許陽(yáng)，袁振洲

（北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044）

基于考慮次近鄰車(chē)的新型交通流格子模型

許陽(yáng)，袁振洲

（北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044）

在連續(xù)交通流格子模型基礎(chǔ)上，提出考慮次近鄰車(chē)對(duì)車(chē)流的影響作用，并采用新的模型構(gòu)建方法構(gòu)建一種車(chē)流優(yōu)化的交通流格子模型。應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論和非線性理論進(jìn)行分析，得到車(chē)流的穩(wěn)定性條件，并得到描述車(chē)流阻塞相變的mKdV方程。最后應(yīng)用數(shù)值模擬驗(yàn)證mKdV方程的存在條件，模擬結(jié)果表明這種考慮次近鄰車(chē)的新型交通流格子模型能夠更好地刻畫(huà)車(chē)流的穩(wěn)定機(jī)理，更加符合實(shí)際交通流特點(diǎn)。

格子模型；次近鄰車(chē)；mKdV方程

隨著城市機(jī)動(dòng)化水平的不斷提高，交通供需矛盾日益突出。為了更好地掌握交通問(wèn)題的形成機(jī)理及其演化規(guī)律，人們提出了各種交通流模型，例如跟馳模型、元胞自動(dòng)機(jī)模型以及流體力學(xué)模型［1－5］等。在這些研究中，都涉及到了從自由運(yùn)動(dòng)到阻塞的交通相變。交通相變具有類(lèi)似氣－液相變的性質(zhì)，自由運(yùn)動(dòng)交通和阻塞交通分別對(duì)應(yīng)傳統(tǒng)氣－液相變中的氣體和液體，車(chē)間距或密度對(duì)應(yīng)體積或密度，延遲時(shí)間的倒數(shù)對(duì)應(yīng)于溫度，亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域位于基本圖上流量達(dá)到最大值附近。

1998年，Nagatani［3－5］借鑒優(yōu)化跟馳模型和動(dòng)力學(xué)模型的思想，提出了一種基于流體力學(xué)的交通流模型，其連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程如下

其中，ρ0是車(chē)流平均密度，a是駕駛員的敏感系數(shù)，δ是平均車(chē)頭間距，且δ＝1／ρ0。ρ（x＋δ）表示t時(shí)刻x＋δ處的局部密度，它與車(chē)頭間距h（x，t）有倒數(shù)關(guān)系。V（ρ（x＋δ））則代表最佳速度。模型認(rèn)為駕駛員根據(jù)觀察到的前方車(chē)頭間距或密度來(lái)調(diào)整自己的車(chē)速。

其中，j表示一維格點(diǎn)上的第j個(gè)格點(diǎn)，ρj和vj分別表示t時(shí)刻第j個(gè)格子上的局部密度和局部平均速度。

Ge等［6］在2005年提出了兩種合作駕駛格子模型，又提出了考慮后視效果的格子模型，靠近中性穩(wěn)定曲線的KdV方程得到推導(dǎo)［7］。后來(lái)，Tian等［8－9］又提出考慮流量差和密度差的格子模型。劉濤等［10］則研究了考慮后面車(chē)輛與相關(guān)車(chē)流影響的格子模型。

可以發(fā)現(xiàn)，以前的交通流格子模型基本局限于研究前后車(chē)輛對(duì)車(chē)流穩(wěn)定性的影響。而車(chē)流實(shí)際運(yùn)行時(shí)，駕駛員一般都會(huì)試圖觀察前方第二輛車(chē)的運(yùn)行狀況，進(jìn)而做出駕駛選擇，所以考慮前方次近鄰車(chē)的格子模型會(huì)更真實(shí)地描述現(xiàn)實(shí)的交通流狀態(tài)。本文將在密度差格子模型的基礎(chǔ)上，考慮次近鄰車(chē)的影響，構(gòu)造出一種新的交通流格子模型。首先通過(guò)線性穩(wěn)定性分析得到模型的穩(wěn)定條件，再借助非線性理論分析推導(dǎo)出描述車(chē)流阻塞相變的mKdV方程，最后進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證本模型的有效性。

1 新模型的構(gòu)造

在車(chē)流運(yùn)行過(guò)程中，影響車(chē)輛駕駛的不僅有該車(chē)前后方的車(chē)輛密度，次近鄰車(chē)的密度也會(huì)對(duì)其產(chǎn)生影響?；贜agatani的模型和其各種擴(kuò)展模型，我們構(gòu)造一種考慮次近鄰車(chē)影響的格子模型如下

其中，λ1表示對(duì)第一輛車(chē)與跟隨車(chē)輛的密度差的反應(yīng)系數(shù)，λ2表示對(duì)第二輛車(chē)與次近鄰車(chē)的密度差的反應(yīng)系數(shù)。模型認(rèn)為在交通流中，次近鄰車(chē)的行駛會(huì)受到前方兩輛車(chē)的影響，而且局部密度的變化會(huì)沿著車(chē)流不斷傳遞下去。

