母德強(qiáng)，謝新旺，崔博，陳懿

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012)

近年來(lái)，隨著高精度機(jī)械加工技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)零件形位誤差要求也在不斷地提高。為了保證被加工工件的形位精度要求，在線測(cè)量是首選的檢測(cè)方法。而由于加工系統(tǒng)中存在著許多不可預(yù)測(cè)的影響因素，使得工件形位誤差的在線測(cè)量變得十分困難，誤差分離技術(shù) (Error Separation Technique，EST)的出現(xiàn)為形位誤差的在線測(cè)量提供了可能［1］。

誤差分離技術(shù) (EST-Error Separation Techniques)于20世紀(jì)五六十年代發(fā)展起來(lái)，歷經(jīng)國(guó)內(nèi)外三十余年的研究，現(xiàn)在已經(jīng)有了很強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)和很豐富的內(nèi)容。通過一些學(xué)者的不斷努力，誤差分離技術(shù)現(xiàn)在有很廣泛的發(fā)展。比如:根據(jù)是否使用傅里葉變換可以把誤差分離技術(shù)分為頻域法誤差分離技術(shù)和時(shí)域法誤差分離技術(shù);根據(jù)使用傳感器個(gè)數(shù)可以分為反向法誤差分離技術(shù)、兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)、三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)、四點(diǎn)法誤差分離技術(shù)等［2］;根據(jù)檢測(cè)形狀的不同又分為圓度誤差分離技術(shù)、直線形狀誤差分離技術(shù)等。

在眾多的誤差分離技術(shù)中，頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)用于在線檢測(cè)時(shí)僅使用兩個(gè)傳感器，因方便安裝而倍受青睞。不過其缺陷是:該方法無(wú)法完全分離零件的偏心誤差，分離結(jié)果含有誤差。此外兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果的誤差規(guī)律還沒有一個(gè)明確的規(guī)則。因此對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)尚無(wú)一個(gè)客觀的分析。作者正是基于此而進(jìn)行探索，旨在從理論分析與實(shí)踐上進(jìn)一步探索兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)原理誤差的影響因素及影響規(guī)律，力求提高兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)在線測(cè)量的精度問題。

1 兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的測(cè)量原理

兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)由三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)發(fā)展而來(lái)的。因?yàn)閮牲c(diǎn)法誤差分離技術(shù)用到了傅里葉變換，因此兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)又稱為頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)。頻域三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理圖如圖1所示。

圖1 頻域三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理圖

圖中，O為傳感器A、B和C所在位置處的位移敏感中心線的交點(diǎn)，也為該轉(zhuǎn)軸的實(shí)際回轉(zhuǎn)中心。但是該截面的最小二乘圓心為O0，與實(shí)際回轉(zhuǎn)中心O的偏心距為e。以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，x軸的正方向?yàn)閺幕剞D(zhuǎn)中心O指向傳感器A，并通過其中心線;y軸的正方向?yàn)閺幕剞D(zhuǎn)中心O指向傳感器B并通過其中心線，垂直于x軸。

設(shè)h(θ)為工件的圓度誤差，δx(θ)、δy(θ)為主軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)誤差在x、y上的分量;傳感器之間的夾角如圖1所示［3］。所以，3個(gè)傳感器的輸出為

為了消除各傳感器輸出中的回轉(zhuǎn)誤差分量，對(duì)等式 (1)— (3)乘以不同的等權(quán)常系數(shù)1、a、b然后相加，得到的方程為

為了能更好地使用傅里葉變換，在進(jìn)行測(cè)量時(shí)等間隔地在被測(cè)件每一周上采集的點(diǎn)數(shù)N=2n。并有

式中:m、p都為正整數(shù)，那么等式 (4)的離散形式可以寫為

取m=N/4，p=m-1，γ=Δθ。則N越大，α+β→180°，a越趨近于0。當(dāng)N大于某一數(shù)值之后，可認(rèn)為a=0。此時(shí)傳感器B就可以忽略，三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)就轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)。

因此等式 (5)可以化為

因?yàn)閟A(n)、sC(n)都為所測(cè)得的已知量，因此，等式 (5)作離散傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的時(shí)延相移特性可得

在等 式 (7) 中:S(k)=DFT［s(n)］;H(k)=DFT［h(n)］;G(k)=1+bej2π(m+p)k/N。

由h(n)=DFT－1［H(k)］=DFT－1［S(k)/G(k)］，就可求出被測(cè)工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

2 影響兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的因素

通過兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理可知，該誤差分離技術(shù)存在原理誤差。影響頻域法誤差分離技術(shù)精度的主要因素有:采樣誤差，即采樣點(diǎn)數(shù)的影響;諧波抑制;傳感器的安裝角度誤差和一些隨機(jī)的干擾噪聲等［5］。

