行可行性檢驗(yàn)，滿足約束條件的保留，否則直接罰掉。

（6）將所有目標(biāo)個(gè)體和滿足約束條件的新個(gè)體一起構(gòu)成群體T。

（7）如果Pareto候選解集的規(guī)模沒有達(dá)到規(guī)定的大小，將所獲得的非劣解直接加入到Pareto候選解集中，直到達(dá)到候選解集的設(shè)定規(guī)模；否則，比較個(gè)體間的支配關(guān)系，保留支配個(gè)體，丟棄被支配個(gè)體，直到達(dá)到候選解集的規(guī)模；如果所有被支配個(gè)體都丟棄以后，候選解集的規(guī)模仍超過設(shè)定值N，則計(jì)算Pareto候選解集中每一個(gè)體的極大極小距離密度，并刪除密度值最大的個(gè)體，直到達(dá)到候選解集的設(shè)定規(guī)模。

（8）如果滿足中止條件，停止迭代，否則返回（4）。

4 優(yōu)化范例

（1）算例描述：功率P=9000kW，轉(zhuǎn)速n1=6054r/min，n2= 1485r/min，每天24小時(shí)連續(xù)運(yùn)行，持久壽命設(shè)計(jì)。大小齒輪材料均選用42CrMo，單級(jí)人字齒輪結(jié)構(gòu)，齒形GB/T12759為—1991標(biāo)準(zhǔn)雙圓弧齒廓，齒輪精度不低于6級(jí) （GB/T15753—1995）。

（2）選取 5個(gè)設(shè)計(jì)變量：X=[X1,X2,X3,X4,X5]T。式中：X1—小齒輪齒數(shù)；X2—法向模數(shù)；X3—齒寬系數(shù)；X4—螺旋角；X5—齒端修薄長度。

（3）建立目標(biāo)函數(shù)：①將齒輪傳動(dòng)總體積V（X）=f1（X）最小作為第一個(gè)追求的目標(biāo)；②將最小油膜厚度 hmin最大（即倒數(shù)最?。┳鳛榈诙€(gè)追求的目標(biāo)，hmin的計(jì)算按式①進(jìn)行；③將縱向重合度最大（即倒數(shù)最?。┳鳛榱硪粋€(gè)追求的目標(biāo)。式中：b—經(jīng)修薄后單側(cè)齒寬 （mm），b=—小齒輪分度圓直徑d2—大齒輪分度圓直徑（mm），d2=4.077d1。

（4）確定約束條件：依據(jù)文獻(xiàn)[11]和工程經(jīng)驗(yàn)確定約束條件及限定設(shè)計(jì)變量的上下界。

（5）優(yōu)化計(jì)算：用Matlab進(jìn)行程序設(shè)計(jì)計(jì)算，設(shè)置初始參數(shù)：D=6、NP=50、F=0.35、CR=0.6、N=100，循環(huán)200次，結(jié)果得到100組可行解及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。以 f1（X）、f2（X）和 f3（X）為目標(biāo)函數(shù)的非劣最優(yōu)目標(biāo)域如圖2所示。

根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果，從中選取3個(gè)目標(biāo)函數(shù)都接近最小值，綜合性能最佳的一組結(jié)果（決策者也可根據(jù)自己的偏好選擇其他的結(jié)果）作為最終方案：

圖2 非劣最優(yōu)目標(biāo)域Fig.2 The pareto optimal front

式中：φa—齒寬系數(shù)；c—齒端修薄長度 （其它符號(hào)意義同前）?？傮w積V（X）=0.4412×108mm3，最小油膜厚度hmin=11.790μm，縱向重合度εβ=2.7211。

5 結(jié)論

本文改進(jìn)了基于極大極小距離密度的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法，并應(yīng)用該方法對(duì)雙圓弧齒輪傳動(dòng)范例成功地進(jìn)行了優(yōu)化。優(yōu)化設(shè)計(jì)出的雙圓弧齒輪傳動(dòng)即具有較高的膠合強(qiáng)度、接觸疲勞強(qiáng)度、較好的平穩(wěn)性及嚙合特性，又具有較低的產(chǎn)品成本。能夠充分地發(fā)揮圓弧齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的潛質(zhì)，比傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及通過每一單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化的現(xiàn)代方法具有明顯的科學(xué)合理性。

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Multi-objective Optimal Design of a Double Circular Gear Based on the Elastohydrodynamic Lubrication Theory

LIU Yi-Guang，QIAN Xue-Yi，CHEN Hui-Zhong，SHI Qiang-Lai
（College of Mechanical&Electrical Engineering,Wuyi University,Wuyi Mountain Fujian 354300,China）

In order to improve the comprehensive technical and economic indicators of a double circular gear,based on the elastohydrodynamic lubrication theory,by use of the modified differential evolution multi-objective optimization technique and MATLAB computer simulation technology,constrained Multi-objective optimization design model was established with the maximum tooth surface longitudinal contact ratio in a certain range and the maximum value of the film smallest thickness between gear teeth and the minimum total volume of gear transmission,constrained multi-objective optimization design of a double circular gear was done.According to the research process and results,by use of the improved differential evolutionary multi-objective optimization technique,the design cycle of product can be shorten effectively,the design quality of product can be improved.

differential evolution multi-objective optimal algorithm；longitudinal contact ratio；multi-objective optimization design with constraint；elastohydrodynamic lubrication

TH132.416

：Adoi:10.3969/j.issn.1002-6673.2014.03.036

1002－6673（2014）03－090－03

2014－04－08

福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2012D128）；福建省大學(xué)生創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目（sj201210397752）

劉儀廣（1991-），男，河南商丘人，本科學(xué)生。研究方向：機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)及有限元分析。