馬澤峰 陸洲導(dǎo) 許建立 蔡茲紅

（1.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海200092；2.上海建筑設(shè)計研究院有限公司，上海200041）

均勻布筋的雙偏壓矩形柱簡化設(shè)計

馬澤峰1，2*陸洲導(dǎo)1許建立2蔡茲紅2

（1.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海200092；2.上海建筑設(shè)計研究院有限公司，上海200041）

在荷載等值線法的基礎(chǔ)上，考慮均勻配筋形式，通過大量變參數(shù)、多水平的數(shù)值運(yùn)算，擬合雙偏壓鋼筋混凝土矩形柱截面軸壓比與無量綱彎矩等值線的相關(guān)指數(shù)的函數(shù)關(guān)系，以及兩主軸方向軸壓比與無量綱參數(shù)?m的關(guān)系曲線?；谒脧?qiáng)度曲線提出簡化計算方法，并通過試驗驗證。給出算例以明確應(yīng)用過程。提出的簡化方法具有精度高、運(yùn)算快的優(yōu)點(diǎn)，可用于實(shí)際的工程設(shè)計。

雙偏壓，荷載等值線法，無量綱，相關(guān)指數(shù)

1 引 言

承受軸力及雙向彎矩的柱構(gòu)件普遍存在于建筑結(jié)構(gòu)中。典型的是框架結(jié)構(gòu)的角柱、縱向柱列較少的房屋、管道支架和水塔的支柱等。即便是邊柱或中柱，也會由于相鄰跨跨度的差異以及荷載分布的不均勻而處于雙偏壓受力狀態(tài)。研究表明，影響雙偏壓柱截面強(qiáng)度的因素主要有軸壓比（n）、混凝土和鋼筋的強(qiáng)度（fc，fs）及本構(gòu)關(guān)系、縱筋配筋率（ρ）、縱筋的布筋形式、截面尺寸（H高，B寬）、保護(hù)層厚度及偏心角度（θ）等［1］。以往針對雙偏壓柱的研究主要考慮的是普通強(qiáng)度混凝土（NSC），對現(xiàn)代高層建筑中普遍采用的高強(qiáng)混凝土（HSC）方面內(nèi)容卻涉及較少。另外，截面的高寬比（SR＝H／B）影響的研究也集中在SR∈［1，2］的區(qū)間，對SR∈（2，4］的扁柱強(qiáng)度特點(diǎn)的研究成果幾乎沒有。

經(jīng)典的研究雙偏壓截面強(qiáng)度的思路主要有兩種，一種是精確化方法，另一種是近似化方法。精確化方法也可稱為一般化方法，根據(jù)處理思路的不同又可分為纖維積分法和等效矩形應(yīng)力圖法。纖維積分法的假定少，適應(yīng)性強(qiáng)，精度高，同時需要大量的迭代運(yùn)算，耗費(fèi)計算資源，應(yīng)用復(fù)雜。許多學(xué)者［2，3］對纖維積分法進(jìn)行簡化，手段主要是通過減少受壓混凝土的積分塊數(shù)，增加單塊范圍內(nèi)的積分點(diǎn)數(shù)，盡量在一定精度范圍內(nèi)減少運(yùn)算次數(shù)，提高迭代效率。

近似化方法就是對雙偏壓強(qiáng)度面的近似。我國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50010—2010）采用的是倪克勤（N.V.Nikitin）公式。這種方法是用平面來近似模擬強(qiáng)度面，是彈性階段的應(yīng)力疊加法，實(shí)際是一種容許應(yīng)力法，這種設(shè)計思路與我國規(guī)范普遍采用的極限強(qiáng)度法不同，相對落后，按此方法計算的強(qiáng)度面也偏保守。美國規(guī)范ACI 318—05［4］推薦的布雷斯勒（Bresler）荷載倒數(shù)法，從破壞面上點(diǎn)與近似平面上點(diǎn)的距離角度推導(dǎo)出與倪克勤公式實(shí)際相同的形式。這種方法更方便用于驗證，而很難用于實(shí)際設(shè)計。

布雷斯勒建議的另一種近似方法，既荷載等值線法也被美國規(guī)范ACI 318—05［4］及歐洲規(guī)范EN 1992-1-1：2004［5］采用。按這種方法，給定軸力N作用下的強(qiáng)度面可由式（1）的無量綱形式近似表示：