因?yàn)殡S機(jī)的噪聲等干擾因素?zé)o法預(yù)測(cè)，也不可能消除，只能通過求多組的平均值來(lái)盡可能地減小，因此文中只討論其余幾種因素的影響。

2.1 諧波抑制對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

在三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中應(yīng)用傅里葉逆變換時(shí)，不論參數(shù)m、p、α、β如何取值，都有G(1)≡0，常用的處理方法是令S(1)=0。在傅里葉逆變換時(shí)，該位置的諧波分量就因?yàn)橹?而損失［4］，從而引入諧波抑制現(xiàn)象。為了避免諧波抑制，令G(1)=1［5］。然后在進(jìn)行傅氏逆變換就可以得到被測(cè)工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

但是，在兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中

所以G(k)≠0恒成立，k∈(0，N-1)。所以兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中不存在諧波抑制現(xiàn)象。

2.2 采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

通過兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的原理可知，傳感器B所采集序列在進(jìn)行消除回轉(zhuǎn)誤差時(shí)的常權(quán)系數(shù)a=-sin(α+β)/sinβ。當(dāng)N增大時(shí)會(huì)使得α+β→180°、a→0，但并不等于0。在其他條件都正確的條件下，忽略傳感器B就無(wú)法完全消除主軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)誤差。因此該原理誤差取決于a［δx(θ)cosα +δy(θ)sinα］的大小。

2.2.1 當(dāng)主軸不存在偏心誤差時(shí)

當(dāng)轉(zhuǎn)軸不存在偏心誤差時(shí)，即e0=0，則δx=δy=0。

因s(θ)=h(θ)+h(θ+α+β)，所以S(k)=H(k)(1+ej2π(m+p)k/N)=H(k)G(k)， 那 么h(θ)=FFT－1(H(k))=FFT－1(S(k)/G(k))是精確值。

由此可知，在傳感器安裝正確時(shí)若回轉(zhuǎn)軸無(wú)偏心誤差，只要采樣點(diǎn)數(shù)滿足傅氏變換的要求和采樣定理，通過兩點(diǎn)法所求出的圓度誤差都是精確的。

2.2.2 當(dāng)主軸存在偏心誤差e0時(shí)

設(shè)aN、αN、βN和γN分別為當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)取N時(shí)參數(shù)a、α、β、γ的值，則有

因γN=2π/N，所以采樣點(diǎn)數(shù)N越大，角度γN越小，tan2γN越趨近于0。因此

2.3 安裝角度對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

因?yàn)棣肗=2π/N，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N過大，會(huì)使夾角γN過小，從而給傳感器C的安裝帶來(lái)困難。當(dāng)傳感器C的安裝角度不精確時(shí)，也會(huì)給分離結(jié)果帶來(lái)誤差。

在安裝傳感器C的時(shí)候，設(shè)角度α+β的安裝角度誤差為Δφ，則

又因 δx(θ)=e0cosθ，δy(θ)=e0sinθ，α+β=π－γ，則

對(duì)式 (12)作FFT得

對(duì)式 (14)作逆FFT是十分困難的，由傅氏變換的線性性質(zhì)得［6］

2.3.1 當(dāng)e0=0，即轉(zhuǎn)軸不存在偏心誤差時(shí)

H'(k)/H(k)=(1+bej2π(m+p)k/N+jkΔφ)/G(k)，由歐拉公式把該式進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

令ψ=2π(m+p)k/N;把式 (16)分母實(shí)數(shù)化，取分子的模的平方可得

對(duì)式 (17)求導(dǎo)得

通過式 (18)可以得，當(dāng)Δφ從 ［0，γ］增大時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于零;從 ［γ，2γ］增大時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于零。所以當(dāng)Δφ=γ時(shí)，即2π (m+p)k/N+Δφ=2π時(shí)h'(θ)的誤差最大。

2.3.2 當(dāng)e0≠0，即轉(zhuǎn)軸存在著偏心誤差時(shí)

由式 (13)可以看出，當(dāng)對(duì)s(θ)求傅氏變換之后，偏心距對(duì)精度的影響與角度誤差Δφ無(wú)關(guān)，因此只能在傅氏變換之前討論安裝角度誤差Δφ對(duì)誤差分離精度的影響。

只考慮偏心部分對(duì)疊加信號(hào)的影響，令

當(dāng)該等式取最小值時(shí)，引入的誤差最小。對(duì)上式求導(dǎo)得f'=-sin(θ+γ-Δφ)。分析該等式可知當(dāng)(θ+γ-Δφ)∈(0，π)時(shí)，該角度誤差使圓度誤差值減小，(θ+γ-Δφ)∈(π，2π)角度誤差使圓度誤差值增大。

