劉愛超,葛立

（1.黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南駐馬店463000；2.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

螺形映照幾個擴充子族的一種構(gòu)造方法

劉愛超1,葛立2

（1.黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南駐馬店463000；2.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

在復(fù)Cn空間的單位球Bn上已經(jīng)有了星形映照、螺形映照的3個擴充子類：α次殆β型螺形映射、α次β型螺形映射、α次強β型螺形映射,但這3個子類存在支持不夠充足.以復(fù)分析和泛函分析為工具,在Reinhardt域Ωp1…pn上給出了這3種子類的一種構(gòu)造方法,該結(jié)論對單位球Bn同樣成立.

α次殆β型螺形映射；α次β型螺形映射；α次強β型螺形映射；構(gòu)造

單復(fù)變幾何函數(shù)論中的例子一般而言都是大量存在的,但當空間的維數(shù)n＞1時,星形映射和螺形映射及其子族的映射都很少.為此,Roper K A R和Suffridge T J引入Roper-Suffridge算子,利用該算子可以構(gòu)造高維空間螺形映照和星形映照及其子族.隨后Graham I等在Roper-Suffridge算子上又做了很多工作[1-3].當今利用Roper-Suffridge算子構(gòu)造高維空間的映照已成為多復(fù)變幾何函數(shù)論研究的熱點之一.目前,國內(nèi)這方面也展開了一些研究,并取得一系列可喜的成果[4-5].且高維空間映照的構(gòu)造研究仍在不斷深入[6-8].

在參閱文獻[4]、[5]的基礎(chǔ)上,本文在Reinhardt域Ωp1…pn給出了次殆型螺形映射、次型螺形映射、次強型螺形映射的一種構(gòu)造方法.

1 預(yù)備知識

文獻[4]中,Cn中的單位球Bn已經(jīng)有了星形映照、螺形映照的3個擴充子類：α次殆β型螺形映射、α次β型螺形映射、α次強β型螺形映射的定義.3種定義中,只需將用代替,即得Ωp1…pn上相應(yīng)的3種定義.文中不再贅述.

當n=1時,有相應(yīng)的單位圓盤D上α次殆β型螺形函數(shù)、α次β型螺形函數(shù)、α次強β型螺形函數(shù)的定義.

文獻[4]中還給出了3個對應(yīng)的例子,說明單位圓盤D上α次殆β型螺形函數(shù)、α次β型螺形函數(shù)、α次強β型螺形函數(shù)確實是存在的.

引理1[10]設(shè)ρ(z )是Ωp1…pn的Minkowski泛函,,則

引理2設(shè)fj(z)(1≤j≤n)為單位圓盤D上正規(guī)化雙全純函數(shù),且

則

證明：由引理1進行簡單計算可得.

2 主要結(jié)果與證明

定理1若fj(z)(1≤j≤n)為單位圓盤D上正規(guī)化α次殆β型螺形函數(shù),則為Ωp1…pn上α次殆β型螺形映射

因而F( z)=(f(z),…,f(z))′為Ω上α次殆β型螺形映射.

1n

定理2若fj(z)(1≤j≤n)為單位圓盤D上正規(guī)化α次殆β型螺形函數(shù),λj≥0滿足,則為Ω上α次殆β型螺形映射.p1…pn

證明：僅討論α≠0的情形,α=0時結(jié)論顯然成立.令

定理3若fj(z)(1≤j≤n)為單位圓盤D上正規(guī)化α次β型螺形函數(shù),則 F( z)=(f1(z),…,fn(z))′為Ωp1…pn上α次β型螺形映射.

因而為Ωp1…pn上α次β型螺形映射.

定理4若fj(z)(1≤j≤n)為單位圓盤D上正規(guī)化α次強β型螺形函數(shù),則F( z)=(f( z),…,f(z))′

1n為Ωp1…pn上α次強β型螺形映射.

證明：由引理2知

注記：在域Ω上,當p1=p2=…=pn=2時,此時泛函ρ(z)=z,上述各定理即成為Cn中的單位球Bn上的相應(yīng)結(jié)論或文獻[4]中的結(jié)論.

