陳靜云，孫依人，徐 輝，張 巖

(大連理工大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，116024 遼寧大連)

利用改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法確定瀝青離散松弛時(shí)間譜

陳靜云，孫依人，徐 輝，張 巖

(大連理工大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，116024 遼寧大連)

為了精確地獲得瀝青膠結(jié)料的離散松弛時(shí)間譜，提出了一種改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法的線性黏彈性材料函數(shù)轉(zhuǎn)換算法.此方法可以用于離散延遲時(shí)間譜和離散松弛時(shí)間譜的相互轉(zhuǎn)換.與開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法相比，改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法對(duì)于時(shí)間常數(shù)的設(shè)置更加精確，并且不會(huì)產(chǎn)生負(fù)數(shù)譜線.將改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法用于一種傳統(tǒng)非改性瀝青的彎曲梁流變儀試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散延遲時(shí)間譜的轉(zhuǎn)換，成功地確定了相應(yīng)的離散松弛時(shí)間譜.經(jīng)有限元模型驗(yàn)證表明，此離散松弛時(shí)間譜能很好地還原該瀝青結(jié)合料的應(yīng)力松弛特性.

改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法;黏彈性;蠕變?cè)囼?yàn);Prony級(jí)數(shù)

瀝青是瀝青混合料黏彈性的直接來(lái)源，且瀝青路面的車轍、疲勞開(kāi)裂、溫度裂縫等病害都與瀝青的黏彈性有關(guān)，因此研究瀝青在不同激勵(lì)下產(chǎn)生的黏彈性響應(yīng)對(duì)于瀝青路面的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和病害預(yù)防有很好的參考價(jià)值.蠕變和應(yīng)力松弛是黏彈性材料力學(xué)響應(yīng)隨時(shí)間變化的兩個(gè)重要特征.彎曲梁流變儀(bending beam rheometer，BBR)為瀝青靜態(tài)蠕變行為的研究提供了有效途徑，通過(guò)BBR試驗(yàn)可以獲得瀝青的離散延遲時(shí)間譜.文獻(xiàn)［1-4］對(duì)瀝青蠕變性能進(jìn)行了深入的研究.對(duì)于瀝青的松弛模量，可通過(guò)直接施加瞬態(tài)矩形應(yīng)變荷載得到，但由于設(shè)備的限制，試驗(yàn)操作困難，若利用松弛試驗(yàn)直接測(cè)定，會(huì)造成較大誤差.因此，通常采用對(duì)延遲函數(shù)的轉(zhuǎn)換間接地獲得.文獻(xiàn)［5-13］提出了多種關(guān)于松弛函數(shù)和延遲函數(shù)相互轉(zhuǎn)換的數(shù)值或解析方法，其中 Tschoegl和 Emri［13］提出的開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法(windowinginterconversion method)是較為簡(jiǎn)單實(shí)用的一種.但由于該方法近似地將時(shí)間常數(shù)(松弛時(shí)間ρi或者延遲時(shí)間τi)等距設(shè)置，且假設(shè)ρi=τi，因此轉(zhuǎn)換后可能產(chǎn)生負(fù)數(shù)譜線.為了避免這種情況的發(fā)生，本文提出了一種基于時(shí)間常數(shù)精確設(shè)置的改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法(improved windowing interconversion method)，并用此方法成功確定了某瀝青結(jié)合料的離散松弛時(shí)間譜.應(yīng)用離散松弛時(shí)間譜，可以進(jìn)一步對(duì)瀝青的動(dòng)、靜態(tài)松弛性能進(jìn)行研究.

1 模型理論

材料應(yīng)力松弛行為通常采用廣義Maxwell模型描述.廣義Maxwell模型由一系列簡(jiǎn)單Maxwell元件并聯(lián)得到，由此模型推導(dǎo)出松弛模量的Prony級(jí)數(shù)表達(dá)式為

式中:Eg為玻璃態(tài)模量，即瞬態(tài)模量;Ee為平衡模量;Ei為松弛強(qiáng)度;ρi為松弛時(shí)間;(Ei，ρi)為離散松弛時(shí)間譜.

材料蠕變行為用廣義Kelvin模型描述更為簡(jiǎn)單.廣義Kelvin模型由一系列簡(jiǎn)單Kelvin元件串聯(lián)而成，由此推導(dǎo)出蠕變?nèi)崃康腜rony級(jí)數(shù)表達(dá)式為

式中:Jg為玻璃態(tài)柔量，即瞬態(tài)柔量;Je為平衡柔量;Ji為延遲強(qiáng)度;τi為延遲時(shí)間;(Ji，τi)為離散延遲時(shí)間譜;η0為長(zhǎng)期黏度.

