李 柳， 邵富群， 王占軍

（1.沈陽師范大學物理科學與技術學院，遼寧沈陽 110034；2.東北大學信息科學與工程學院，遼寧沈陽 110004；

3.沈陽師范大學計算機與數(shù)學基礎教學部，遼寧沈陽 110034）

電磁層析成像中新型歸一化算法的設計與實現(xiàn)

李 柳1， 邵富群2， 王占軍3

（1.沈陽師范大學物理科學與技術學院，遼寧沈陽 110034；2.東北大學信息科學與工程學院，遼寧沈陽 110004；

3.沈陽師范大學計算機與數(shù)學基礎教學部，遼寧沈陽 110034）

基于電容和電阻層析成像技術中靈敏度矩陣非線性歸一化方法，提出了電磁層析成像中使用線性歸一化方法的不合理性，在推導出其解析解的前提下，建立了電磁層析成像技術中的新型歸一化模型，并給出了新型靈敏度模型的歸一化公式。比較了原始和新型模型對于靈敏度歸一化的效果，并將新型歸一化模型應用到圖像重建中，比較了成像質量，用相關系數(shù)比較了兩種模型和原圖的相關度，得出了結論：新型靈敏度歸一化模型更逼近原始靈敏度的變化趨勢，采用新型模型重建圖像的質量更高。

計量學；電磁層析成像技術；歸一化；靈敏度；圖像重建

1 引 言

歸一化是一種無量綱處理手段，使物理系統(tǒng)數(shù)值的絕對值變成某種相對值關系，是簡化計算、縮小量值的有效辦法。在電層析成像技術中存在不同的變量，例如檢測電壓、圖像灰度、靈敏度等；也存在用同一單位表示同一變量的主成分數(shù)值大小差距比較大的現(xiàn)象，這樣會出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的問題，將會忽略方差小的變量信息，傾向于方差大的變量信息。為了可以均等地對待每個變量，消除因單位和數(shù)值差距較大帶來的影響，在使用數(shù)據(jù)前需要對原始數(shù)據(jù)進行歸一化預處理。常見的歸一化方法有線性函數(shù)轉換法、對數(shù)函數(shù)轉換法和反正切函數(shù)轉換法。

圖像重建是正向模型的逆問題，是嚴重病態(tài)逆問題，對檢測值中的噪聲非常敏感，微小的擾動會導致介質電導率或磁導率分布（由圖像灰度向量表示）急劇變化，以至不能得到穩(wěn)定的解。測量值或者靈敏度（物場中微小單元對檢測值的影響程度）的歸一化處理有助于降低噪聲的影響。一般情況下，不同測量極板測得的測量值相差較大（通常相差幾十甚至上百倍），而采用無量綱化的處理方法，即對測量值變化量和靈敏度矩陣進行歸一化處理，通?？蓽p少各電極對間電容值和噪聲干擾。

2 電層析成像技術中的靈敏度歸一化方法

對于電層析成像技術而言，從正問題的數(shù)學模型可以看出，測量值和靈敏度模型比較復雜，很難用解析方法求解，常用數(shù)值方法分析。因此，很難用上述歸一化模型預處理數(shù)據(jù)，而要根據(jù)數(shù)學模型推導出特定的歸一化模型。

對于電容層析成像技術（ECT）［1，2］，測量值和靈敏度歸一化模型的選擇依據(jù)相應的應用工藝場合及兩相流的模型［3，4］。ECT技術通用的歸一化模型主要有并聯(lián)模型、串聯(lián)模型、混合模型和Maxwell模型。對于不同類型的不同多相流模型，可以采用不同的歸一化模型，即使采用同樣的圖像重建算法，成像質量也有很大差別。Yang對幾種模型進行了對比研究，指出采用串聯(lián)模型在大多數(shù)流型分布時，可以改善圖像重建質量，更適合測量值與電容或等效介電常數(shù)為嚴重非線性的情況［5］。電阻抗層析成像技術（ERT）采用對數(shù)形式近似表示靈敏度歸一化形式。

電磁層析成像技術（EMT）是能重現(xiàn)兩種不同介電常數(shù)或磁導率物體分布的技術，它的正問題主要是研究檢測線圈對傳感器磁矢位的變化，逆問題是重建磁導率分布情況，即，利用測量的磁矢位實現(xiàn)圖像重建。EMT系統(tǒng)主要重建不同磁導率兩相流或多相流物場。為了提高重建圖像的質量，一般情況下，都要對測量的磁矢位和靈敏度矩陣做歸一化處理。傳統(tǒng)的歸一化方法是在假設EMT系統(tǒng)數(shù)學模型線性化前提下得到的，歸一化的磁矢位滿足線性歸一化函數(shù)，即

式中，λold為一對線圈間的歸一化磁矢位，Am為實際測量值，而Ah和Al為滿場和空場時同一對線圈間的磁矢位測量值。從式（1）看，當物場中充滿低磁導率媒質時，歸一化磁矢位應該為0，當物場中充滿高磁導率媒質時，歸一化磁矢位為1，當物場中放置一個高磁導率物體時，歸一化λold為Ah和Al之間的線性插值。

