路芳

(包頭師范學院數(shù)學科學學院，內蒙古包頭014030)

在離散數(shù)學課中引入研究型題目的教學實踐*

路芳

(包頭師范學院數(shù)學科學學院，內蒙古包頭014030)

為了增強學生對抽象概念的掌握和對相關知識應用的理解，將研究型題目引入離散數(shù)學教學中。通過完成閱讀題目和課后實踐題目，使學生提高學習興趣，達到掌握知識、提高能力的目的。

離散數(shù)學;研究型題目;教學實踐

離散數(shù)學是以離散的量及其相互關系作為主要研究對象的一門計算機專業(yè)基礎課。學生通過對這門課程的學習，可以培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，掌握處理離散結構的描述工具和方法，提高對實際問題的數(shù)學本質的表述能力。因此，做好這門課程的教學工作，保證學生學習效果，就要將理論和實際應用結合起來，既要注重對理論進行細致的分析，又要注重實際應用的介紹和實踐。通過有意識地對學生的引導，讓他們感受到離散數(shù)學課程的實際應用價值。

概念多、定義抽象是離散數(shù)學課程的特點，雖然在計算機領域有著廣泛的應用，但在教材中卻沒有很好的體現(xiàn)，使得學生在學習中感覺內容脫離應用，抽象難理解，影響了學習的積極性。另外，網絡的高度普及應用，使得一些學習自覺性差的同學容易受到課堂外因素的吸引，影響了上課學習的主動性。

基于上述原因，教師需要通過變革教學的方式方法，不僅要想辦法在課堂上吸引學生的注意力，保證課堂教學效果，而且要通過調動學生學習的積極性和主動性，使他們愿意在課堂外通過認真完成作業(yè)達到掌握知識、提高能力的目的。在教學中，我引用設計了一些研究型題目，用以改革教學模式，改進教學方法。

1 以問題的求解導入新課，激發(fā)學生學習興趣

離散數(shù)學課程理論性強、概念抽象，要想在課堂上吸引學生的注意力，讓他們跟著教師的引導一步步由理解到掌握知識，需要我們用心設計好每一節(jié)課，尤其是新課的導入環(huán)節(jié)。實踐證明，通過實例問題的分析，引出相關知識的教學內容，可以增加學生的興趣。例如在介紹邏輯推理時，可以舉例:

認真聽講或者按時完成作業(yè)，是學生學習成績好的必不可少的條件。小麗成績好但不認真聽講。因此，小麗肯定按時完成作業(yè)。

要求學生判斷以下哪項和上述的論證方式最類似。

A.一個影視作品要想有高收視率或票房價值，作品的質量和必要的包裝宣傳是缺一不可的。A上映以來票房價值一般但實際上質量堪稱上乘。因此，它缺少必要的廣告宣傳。

B.必須有超常業(yè)績或者30年以上工齡的雇員，才有資格獲得公司的特殊津貼。B先生獲得了特殊津貼但在公司僅供職2年，因此他一定有超常業(yè)績。

C.如果一個公司既經營無方又鋪張浪費，則一定會嚴重虧損。C公司雖經營無方但并沒有虧損，說明它沒有鋪張浪費。

D.罪犯要實施犯罪，必須既有作案動機，又有作案時間，在這個案件中，D有作案動機但沒有作案時間。因此，他不是該案的作案者。

E.一個論證不成立，當且僅當它的論據(jù)虛假，或者推理錯誤。E的論證雖然邏輯嚴密，推理正確，但還是被認定為不能成立?？梢?，她的論據(jù)有虛假的成份。

學生通過對這個問題的分析討論，得到一個選項，但要想說明自己的選擇正確與否，就需要用命題邏輯的知識來推導了。首先，將已知推理的形式結構的符號化形式寫出來:

然后分別寫出各選項的形式結構，通過比較得出B的推理結構與它最類似。

這樣引入教學，可以抓住學生的注意力，使他們知道這節(jié)課的理論知識可以解決哪一類問題，從而明確聽課的目的，保證了教學效果。

2 設置課堂教學陷阱，強調容易被忽視的問題

在課堂上，學生難免因為所學內容的枯燥而思維游離，所以在講授知識的過程中，要用心設計一些教學陷阱，既可以集中學生的注意力，也突出了要強調的知識點。例如，在介紹有向圖的關聯(lián)矩陣時，先給出關聯(lián)矩陣的定義:

然后給出一個帶環(huán)的有向圖，要求學生根據(jù)定義寫出它的關聯(lián)矩陣。在遇到帶環(huán)的點時，矩陣中的相應元素是無法給出的，此時和學生一起分析出現(xiàn)這種狀況的原因是這個點既是有向邊的起點又是終點，無法按定義寫出矩陣元素，于是對照定義強調，有向圖的關聯(lián)矩陣應排除帶環(huán)圖的情況。通過這個例子，強調了有向圖關聯(lián)矩陣的定義是針對沒有環(huán)的有向圖這一要求。經過掉入陷阱－得到解救這樣的過程，強調知識的重點、難點，同時也可活躍課堂氣氛、提高學生學習積極性。

3 布置課前閱讀題目，了解教學內容的相關知識

離散數(shù)學是計算機學科的專業(yè)基礎課，在很多后續(xù)專業(yè)課程中有廣泛的應用，在學習這門課程的時候，大部分專業(yè)課還未開課，所以學生對離散數(shù)學的應用沒有感受，因而影響了學習興趣。比如，學生雖然學習過函數(shù)的內容，但在離散數(shù)學課程中，函數(shù)的概念被推廣到是對離散的量的一種運算，相應的概念更加抽象了，學生學習過程中總是難以理解，感覺較中學時的內容更加枯燥無味。而這部分知識在計算機科學中非常重要，可以說，計算機對數(shù)據(jù)的輸出都可以看成是輸入數(shù)據(jù)的某個函數(shù)，但教材中一般都沒有介紹。為了彌補這個不足，又不至占用課堂時間，可以通過布置課前閱讀題目，讓學生了解與課程內容相關的背景知識、前沿知識和應用實例。