證明了對(duì)置安裝兩個(gè)傳感器時(shí)，有利于消除轉(zhuǎn)軸的偏心誤差。

3 理論驗(yàn)證兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的誤差分析

為了檢驗(yàn)上述的分析，作者進(jìn)行了如下的仿真驗(yàn)證。

3.1 采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)精度的影響

在該驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，取基本半徑尺寸為20 mm、表面上有4組振幅為3 mm的正弦所疊加而成的軸。保證除采樣點(diǎn)數(shù)N除外的一切條件不變，N的取值為16、32、64、128、256、512、1 024、2 048。分別采集這幾組信號(hào)，分別對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得如表1所示的結(jié)果。

表1 采樣點(diǎn)數(shù)N對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離精度的影響的驗(yàn)證 mm

通過理論分析可知，最大值、最小值、圓度誤差和平均值的實(shí)際理論值分別為23，17，6，20。仔細(xì)的觀察該表可以看出:當(dāng)轉(zhuǎn)軸不存在偏心誤差時(shí)，兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果與理論值相等;當(dāng)轉(zhuǎn)軸的偏心誤差e0≠0時(shí)，各量的絕對(duì)誤差值隨著采樣點(diǎn)數(shù)N的增大而減小，且減小的倍數(shù)越來(lái)越接近于2，證明了采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)誤差值的影響規(guī)律的理論分析是正確的。

3.2 安裝角度誤差對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)精度的影響

在檢測(cè)安裝角度對(duì)分離誤差帶來(lái)的影響時(shí)，選取的采樣點(diǎn)數(shù)N=256，所以理論上α+β的度數(shù)應(yīng)該為178.593 75°。為了分析安裝角度的影響，令安裝角度α+β的值從174.6°到180.6°等間隔變化，間隔為0.2°，除此之外保證其他參數(shù)不變。

在檢驗(yàn)的時(shí)候?qū)τ衅恼`差和無(wú)偏心誤差同時(shí)分析。分析時(shí)的數(shù)據(jù)為:被測(cè)件基本半徑為20 mm，表面上有振幅為3 mm的正弦信號(hào)。當(dāng)有偏心時(shí)偏心距取3 mm。分離結(jié)果如圖2所示。

圖2 安裝角度誤差對(duì)圓度誤差的影響

觀察圖像可以看出:在以理論安裝角度為中心的一個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)，無(wú)偏心誤差時(shí)隨著安裝角度的增大，分離誤差會(huì)減小，不過在180°的位置達(dá)到極值并且關(guān)于180°對(duì)稱;存在偏心誤差時(shí)，隨著安裝角度的增大，分離誤差隨著安裝角度的增大而減小，也在180°的位置達(dá)到極值并且關(guān)于180°對(duì)稱。證明了第2.3節(jié)中的分析和推導(dǎo)是正確的。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

通過上面的仿真分析驗(yàn)證了影響兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)誤差的因素及其影響規(guī)律符合理論分析。作者在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境內(nèi)通過實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析與仿真分析。

實(shí)驗(yàn)所用設(shè)備為:通過磨削加工一個(gè)長(zhǎng)度280 mm、直徑為50 mm的軸進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證;傳感器采用的是德國(guó)米銥的NCDT系統(tǒng)控制的單通道精密電容位移傳感器CapaNCDT620［7］。進(jìn)行測(cè)量時(shí)，分別取采樣點(diǎn)數(shù)N=64、128、256、512，則安裝角度α+β=(1-2/N)π。為了減小檢測(cè)過程中的隨機(jī)誤差，對(duì)工件反復(fù)測(cè)量5遍取平均值。測(cè)量結(jié)果如表2所示。通過該試驗(yàn)結(jié)果可以看出:頻域兩點(diǎn)法圓度誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果與理論分析和仿真驗(yàn)證相符，證明了在使用兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)時(shí)，主軸含有偏心誤差那么對(duì)置安裝兩傳感器可以得到更高的精度。因此說明了頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)在要求一定精度的場(chǎng)合下也可以滿足檢測(cè)要求。

表2 實(shí)驗(yàn)分離結(jié)果 μm

5 結(jié)論

(1)當(dāng)使用兩點(diǎn)法來(lái)進(jìn)行誤差分離時(shí)，若被測(cè)件不含有偏心誤差，對(duì)置安裝傳感器會(huì)使分離出的圓度誤差的誤差最大;若被測(cè)件含有偏心誤差，對(duì)置安裝傳感器會(huì)使分離值的誤差最小;(2)在現(xiàn)實(shí)的加工過程中幾乎所有的轉(zhuǎn)子都存在著偏心誤差，因此檢測(cè)時(shí)我們一般采用對(duì)置安裝傳感器可以得到更精確的圓度誤差值;

(3)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)雖然有原理誤差，但是仍比反向法誤差分離技術(shù)的精度高。在規(guī)定精度要求下仍然可以使用。

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