然而，實際的磁矢位A和磁導率的分布之間有很復雜的關系，

從式（2）看，磁矢位和磁導率不是簡單的線性關系，因此，歸一化磁矢位也不能套用傳統(tǒng)的線性公式，要想得到歸一化磁矢位公式，必須從式（2）的解析解出發(fā)推導出磁矢位和磁導率的關系。

3 電磁層析成像中歸一化模型的建立

3.1 EM T中新型歸一化模型的推導

對于二維平面場，A只有此平面的垂直分量，式（2）可簡化成標量方程為

式（7）的通解為

式（8）為虛宗量貝塞爾方程，它的解為

因此，可以得到式（5）的通解為

式中，A、B、E、F為常數(shù)。

利用分離變量法可以解出式（6）的通解為

式中，C、D、P、Q為常數(shù)。

邊界條件為：

（1）在物體和媒質分界面上A連續(xù)：

A1（a，φ）＝A2（a，φ）

（2）在物體和媒質分界面上H的切向分量相等，

由此可見，EMT的磁矢表達式不是線性形式，得到的歸一化表達式也不能是線性的。如式（18）可知，歸一化參數(shù)與滿場和空場磁矢有關，是在傳統(tǒng)參數(shù)的基礎上添加了新的系數(shù)構成的，即

式中，k為修正參數(shù)。

3.2 EMT中不同歸一化模型仿真結果分析

對于8線圈單激勵EMT仿真系統(tǒng)，利用有限元法［7］解正問題得到檢測值的數(shù)值結果，建立靈敏度矩陣，并利用不同的歸一化方法（根據(jù)式（1）和式（20）的相應歸一化處理方法分別稱為“原始歸一化方法”和“新型歸一化方法”）對靈敏度進行預處理。

不同靈敏度歸一化方法處理數(shù)據(jù)的結果如圖1所示，比較了兩種歸一化方法對不同位置靈敏度的影響。圖1（a）描述了物場中心處70個剖分單元的歸一化靈敏度的分布情況，圖1（b）描述了物場邊緣處最外側的70個剖分單元靈敏度受兩種歸一化處理方法的影響結果，其中，淺色實心圓圈表示按照式（20）計算所得的新型靈敏度歸一化分布情況，深色空心圓圈表示按式（1）計算所得的原始歸一化結果。從兩種歸一化結果可以看出：

（1）靈敏度新型歸一化算法所得數(shù)據(jù)和線性歸一化模型所得數(shù)據(jù)變化規(guī)律類似，但比較集中，符合實際靈敏度分布情況。

（2）中心處的單元靈敏度集中程度更高，集中在0.3～0.8之間，這樣會在圖像重建中提高圖像的相關度。

圖1 不同靈敏度歸一化算法的比較結果

通過標準Tikhonov正則化［8］方法和Landweber迭代法［9］對不同流型（如圖2的（a）、（b）、（c）3種原型）進行圖像重建。采用相關系數(shù)［10］評價圖像質量，相關系數(shù)指標反映了原象與重建圖像的像素灰度之間的相關性，列于表1。為了更好地比較4種歸一化模型對成像質量的影響，最后灰度圖像不進行灰度門限過濾處理。

表1 新型和原始靈敏度歸一化方法重建圖像相關性比較

從圖像重建結果和圖像評價指標可以看出：新型靈敏度歸一化算法的圖像成像誤差比原始算法小，相關性比較高，尤其對提高物場中心處的靈敏度起重要作用，使物場中心處物體的成像誤差大大減小，更接近原始圖像。

4 結 論

電磁層析成像技術中的新型靈敏度歸一化模型是建立在其數(shù)值解的基礎上的，和線性歸一化模型相比，新型歸一化模型的靈敏度分布更符合原始靈敏度的分布規(guī)律。用新型靈敏度歸一化模型進行圖像重建，采用相關度指標評價成像結果得出結論：新型靈敏度歸一化算法的圖像成像誤差比線性算法小，相關性比較高，圖像的相關度較高。

圖2 新型和原始靈敏度歸一化算法對成像結果影響

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The Design and Realization of a New Normalization Algorithm in Electromagnetic Tomography

LILiu1， SHAO Fu-qun2， WANG Zhan-jun3
（1.College of Physics Science and Technology，Shenyang Normal Univerisity，Shenyang，Liaoning 110034，China；
2.College of Information Science and Engineering，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110004，China；
3.Shenyang Normal University，Shenyang，Liaoning 110034，China）

According to new sensitivity normalizations of electrical impedance and electrical capacitance tomography，the irrationality of linear normalization of sensitivity matrix of electromagnetic tomography is proposed.The new sensitivity normalizationmodel is established based on the analytical formula in electromagnetic tomography.The formula of the new sensitivity normalization is given.The normalization effect of new model is compared with the original.The new sensitivity normalization is applied to the image reconstruction，and evaluated the image quality using the criterion correlation.It is conclusion that the new sensitivity normalizationmodel ismore close to the original trend and got higher reconstruction image quality.

Metrology；Electromagnetic tomography；Normalization；Sensitivity；Image reconstruction

TB973

A

1000-1158（2014）01-0049-05

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．01．11

2012-07-06；

2012-11-17

遼寧省自然科學基金（20102203）

李柳（1978－），女，遼寧沈陽人，博士，沈陽師范大學副教授，主要從事層析成像技術的研究。synuliliu＠sohu.com