例如，在計算機中存儲一批數(shù)據(jù)，為了準確讀取到相應的數(shù)據(jù)，要確定每個數(shù)據(jù)的位置，這樣就要通過建立在存儲表與數(shù)據(jù)編碼間的散列(Hash)函數(shù)來進行，所以，在講解函數(shù)前，可以出示一些例子，如:

設計算機內存中有編號從0到10的存儲單元，按次序將15、558、32、102、5存入后的情形如圖1所示，若要在這些存儲單元中存儲任意非負整數(shù)并可以進行檢索。試用Hash函數(shù)完成對259和558的檢索。

圖1:數(shù)據(jù)與存儲單元的對應關系

要求學生查找、閱讀與散列函數(shù)有關的資料，了解它的定義和在計算機領域的應用。在此基礎上，學生不僅可以得出本問題的解為h(259)=259 mod 11=6，h(558)=8，而且也對函數(shù)在計算機領域的應用能有一個較全面的了解，從而達到明確所學內容的實際應用，激發(fā)學習熱情的目的。

4 設計課后研究型題目，鍛煉解決問題的能力

關于離散數(shù)學知識的應用，并不是所有內容都適合布置課前閱讀，有些知識只有在經過課堂講授，學生對概念有了一定的理解后，才能對相關的應用有所領悟。因此，為一些知識點設計課后研究型題目，讓學生在通過查閱資料，撰寫學習報告來加深對新概念的理解，同時嘗試用所學理論和方法去解決實際問題。

例如，在介紹了有向圖的鄰接矩陣后，有定理:設A為有向圖D的鄰接矩陣，D的頂點集為V= {v1，v2，…vn}，則A的k次冪Ak中的元素a(k)ij為D中vi到vj長度為k的通路數(shù)。這個定理教材中沒有給出證明，可以布置課后作業(yè):

圖2:有向圖D及其鄰接矩陣

通過對這個問題的解答，學生由定義能得到A (D)中i行j列元素表示D中vi到vj長度為1的通路數(shù)，再根據(jù)矩陣乘法的定義，分析出A2中i行j列元素表示D中vi到vj長度為2的通路數(shù)，從而在理解了定理內容實質的基礎上，找到利用數(shù)學歸納法來證明本定理的方法。通過對類似問題的研究，不僅讓學生接觸到了所學知識的具體應用，同時也鍛煉了解決問題的能力，增強了科學研究意識。

5 設置編程題目，在實踐中理解和掌握算法

用計算機求解問題的基本步驟是:首先由實際問題建立起相應的數(shù)學模型，設計出相應的算法，再編程實現(xiàn)。離散數(shù)學知識便是在培養(yǎng)學生運用離散結構做出問題的抽象模型，進而構造算法的能力。所以，在每個教學模塊結束時，設計一兩個編程題目，要求學生解答，可以使他們在實踐中掌握所學算法，提高解決問題的能力。

編程題目可以分為兩類，簡單的設計題目是對照數(shù)據(jù)結構中的某些算法，讓學生用程序語言實現(xiàn)。比如編程實現(xiàn)對歐拉圖的判定，求解最優(yōu)二叉樹等，通過實踐對所學定義定理的應用，使抽象的理論具體化。綜合性的實驗題目是針對每個知識模塊給出的，要求學生給出解決問題的方案，并編程實現(xiàn)。例如，給出一個游樂園中不同游樂項目的費用和分布情況及距離，要求學生設計出滿足游客對游園線路最短、游樂項目最全等不同需求的程序。通過問題的解決，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和科學研究的能力。

通過上述幾個環(huán)節(jié)的題目設計，將離散數(shù)學課的教學用各類題目串連起來。通過課前閱讀了解新課程中內容的應用領域，通過問題引領完成課堂學習，再通過完成課后研究型題目加深對概念的理解，鍛煉數(shù)學表達能力。這一系列的過程中，選擇、設計合適的實例是實施這一教學改革的重要保證。

6 結語

引入研究型題目的教學實踐，是一種通過實例增強對抽象概念的理解和對知識的應用的教學方法，達到了將理論與應用相結合的目的，有效地保證了教學質量。這種教學設計，可以提高學生學習的主動性和積極性，有利于數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，對今后專業(yè)課的學習、能力的提高有很好的促進作用。

［1］馬慧，等.離散數(shù)學的實例化概念教學法［J］.計算機教育，2011，(16).

［2］郭曉姝.離散數(shù)學教學模式改進探討［J］.計算機教育，2012，(5)

［3］屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數(shù)學［M］.北京:清華大學出版社，2008，1.

The Teaching Practice by Importing Research Problem in Discrete Mathematics

LU Fang
(Faculty of Mathematical Science，Baotou Teachers’College;Baotou 014030)

In order to strengthen students＇mastery of combine theory and application，our teaching method is Enhancing Comprehension of Concepts via research Example.By completing reading and practice to make the students understand the abstract concepts，Improve the learning interest.The goal is to achieve knowledge and improve ability of purpose.

discrete mathematics;Research Problem;Teaching practice

G642.0

A

1004－1869(2014)01－0086－03

2013－12－31

路芳(1970－)，女，山東長清人，副教授，研究方向:計算軟件與理論。