另外，隨著現(xiàn)代混凝土技術(shù)的發(fā)展，高強(qiáng)混凝土（HSC）廣泛用于實(shí)際工程。高強(qiáng)混凝土材料強(qiáng)度高，延性差，變形能力弱，其力學(xué)性質(zhì)不能簡單地由普通混凝土（NSC）外推獲得。前述針對普通混凝土雙偏壓強(qiáng)度研究的成果用于高強(qiáng)混凝土?xí)r，必然需經(jīng)過修正。

截面的高寬比（SR）是矩形截面柱的主要形狀參數(shù)，隨高寬比的增加，構(gòu)件由正常柱過渡為扁柱，兩方向尺寸差別逐漸加大，必然會對極限強(qiáng)度造成一定影響。

本文的主要工作是基于縱筋均勻配置的布筋方式，考察軸壓比、混凝土和鋼筋的強(qiáng)度及本構(gòu)關(guān)系、縱筋配筋率、截面高寬比等因素對雙偏壓荷載作用下截面強(qiáng)度破壞面的影響。經(jīng)過大量數(shù)值計算，回歸無量綱參數(shù)與強(qiáng)度破壞面的函數(shù)關(guān)系，提出近似強(qiáng)度面的擬合公式，并將公式直接用于工程設(shè)計。

2 分析基礎(chǔ)

式中，Mxu，Myu為給定軸力下，截面繞x軸和y軸的極限彎矩；α1，α2為與前述截面強(qiáng)度影響因素相關(guān)的指數(shù)。

這種破壞面的表達(dá)形式在實(shí)際設(shè)計中仍較難應(yīng)用，不過更接近真實(shí)的強(qiáng)度破壞面，更符合現(xiàn)階段規(guī)范的極限設(shè)計思路。布雷斯勒的分析和試驗工作主要偏重于荷載倒數(shù)法，對于荷載等值線法，僅給出公式，并沒有對指數(shù)取值進(jìn)行細(xì)化，建議取α1＝α2∈［1.15，1.55］。

許多學(xué)者［6，7］在荷載等值線公式基礎(chǔ)上，對指數(shù)α1，α2的取值進(jìn)行了深入研究。提出了不同的取值簡化計算方法。歐洲規(guī)范EN 1992-1-1：2004［5］給出的指數(shù)α1＝α2＝a為：對于圓形和橢圓形，a＝2；對于矩形a取值見表1。

2.1 基本假定

數(shù)值模擬采用查德維爾（Chadwell）開發(fā)的程序XTRACT進(jìn)行，基于下述計算假定：

（1）平截面假定，變形前、后均保持平面。

（2）忽略剪切變形影響。

（3）混凝土與鋼筋充分粘結(jié)，無滑移。

（4）不考慮混凝土抗拉強(qiáng)度，混凝土受壓本構(gòu)如式（3）和圖1（a）所示，鋼筋均為三級鋼（HRB400），設(shè)計強(qiáng)度fy＝360 N／mm2，本構(gòu)關(guān)系如圖1（b）所示。

式中，fc為混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計值；σc，σs為混凝土和鋼筋的應(yīng)力；εc為混凝土壓應(yīng)變；ε0，εcu為混凝土峰值壓應(yīng)變和極限壓應(yīng)變；fcu，k為混凝土立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；t為系數(shù)，且t≤2。

（5）縱筋極限拉應(yīng)變?nèi)?.01。

表1 EN 1992-1-1：2004中a取值Table 1 Value a for EN 1992-1-1：2004

a與軸壓比n的二次函數(shù)關(guān)系如下式：

（6）縱筋沿截面周長均勻布置，計算時等效為沿截面四邊厚度相等的鋼筋膜，詳見圖2。

圖1 混凝土、鋼筋本構(gòu)關(guān)系Fig.1 Constitutivemodels for concrete and steel

圖2 均勻布筋等效鋼筋膜Fig.2 Equivalent reinforced membrane

（7）保護(hù)層厚度均取25 mm。

2.2 截面承載力計算公式

將截面分為有限多個混凝土單元、縱筋單元，并近似取單元內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力為均勻分布。為保持平截面，混凝土纖維和鋼筋纖維的應(yīng)變應(yīng)滿足以下公式：

受壓區(qū)外邊緣混凝土壓應(yīng)變εc達(dá)到混凝土極限壓應(yīng)變εcu且鋼筋纖維最大應(yīng)變εs1＜0.01時，截面極限曲率φu應(yīng)滿足