當(dāng)材料為黏彈性固體時(shí)，Ee＞0且η0→∞.對(duì)式(1)、(2)進(jìn)行Carson變換，即乘s的Laplace變換，s為復(fù)數(shù)變量，可將松弛函數(shù)和延遲函數(shù)從時(shí)域變換到復(fù)數(shù)平面內(nèi)，表示為

由彈性-黏彈性對(duì)應(yīng)原理可知，在復(fù)數(shù)平面內(nèi)松弛函數(shù)和延遲函數(shù)具有與彈性材料類似的倒數(shù)關(guān)系，即

2 試 驗(yàn)

2.1 BBR試驗(yàn)

BBR由加載裝置、乙醇冷卻浴和計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)組成.在對(duì)瀝青小梁試件進(jìn)行靜載三點(diǎn)彎曲蠕變?cè)囼?yàn)的過(guò)程中，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)可以自動(dòng)測(cè)量小梁跨中處的荷載和撓度值，并由數(shù)據(jù)處理程序計(jì)算出蠕變勁度S和蠕變勁度變化率m兩個(gè)參數(shù).這兩個(gè)參數(shù)反映了瀝青結(jié)合料的松弛性能和低溫抗裂能力.在靜載作用下，蠕變勁度S(t)為蠕變?nèi)崃縅(t)的倒數(shù)，即

式中:P為恒定荷載，取0.98 N;b為小梁寬度，取12.7 mm;h 為小梁高度，取6.35 mm;L 為簡(jiǎn)支梁跨徑，取101.6 mm;δ(t)為小梁跨中撓度.對(duì)90#基質(zhì)瀝青分別進(jìn)行-6、-12、-18、-24℃下的BBR試驗(yàn)，通過(guò)式(6)計(jì)算出各溫度下的蠕變?nèi)崃縅(t)，如圖1所示.

圖1 不同溫度下的蠕變?nèi)崃吭囼?yàn)數(shù)據(jù)

2.2 蠕變?nèi)崃恐髑€和WLF方程

瀝青是典型的熱流變簡(jiǎn)單材料，具有明顯的溫度依賴性和時(shí)間依賴性，符合時(shí)溫等效原理.因此，可將不同溫度下的蠕變?nèi)崃壳€在時(shí)間的對(duì)數(shù)坐標(biāo)下進(jìn)行平移，進(jìn)而得到參考溫度下的蠕變?nèi)崃恐髑€.利用蠕變?nèi)崃恐髑€可以對(duì)瀝青的長(zhǎng)期蠕變性能進(jìn)行預(yù)測(cè)，而不必進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)際試驗(yàn).本文參考溫度取為-12℃，得到相應(yīng)的蠕變?nèi)崃恐髑€如圖 2 所示，-6、-12、-18、-24 ℃下的時(shí)間-溫度移位因子分別為-0.965、0、1.328、2.466.通過(guò)對(duì)時(shí)間-溫度移位因子進(jìn)行非線性最小二乘擬合，可以得到不同溫度下的時(shí)間-溫度移位因子.擬合方程通常有兩種形式:Williams-Landel-Ferry(WLF)方程和 Arrhenius 方程［1］.本文采用WLF方程，表達(dá)式為

式中:lg αT為時(shí)間 -溫度移位因子，C1、C2為材料參數(shù)，T0為參考溫度.當(dāng)T0=-12℃ 時(shí)，非線性擬合結(jié)果為 C1=8.82，C2=49.86.平移后的縮減時(shí)間為 ξ=t/αT.

圖2 參考溫度為－12℃的蠕變?nèi)崃恐髑€

2.3 離散延遲時(shí)間譜的識(shí)別

離散延遲時(shí)間譜的識(shí)別本質(zhì)上是對(duì)蠕變?nèi)崃恐髑€進(jìn)行Prony級(jí)數(shù)擬合的過(guò)程.本文根據(jù)文獻(xiàn)［14］介紹的方法，采用廣義Kelvin模型，獲得了該90#基質(zhì)瀝青的離散延遲時(shí)間譜，如表1所示，相關(guān)系數(shù)為 0.999 6.