通過(guò)消去等式（5）和（6）中的v，得到方程

顯然，改進(jìn)的模型比傳統(tǒng)的模型多考慮了j－1和j＋2格點(diǎn)。

車(chē)流優(yōu)化速度函數(shù)［3］的形式為

ρc表示車(chē)流優(yōu)化速度函數(shù)拐點(diǎn)處的密度值，該函數(shù)在ρ＝ρ0＝ρc處取到極值。

2 線性穩(wěn)定性分析

下面通過(guò)線性穩(wěn)定性分析來(lái)研究本模型中次近鄰車(chē)的影響作用。交通流的穩(wěn)定狀態(tài)擁有常密度ρ0和最佳行駛速度V（ρ0），所以穩(wěn)定狀態(tài)為

假定yj（t）是穩(wěn)定狀態(tài)下車(chē)輛j處車(chē)流密度的一個(gè)小偏離：ρj（t）＝ρ0＋yi（t），根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)，對(duì)yj（t）＝exp（ikj＋zt）進(jìn)行泰勒展開(kāi)，可以得到

將等式（17）代入（15），當(dāng)k→0時(shí)，便可得到模型的穩(wěn)定條件

當(dāng)λ2＝0，即是密度差格子模型的穩(wěn)定條件

比較等式（18）和（19），發(fā)現(xiàn)本模型的穩(wěn)定條件相比于密度差格子模型更容易滿足。

圖1 密度－敏感系數(shù)空間相位圖（ρc＝0．25，vmax＝2 m／s）Fig.1 Phase diagram of density-sensitivity space

圖1顯示了在不同λ1和λ2值下車(chē)輛密度－敏感系數(shù)空間相圖的中性穩(wěn)定曲線。固定其中一個(gè)λ的值，敏感系數(shù)a都會(huì)隨著另一個(gè)λ的增加而變大。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，λ1和λ2對(duì)于降低中性曲線的效果是基本一致的?？傊?，考慮次近鄰車(chē)的格子模型的確可以擴(kuò)大交通流的穩(wěn)定范圍，說(shuō)明該模型更加切合實(shí)際。

3 mKdV方程

在交通流格子模型中，隨著車(chē)輛的密度增加到一定程度，在自由運(yùn)動(dòng)交通與阻塞交通之間會(huì)發(fā)生臨界相變，其中存在一個(gè)臨界點(diǎn)，mKdV方程則可以用來(lái)描述阻塞相的變化規(guī)律。

在交通流的不穩(wěn)定區(qū)域，我們引入慢變量X和T，定義為

其中b是一個(gè)待定的常量，且定義

將等式（7）中的各項(xiàng)泰勒展開(kāi)至5階ε

將（22）～（28）各項(xiàng)展開(kāi)式全都代入等式（7），整理可得

通過(guò)計(jì)算，用f1～f7（見(jiàn)表1）對(duì)等式（29）進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，即有下式

表1 fi的取值Table 1 fivalues

其中，gi的取值見(jiàn)表2。

表2 gi的取值Table 2 givalues

假設(shè)R′（X，T′）＝R′0（X，T′）＋εR′1（X，T′），為了確定密度波的傳播速度，必須滿足

其中M［R′0］＝M［R′］，解得密度波的傳播速度為

式中，ε2＝ac／a－1。密度波的振幅A為

扭結(jié)－反扭結(jié)密度波的解表示共存相，即包括了自由交通相和阻塞相。自由狀態(tài)下，ρ＝ρc－A，阻塞狀態(tài)下，ρ＝ρc＋A。在圖1密度－敏感系數(shù)空間相位圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)虛線即為共存曲線。

4 數(shù)值模擬

通過(guò)求解mKdV方程描述交通流阻塞相的變化規(guī)律，得到了阻塞相時(shí)交通流的密度傳播速度、扭結(jié)－反扭結(jié)密度波的振幅。密度波的變化過(guò)程即是車(chē)流的狀態(tài)變化過(guò)程，為了更加形象地展現(xiàn)考慮次近鄰車(chē)情況下車(chē)流的穩(wěn)定過(guò)程，本文借助MATLAB數(shù)值編程工具模擬理想狀態(tài)下車(chē)流的密度變化過(guò)程。