定理5設(shè)F( z)為單位圓盤D上正規(guī)化α次強β型螺形函數(shù),則

證明：結(jié)合引理1及文獻[11]有

從而

或F( z)為域Ωp1…pn上的α次強β型螺形映射.

當β=0時,即得域Ωp1…pn上α次強星形映射的結(jié)論

注記1：當p1=2,即得算子

注記2：當p1=…=pn=2,β2=…=βn時,本定理即為Cn中的單位球Bn上的結(jié)論,文中不再贅述.

3 小結(jié)

自Roper-Suffridge算子出現(xiàn)以來,許多學(xué)者都對其做了很多研究,從而在不同域上引申出不同形狀的Roper-Suffridge算子.在參考諸多文獻的基礎(chǔ)上,文章結(jié)合Roper-Suffridge算子在Reinhardt域Ωp1,…,pn上給出了α次殆β型螺形映射、α次β型螺形映射、α次強β型螺形映射的一種構(gòu)造方法,從而為他們的存在性提供了實例.

[1]Graham I,Kohr G,Kohr M.Lowner chains and the Roper-Suffridge extension operator[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2000,247（2）：448-465.

[2]Graham I,Kohr G.Univalent mappings associated with the Roper-Suffridge extension operator[J].Journal d’Analyse Mathématique,2000,81（1）：331-342.

[3]Graham I,Hamada H,Kohr G,et al.Extension operator for locally Univalent mappings[J].Michigan Mathematical Journal,2002,50（1）：37-55.

[4]馮淑霞.多復(fù)變數(shù)的幾類全純映照族[D].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2004.

[5]劉小松.多復(fù)變函數(shù)幾何函數(shù)論中某些映照子族的性質(zhì)[D].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2004.

[6]劉名生,朱玉燦.有界完全Reinhardt域上推廣的Roper-Suffridge算子[J].中國科學(xué)A輯：數(shù)學(xué),2007,37（10）：1193-1206.

[7]劉名生,朱玉燦.在Banach空間上推廣的Roper-Suffridge算子（Ⅲ）[J].中國科學(xué)A輯：數(shù)學(xué),2010,40（3）：265-278.

[8]朱玉燦,劉名生.在Banach空間上推廣的Roper-Suffridge算子（Ⅰ）[J].數(shù)學(xué)學(xué)報：中文版,2007,50（1）：189-196.

[9]Taylor A E,Lay D C.Introduction to functional analysis[M].New York：John Wiley and Sons,1998.

[10]Liu T S,Zhang W J.On decomposition theorem of normalized biholomorphic convex mappings in Reinhardt domains[J].Science in China,Sect.A,2003,46（1）：94-106.

[11]Feng S X,Liu T S.The generalized Roper-Suffridge extension operator[J].J.Acta Mathematica Scientia,2008,28B（1）：63-80.

（責任編輯：盧奇）

A construction method of some subclasses of spirallike mappings

Liu Aichao1,Ge Li2
（1.Department of Mathematics,Huanghuai College,Zhumadian 463000,China；2.Henan institute of science and techonology,Xinxiang 453003,China）

Three subclasses of starlike mapping and spirallike mapping have also existed on unit ball in complex space,which were almost spirallike mappings of type β and order α,spirallike mappings of type β and order α,strongly spirallike mappings of type β and order α respectively,but the existence is not enough for these three subclasses. Using complex analysis and functional analysis,a kind of constructive method for the there subclasses was given.The same conclusion is true for unit ball Bn.

almost spirallike mappings of type β and order α；spirallike mappings of type β and orderα；strongly spirallike mappings of type β and order α；construction

O174.5

A

：1008-7516（2014）01-0043-06

10.3969/j.issn.1008-7516.2014.01.009

2013-10-22

河南省計劃項目（112300410251）

劉愛超（1979-）,男,河南新鄭人,碩士,講師.主要從事多復(fù)變函數(shù)論研究.