受壓區(qū)外邊緣混凝土壓應(yīng)變εc小于混凝土極限壓應(yīng)變εcu且鋼筋纖維最大應(yīng)變εs1達(dá)到0.01時，截面極限曲率φu應(yīng)滿足：

正截面承載力應(yīng)滿足：

式（4）—式（6）中，N，Mx，My為設(shè)計軸力，繞x軸和y軸的設(shè)計彎矩；εci，σci，Aci為第i個混凝土單元的應(yīng)變、應(yīng)力和單元面積；εsj，σsj，Asj為第j個鋼筋單元的應(yīng)變、應(yīng)力和單元面積；xci，yci為第i個混凝土單元中心到y(tǒng)軸和x軸的距離；xsj，ysj為第j個混凝土單元中心到y(tǒng)軸和x軸的距離；r為截面中心至中和軸的距離；h01為截面受壓區(qū)外緣至最遠(yuǎn)鋼筋纖維之間垂直于中和軸的距離；θ為x軸與中和軸的夾角；xn為中和軸至受壓區(qū)混凝土最外側(cè)邊緣的距離。

3 無量綱強(qiáng)度面擬合及設(shè)計思路

3.1 設(shè)計強(qiáng)度控制面擬合思路

通過變參數(shù)多水平數(shù)值計算。首先，在布雷斯勒荷載等值線法基礎(chǔ)上，確定定軸壓比時歸一化的無量綱彎矩等值線mx－my，找到其指數(shù)a與軸壓比n的函數(shù)關(guān)系，重點(diǎn)考察高強(qiáng)混凝土和截面高寬比對等值線指數(shù)的影響；然后，回歸沿截面主軸方向（x軸、y軸）軸壓比n與無量綱化的彎矩?m之間的函數(shù)關(guān)系。同時，引入無量綱參數(shù)λ，即縱筋配筋特征值，詳見式（7），其實(shí)質(zhì)是全截面鋼筋強(qiáng)度與混凝土強(qiáng)度的比值。λ將截面縱筋配筋率、鋼筋強(qiáng)度與混凝土強(qiáng)度聯(lián)系起來，從而起到減少參數(shù)，提高結(jié)果曲線適用性的作用。mx，my，n與?m定義見式（8）。

3.2 軸壓比與荷載等值線的冪指數(shù)關(guān)系擬合

定軸力時荷載等值線關(guān)系式如下所示：

數(shù)值參數(shù)的選取范圍見表2。根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50010—2010）中規(guī)定，全截面縱筋的最大配筋率不應(yīng)大于5%，則對于強(qiáng)度為C30的混凝土，λ最大值為1.25，對C80的混凝土，λ最大值為0.50，為充分體現(xiàn)高強(qiáng)混凝土的曲線特征，表2中對0.01～0.05區(qū)間的λ取值進(jìn)行了細(xì)分。計算結(jié)果詳見圖3。

表2 模型參數(shù)及取值Table 2 M odel variables and the values

圖3 mx－my荷載等值線Fig.3 mx－myload contours

由圖3（a）可以看到，在其他影響因素相同時，高寬比不同截面的mx－my曲線幾乎相同，說明經(jīng)過無量綱化的荷載等值線不受截面高寬比影響。由圖3（b）可以看到，在其他影響因素相同時，混凝土強(qiáng)度越高，mx－my曲線越向內(nèi)收，即指數(shù)a越小，混凝土強(qiáng)度在C50以下時內(nèi)收不明顯，但在高強(qiáng)混凝土階段（C60以上），內(nèi)收幅度相對較大。由圖3（c）可以看到，在其他影響因素相同時，縱筋配筋特征值越大，在大偏壓階段mx－my曲線越向內(nèi)收，且相差較大，但當(dāng)λ≥0.3時，曲線相差不明顯。這與之前文獻(xiàn)的結(jié)果類似，即大偏壓階段，指數(shù)a值由軸壓比n決定，但受配筋率和混凝土強(qiáng)度影響；小偏壓階段則基本只與軸壓比相關(guān)。根據(jù)上述曲線特征，相對保守地取λ＝0.5，SR＝1，混凝土為C50時計算得到的nmx－my曲面作為確定指數(shù)a的基礎(chǔ)模型，忽略大偏壓時縱筋和混凝土的影響。借助1stOpt（1.5版）軟件對不同軸壓比水平時的指數(shù)a進(jìn)行最小二乘擬合，計算結(jié)果如圖4所示，a－n的四次多項式回歸關(guān)系如下式所示：