表1 離散延遲時(shí)間譜

3 離散松弛時(shí)間譜的確定

3.1 開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法

Tschoegl和Emri提出了一種叫做開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法的計(jì)算機(jī)遞歸算法，可以對(duì)黏彈性材料的離散松弛時(shí)間譜和離散延遲時(shí)間譜進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換.該方法的提出是基于以下事實(shí):復(fù)數(shù)域內(nèi)的松弛函數(shù)和延遲函數(shù)的核函數(shù)1/(1+τis)，在以s=1/τi為中心的一個(gè)十倍程內(nèi)隨時(shí)間變化最為顯著，因此把這個(gè)十倍程定義為邊界窗(boundary window).當(dāng)一個(gè)十倍程內(nèi)包含n(n≥1)個(gè)時(shí)間常數(shù)τi的倒數(shù)時(shí)，將［sl，su］(即模擬最有效的區(qū)間)定義為模擬窗(modeling window).模擬窗受邊界窗的限制，當(dāng)n=1時(shí)，二者重合.開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法以式(5)為轉(zhuǎn)換橋梁，計(jì)算每條譜線時(shí)只采用相應(yīng)模擬窗內(nèi)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，且假設(shè)ρi=τi.在計(jì)算前需要預(yù)先設(shè)置1/τi，每個(gè)十倍程內(nèi)等距設(shè)置n個(gè)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù).下面以由離散延遲時(shí)間譜確定離散松弛時(shí)間譜為例，對(duì)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法的基本步驟進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明.

首先，由式(4)生成一組延遲數(shù)據(jù){?Uj，sj;j=1，…，M}，并通過(guò)式(5)得到相應(yīng)的一組松弛數(shù)據(jù){?Qj，sj;j=1，…，M}.然后，分別將松弛數(shù)據(jù)和譜線強(qiáng)度進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理為

得到松弛函數(shù)表達(dá)式為

引入數(shù)據(jù)點(diǎn)和松弛函數(shù)間的絕對(duì)誤差Δj，并用模擬窗內(nèi)的Mw個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)形成平方誤差函數(shù)fk為

使平方誤差函數(shù)fk最小化，進(jìn)而導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)化譜線強(qiáng)度為

計(jì)算時(shí)從第1條譜線開(kāi)始，依次向后計(jì)算譜線強(qiáng)度.在進(jìn)行第1次數(shù)據(jù)掃描時(shí)，將標(biāo)準(zhǔn)化譜線強(qiáng)度初值設(shè)為0，在接下來(lái)的掃描中，將得到的非負(fù)譜線強(qiáng)度保留，同時(shí)將得到的負(fù)譜線強(qiáng)度重新設(shè)置為0.當(dāng)相鄰掃描計(jì)算出的兩組標(biāo)準(zhǔn)化譜線強(qiáng)度差的范數(shù)小于某給定標(biāo)準(zhǔn)值時(shí)，終止迭代.最后，譜線強(qiáng)度可由標(biāo)準(zhǔn)化譜線強(qiáng)度求得.

3.2 改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法

開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法雖然簡(jiǎn)單直接，但由于時(shí)間常數(shù)等距設(shè)置，且假設(shè)ρi=τi，轉(zhuǎn)換后可能產(chǎn)生負(fù)數(shù)譜線.為了避免負(fù)數(shù)譜線的產(chǎn)生，本文提出了一種基于時(shí)間常數(shù)精確設(shè)置的改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法.仍以獲得離散松弛時(shí)間譜為例.由式(5)可知

對(duì)于某給定的τk，可以通過(guò)求解式(14)的根的負(fù)倒數(shù)獲得相應(yīng)的ρk.為了求解式(14)的根，文獻(xiàn)［10］描述了一種實(shí)用的尋根圖解方法:以延遲函數(shù)絕對(duì)值的對(duì)數(shù)作為縱坐標(biāo)，以-1/s(s＜0)的對(duì)數(shù)作為橫坐標(biāo)，采用0.01個(gè)十倍程作為橫坐標(biāo)取值間隔作圖(取值間隔可調(diào)節(jié))，圖中最大值的橫坐標(biāo)即為τi，而最小值的橫坐標(biāo)即為所求松弛時(shí)間ρi.由于改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法設(shè)置的松弛時(shí)間ρi分布是基于松弛函數(shù)與延遲函數(shù)的精確數(shù)值關(guān)系，因此計(jì)算不會(huì)產(chǎn)生負(fù)數(shù)譜線.同理，可以從松弛時(shí)間分布獲得延遲時(shí)間分布.