為了方便數(shù)值模擬，將等式（7）變換為下述形式

初始系統(tǒng)狀態(tài)：N＝100，即有100個(gè)格子，且應(yīng)用周期性邊界條件。初始擾動(dòng)為

模擬過(guò)程中，Δρ＝0.05，τ＝0.1，ρ0＝ρc＝0.25，a＝1，vmax＝2 m／s。模擬結(jié)果可見(jiàn)圖2和圖3。

圖2 扭結(jié)－反扭結(jié)波圖Fig.2 Kink-antikink shock wave

圖2（a）～（d）描述的是λ1＝0.2，λ2從0.1增大到0.4的扭結(jié)－反扭結(jié)波。通過(guò)觀察圖形可知，λ2＝0.1，0.2，0.3時(shí)，穩(wěn)定條件等式（18）沒(méi)有被滿足，密度波處于不穩(wěn)定狀態(tài)。而當(dāng)λ2＝0.4時(shí)，密度值恒定保持為0.25，說(shuō)明λ1＝0.2，λ2＝0.4滿足穩(wěn)定條件，任何在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的擾動(dòng)最終都會(huì)發(fā)展為均勻的交通流。圖2很明顯地說(shuō)明了密度波的振幅隨著λ2的增大而減小。因此，可以認(rèn)為在格子模型中考慮次近鄰車(chē)的影響更加符合實(shí)際，有助于更真實(shí)地刻畫(huà)交通流的穩(wěn)定機(jī)理。數(shù)值模擬的結(jié)果證明了理論分析的正確性。

另一方面，為了研究不同交通流狀態(tài)下局部擾動(dòng)對(duì)車(chē)流的影響，下面分別針對(duì)低密度車(chē)流、中密度車(chē)流和高密度車(chē)流三種情況進(jìn)行車(chē)流密度擾動(dòng)分析。模擬方法同之前的一樣，取λ1＝0.2，λ2＝0.1的條件，令初始條件ρ0的值依次為0.1（低密度），0.25（中密度），0.5（高密度），通過(guò)數(shù)值模擬得到下面的結(jié)果。

圖3（a）～（c）顯示了低、中、高三種車(chē)流密度條件下，車(chē)流局部擾動(dòng)對(duì)車(chē)流密度變化的影響。可以觀察到，低密度和高密度的車(chē)流產(chǎn)生局部擾動(dòng)時(shí)，整體車(chē)流的密度不會(huì)發(fā)生大的變化，擾動(dòng)很快就會(huì)消散，而中密度狀態(tài)下車(chē)流局部擾動(dòng)會(huì)不斷擴(kuò)散，使整體車(chē)流密度不均衡。該結(jié)論符合實(shí)際交通流現(xiàn)象，局部車(chē)輛的聚集不會(huì)對(duì)處于自由運(yùn)行狀態(tài)的車(chē)流產(chǎn)生較大影響，而如果車(chē)流處于高密度擁擠狀態(tài)時(shí)，車(chē)速已經(jīng)很緩慢，局部的擾動(dòng)也無(wú)法改變車(chē)流擁擠的狀態(tài)，所以這兩種狀態(tài)下的車(chē)流會(huì)基本保持原有的密度。只有介于自由流和阻塞流之間不穩(wěn)定車(chē)流，在車(chē)流產(chǎn)生局部擾動(dòng)時(shí)，該擾動(dòng)會(huì)隨著車(chē)隊(duì)不斷擴(kuò)散。

圖3 不同狀態(tài)車(chē)流的扭結(jié)－反扭結(jié)波圖Fig.3 Kink-antikink shock wave of traffic flow of different states

5 結(jié)論

本文中，在傳統(tǒng)密度差格子模型的基礎(chǔ)上，提出考慮次近鄰車(chē)的影響作用，構(gòu)建了一個(gè)新的擴(kuò)展格子模型。經(jīng)由線性穩(wěn)定性分析，得到模型的穩(wěn)定條件；再由非線性分析方法得到模型的mKdV方程，可以用來(lái)描述不穩(wěn)定區(qū)域的阻塞交通流。最后，通過(guò)數(shù)值模擬的方法證明了，考慮次近鄰車(chē)影響的格子模型能夠更加準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)的交通流狀態(tài)，而且有助于增強(qiáng)交通流的穩(wěn)定性。同時(shí)驗(yàn)證了局部擾動(dòng)在低密度和高密度車(chē)流中不易擴(kuò)散，只有在中密度的不穩(wěn)定車(chē)流中容易擴(kuò)散，符合實(shí)際情況。

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Next-nearest-neighbor site based lattice hydrodynam ic model

XU Yang，YUAN Zhen-zhou
（Ministry of Education Key Laboratory for Urban Transportation Complex Systems Theory and Technology，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

We present a new traffic flow lattice hydrodynamic model with the impact of next-nearest-neighbor site on traffic and continuous traffic lattice model．We also acquire traffic stability condition and mKdV equation expressing density waves with linear stability theory and nonlinear analysis．Numerical simulation shows that the new model can better depict traffic stability mechanism and be more suitable for real traffic flow．

lattice hydrodynamic model；next-nearest-neighbor site；mKdV

U491.4

A

1002-4026（2014）04-0092-06

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.04.016

2013-11-12

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）（2012CB725403）

許陽(yáng)（1989－），男，碩士研究生，研究方向?yàn)槌鞘芯C合交通。