由圖4可以看到：a－n曲線呈下凹形，參考計算結(jié)果，a的最小值在大小偏壓界限點(diǎn)附近取得；在小偏壓階段與歐洲規(guī)范EN 1992-1-1：2004［5］相似；但在大偏壓階段，曲線相差較大；因美國規(guī)范ACI 318-05［4］中給出的是粗略的建議值，主要依據(jù)是布雷斯勒的建議值，在某些區(qū)段取值低于式10的擬合值。針對大偏壓情況，經(jīng)計算對比，曲線差異主要是布筋方式引起的，縱筋越靠近邊中點(diǎn)，遠(yuǎn)離角點(diǎn)則a取值越小，但在本文研究的均勻布筋情況下，指數(shù)a的曲線應(yīng)按圖4呈下凹形。這種大偏壓下的偏離現(xiàn)象在Shin［8］、Fossetti［1］及Bajaj［7］等的文獻(xiàn)中也有出現(xiàn)。

圖4 a擬合曲線及對比結(jié)果Fig.4 a curve fitting and results comparison

3.3 無量綱相關(guān)曲線n－?m擬合

經(jīng)過兩主軸方向的計算分析，當(dāng)縱筋配筋特征值λ相同時，軸壓比與歸一化的無量綱彎矩（n－?mk）曲線并不完全重合，如圖5（a）所示，混凝土強(qiáng)度越大，曲線越向內(nèi)收，圖中曲線由外向內(nèi)從C30過渡到C80，這與文獻(xiàn)［9］中所得結(jié)論有差異。但按式（11）進(jìn)行混凝土強(qiáng)度修正后，可以近似認(rèn)為n－?m曲線僅與λ相關(guān)?；炷翉?qiáng)度修正系數(shù)k1的取值見表3。

圖5 n－?m修正曲線Fig.5 n－?m modified curves

表3 修正系數(shù)k1Table 3 Adjusting factor k1

經(jīng)混凝土強(qiáng)度修正后的n－?m曲線如圖6所示，實(shí)線為計算值，虛線為擬合值。n－?m曲線中，相關(guān)彎矩最大值?m0為截面高寬比SR及縱筋配筋特征值λ的函數(shù)，相對關(guān)系如圖7所示，回歸函數(shù)見式（12），k2為調(diào)整系數(shù)。

圖6 n－?m曲線的正規(guī)化處理Fig.6 Normalized n－?m curves

圖7 ?m0－λ函數(shù)關(guān)系Fig.7 ?m0－λfunctional relation

通過式（13）對圖6中的計算值曲線（實(shí)線）進(jìn)行正規(guī)化處理，即將原n－0－?m坐標(biāo)軸上的曲線向n′－0－?m′坐標(biāo)軸上轉(zhuǎn)化，從而能以冪函數(shù)形式擬合原曲線（虛線）。假定擬合曲線關(guān)于n＝（1－λ）／2對稱，大小偏壓界限點(diǎn)位于對稱軸上，這與實(shí)際結(jié)果有所不同，實(shí)際界限點(diǎn)對應(yīng)軸壓比為圖6中的ˉn，略低于對稱軸。

正規(guī)化處理后冪函數(shù)的指數(shù)γ與截面高寬比SR及縱筋配筋特征值λ的曲線關(guān)系如圖8所示，圖中圓點(diǎn)為擬合數(shù)據(jù)，回歸函數(shù)見式（14），擬合函數(shù)均值0.997，方差0.01。

圖8 γ－λ－SR函數(shù)關(guān)系及擬合曲面Fig.8 γ－λ－SR functional relation and the fitting surface

3.4 設(shè)計思路

基于上述強(qiáng)度面擬合結(jié)果，實(shí)際設(shè)計應(yīng)用時可按圖9的流程進(jìn)行。這里縱筋配筋率的取值是關(guān)鍵，建議可取初值為0.05，并采用二分法逐步逼近精確值?？紤]到按式（13）進(jìn)行曲線歸一化處理時對稱軸的近似誤差，出于安全考慮，定義