3.3 轉(zhuǎn)換結(jié)果

采用改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法，以尋根圖解法計(jì)算出的精確松弛時(shí)間分布代替原開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法中近似的等距分布，利用Matlab軟件編制計(jì)算程序，對(duì)表1所示離散延遲時(shí)間譜進(jìn)行轉(zhuǎn)換，成功獲得了對(duì)應(yīng)的離散松弛時(shí)間譜，如表2所示，相關(guān)系數(shù)為0.999 9.尋根圖解法得到的時(shí)間常數(shù)分布如圖3所示.

表2 離散松弛時(shí)間譜

圖3 時(shí)間常數(shù)分布

4 離散松弛時(shí)間譜的驗(yàn)證及應(yīng)用

為了驗(yàn)證采用改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法獲得的離散松弛時(shí)間譜的可靠性，利用ANSYS有限元程序建立了尺寸為h×L的BBR瀝青小梁二維有限元模型.采用表2數(shù)據(jù)作為有限元模型的黏彈性材料參數(shù)，將黏彈性泊松比近似取為0.49，單元取為PLANE182平面應(yīng)力單元，對(duì)不同溫度下的BBR試驗(yàn)進(jìn)行模擬，并將模擬數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖4所示.由圖可知，無(wú)論加載過(guò)程還是卸載過(guò)程模擬數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)均非常接近，由此可知采用改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法獲得的離散松弛時(shí)間譜能準(zhǔn)確地反映該瀝青結(jié)合料的應(yīng)力松弛特性.

圖4 模擬數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

在確定瀝青離散松弛時(shí)間譜后，可以方便地獲得相應(yīng)的松弛模量E(t)、儲(chǔ)能模量E'(ω)和耗散模量E″(ω)(ω為加載頻率)，進(jìn)而預(yù)測(cè)瀝青的動(dòng)、靜態(tài)松弛性能.由此可知，離散松弛時(shí)間譜包含了給出譜線范圍內(nèi)材料線性黏彈性的所有信息，是一種良好的預(yù)測(cè)瀝青黏彈性能的方法.

5 結(jié)論

1)采用BBR對(duì)某90#基質(zhì)瀝青進(jìn)行了不同溫度下的BBR靜載彎曲蠕變?cè)囼?yàn)，獲得了參考溫度為-12℃的靜態(tài)蠕變?nèi)崃恐髑€和時(shí)間-溫度移位因子，并通過(guò)非線性擬合分別得到了該瀝青結(jié)合料的離散延遲時(shí)間譜和WLF方程.

2)在原有開(kāi)窗轉(zhuǎn)換算法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于時(shí)間常數(shù)精確設(shè)置的改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換算法.該算法不會(huì)產(chǎn)生物理上無(wú)法解釋的負(fù)數(shù)譜線.將改進(jìn)開(kāi)窗轉(zhuǎn)換法用于由BBR試驗(yàn)獲得的離散延遲時(shí)間譜的轉(zhuǎn)換，成功獲得了該瀝青結(jié)合料的離散松弛時(shí)間譜，并由有限元模型驗(yàn)證了該離散松弛時(shí)間譜的可靠性.

3)利用離散松弛時(shí)間譜可以進(jìn)一步預(yù)測(cè)瀝青動(dòng)、靜態(tài)松弛性能，這對(duì)于降低試驗(yàn)成本和研究瀝青黏彈性能均有重要意義.

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Determination of discrete relaxation time spectra of asphalt utilizing improved windowing interconversion method

CHEN Jingyun，SUN Yiren，XU Hui，ZHANG Yan
(School of Transportation ＆ Logistics，Dalian University of Technology，116024 Dalian，Liaoning，China)

To accurately obtain discrete relaxation time spectra of asphalt binders，an algorithm termed the improved windowing interconversion method(IWIM)is presented in this paper.The IWIM allows discrete retardation time spectra to be converted into discrete relaxation time spectra，and vice versa.Compared with the windowing interconversion method(WIM)，the IWIM affords a more exact distribution of time constants without generating negative spectrum lines.The IWIM was applied to the discrete retardation time spectrum of bending beam rheometer(BBR)test data for a conventional unmodified asphalt binder，successfully determining the discrete relaxation time spectrum.The result of the validation by means of a BBR test finite element simulation shows that the discrete relaxation time spectrum from the IWIM can well reproduce the stress relaxation properties of the asphalt binder.

improved windowing interconversion method;viscoelasticity;creep test;Prony series

U414

A

0367-6234(2014)02-0104-05

2013-03-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50578031).

陳靜云(1956—)，女，教授，博士生導(dǎo)師.

陳靜云，chenjy@dlut.edu.cn.

(編輯 魏希柱)