并在用于設(shè)計時限定f∈［0.90，0.95］，這樣可以保證截面實(shí)際強(qiáng)度面包絡(luò)設(shè)計強(qiáng)度面。

圖9 設(shè)計流程圖Fig.9 Design flow chart

4 擬合強(qiáng)度面準(zhǔn)確性驗證

為明確前述擬合強(qiáng)度面的準(zhǔn)確性，采用文獻(xiàn)［8，10］中的試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行強(qiáng)度分析，并與試驗結(jié)果進(jìn)行對比，詳細(xì)的分析結(jié)果見表4。以函數(shù)f評判破壞面的準(zhǔn)確度，其數(shù)值越接近1則擬合度越好。從表4可以看到，除第一組試驗中的試件RC-5和第二組中的MSC-B偏差略大外，擬合強(qiáng)度與兩組雙偏壓柱試驗結(jié)果吻合較好，這也說明按上述方法擬合雙偏壓柱強(qiáng)度面的做法可行，且基本滿足精度要求。

5 算 例

矩形截面柱，截面尺寸為H＝600 mm，B＝300 mm，fc＝14.3 N／mm2，fy＝360 N／mm2，軸壓力N＝1 500 kN，彎矩Mx＝120 kN·m，My＝220 kN·m，求按圖10所示方式配筋情況下單根鋼筋面積。

表4 試驗值與計算值對比表Table 4 Com parison of calculated values and the test results

圖10 均勻布筋示意圖Fig.10 Uniformly distributed reinforcement

按圖9所示流程，采用二分法選取縱筋配筋率，并進(jìn)行迭代，詳見表5。迭代到第4步就得到滿足要求的配筋率，即ρ＝0.032。按此數(shù)值本例需配縱筋1225，實(shí)配筋率ρ＝0.033。

按上述計算配筋截面強(qiáng)度曲線與設(shè)計荷載之間的關(guān)系見圖11，考慮到計算配筋值低于實(shí)配縱筋值，以及強(qiáng)度驗算時出于安全考慮取0.9～0.95的折減（圖9中的判別框），所得實(shí)際承載力曲線可以包絡(luò)設(shè)計荷載。

表5 變配筋率試算表Table 5 The trial of variable reinforcement ratios

圖11 截面強(qiáng)度曲線與設(shè)計荷載Fig.11 Section strength curve and design load

6 結(jié) 論

由前文所述可知，采用《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50010—2010）中規(guī)定的混凝土和鋼筋的本構(gòu)曲線，基于縱筋均勻分布的配筋方式以及荷載等值線理論，雙偏壓矩形柱的破壞面擬合曲線具有下列性質(zhì)：

（1）歸一化的極限彎矩曲線的相關(guān)指數(shù)與軸壓比的函數(shù)關(guān)系a－n可用四次多項式擬合；

（2）兩主軸方向正規(guī)化的軸壓比與無量綱彎矩n－?m的關(guān)系可用冪函數(shù)擬合；

（3）設(shè)計應(yīng)用時，可根據(jù)擬合無量綱函數(shù)得到要求截面的強(qiáng)度面，再與設(shè)計荷載對比，通過有限次迭代可求解；

（4）擬合曲線可用于高強(qiáng)混凝土及大高寬比扁柱截面（高寬比≤4）；

（5）通過與試驗結(jié)果的對比分析，所建議擬合曲線的精度能滿足設(shè)計要求，有助于簡化雙偏壓構(gòu)件的設(shè)計過程。

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A Sim p lified Design M ethod for Uniform ly-reinforced Rectangular Columns Subjected to Axial and Biaxial Bending Forces

MA Zefeng1，2*LU Zhoudao1XU Jianli2CAIZihong2
（1.Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction，Tongji University，Shanghai200092，China；2.Shanghai Institute of Architectural Design and Research，Shanghai200041，China）

Based on the load contourmethod，a series of section analysis of uniformly-reinforced rectangular RC columnswere performed under the guidance ofmulti-factor and multi-level orthogonal parameter strategy.The polynomial relation between the exponent value of the dimensionlessmoment contour and the axial load ratio was statistically fitted.By introducing the dimensionless quantity?m in the principal axis direction，the variation relation ofmoment capacity over axial load ratio was decoupled.A simplified design method was proposed and also verified with existing experiment data.Finally，the design procedure was illustrated through an example.The proposed simplified method is of high precision and computational efficiency，and applicable to engineering design.

axial load and biaxial bending，load contourmethod dimensionless，related index

2013－11－05

*聯(lián)系作者，Email：mazf＠siadr.com.cn