董 峰

（大慶油田有限責(zé)任公司第二采油廠，黑龍江大慶163414）①

基于傳遞矩陣法的齒輪齒條鉆機(jī)縱向振動分析

董 峰

（大慶油田有限責(zé)任公司第二采油廠，黑龍江大慶163414）①

將齒輪齒條鉆機(jī)簡化為線性鏈?zhǔn)竭B續(xù)多體系統(tǒng)，基于傳遞矩陣法建立了齒輪齒條鉆機(jī)各個結(jié)構(gòu)縱向振動的傳遞矩陣，運(yùn)用矩陣乘法建立了鉆機(jī)縱向振動的傳遞矩陣。分段計(jì)算了小車在井架不同高度和1～3 km井深時縱向振動的1階共振頻率，并將模型的計(jì)算結(jié)果與軟件的仿真結(jié)果進(jìn)行了對比分析。研究結(jié)果表明：齒輪齒條鉆機(jī)的系統(tǒng)振動頻率主要取決于鉆柱長度；井架的高度及升降小車在井架上的運(yùn)動對鉆機(jī)系統(tǒng)頻率的影響很小，不會改變鉆機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。研究結(jié)果對齒輪齒條鉆機(jī)作業(yè)有一定指導(dǎo)作用。

齒輪齒條鉆機(jī)；縱向；振動；傳遞矩陣；分析

齒輪齒條鉆機(jī)是新概念石油鉆井設(shè)備，它將齒條安裝在井架上，將齒輪安裝在頂驅(qū)上，利用齒輪與齒條的嚙合帶動頂驅(qū)上下運(yùn)動。因此，齒輪齒條鉆機(jī)既能提供上提力又能產(chǎn)生下壓力，能夠有效鉆進(jìn)更淺的地層，同時能鉆取更多的生產(chǎn)層，更適合定向井、叢式井和水平井鉆井及開窗側(cè)鉆等鉆井工藝［1］。國外齒輪齒條鉆機(jī)研究早于國內(nèi)，美國奧格公司、挪威的TTS Sense公司、美國Horizontal Well Drill-ers（HWD）公司和德國的Max Streicher公司是較早從事該項(xiàng)裝備研究的公司。經(jīng)過多年的研究和應(yīng)用試驗(yàn)，該項(xiàng)技術(shù)在國外發(fā)展很快，逐漸趨于成熟［2-4］。國內(nèi)一些專家和學(xué)者們也開始該項(xiàng)技術(shù)的研究，并取得了一定的研究成果［5-7］。

雖然國內(nèi)外對鉆機(jī)的多功能性一直很關(guān)注，但對其多體動力學(xué)問題的研究較少，鉆機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)的研究未見報(bào)道。本文以齒輪齒條鉆機(jī)系統(tǒng)為研究對象，基于傳遞矩陣法分析了齒輪齒條鉆機(jī)系統(tǒng)縱向振動的特性，為該鉆機(jī)的鉆井作業(yè)提供一定的理論指導(dǎo)。

1 齒輪齒條鉆機(jī)模型簡化

齒輪齒條鉆機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。井架通過鉆機(jī)底座固定在地面上，齒條固定在井架上，齒輪和頂驅(qū)都安裝在升降小車上，通過升降小車上的齒輪與安裝在井架上的齒條嚙合，帶動頂驅(qū)上下運(yùn)動，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)鉆井作業(yè)。

圖1 齒輪齒條鉆機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

鉆井過程中，由于鉆頭牙齒間斷地與地層接觸或巖石的間歇破碎，導(dǎo)致鉆頭振動，最終引起鉆柱沿其軸向的縱向振動。鉆機(jī)發(fā)生縱向共振時，鉆柱內(nèi)部的交變應(yīng)力和振幅相當(dāng)大，易導(dǎo)致鉆柱斷裂或粘扣。在分析鉆機(jī)鉆井過程的整體縱向振動時，可將鉆柱等效為管柱單元，小車系統(tǒng)等效為剛體系統(tǒng)，井架等效為梁單元。不考慮間隙和阻尼作用，忽略減速器里的齒輪傳動引起振動的改變，基于上述分析和齒輪齒條鉆機(jī)特有的結(jié)構(gòu)形式，將齒輪齒條鉆機(jī)的縱向振動簡化為如圖2所示的縱向振動系統(tǒng)。

圖2 齒輪齒條鉆機(jī)縱向振動系統(tǒng)簡化模型

2 傳遞矩陣模型的建立

對鉆機(jī)縱向振動進(jìn)行分析時，振動的橫截面可認(rèn)為保持平面且和原截面保持平行，在這些截面上的點(diǎn)只作沿軸向方向的運(yùn)動，忽略縱向振動產(chǎn)生的橫向變形。

2.1 鉆柱模型的傳遞矩陣

鉆柱的縱向振動研究可以近似看作其在某個平面上作縱向振動，在其位移方向上施加分布載荷；對鉆柱底端受到巖石的作用以及鉆井過程中所受的其他作用，看作與時間和位移有關(guān)的分布力計(jì)算。設(shè)鉆柱總長度為L，鉆柱的軸線方向取為x軸。記鉆柱在坐標(biāo)x處橫截面積為A（x），彈性模量為E（x），質(zhì)量密度為ρ（x）。u（x，t）表示坐標(biāo)為x的截面在時刻t的縱向位移。取微元段d x進(jìn)行研究，如圖3所示，則鉆柱縱向振動方程為

圖3 鉆柱縱向振動單元分析

由通解求出狀態(tài)矢量中其他狀態(tài)矢量，寫成矩陣形式為

2.2 升降小車的傳遞矩陣

分析齒輪齒條鉆機(jī)的縱向振動，將整個小車等效為剛體，則剛體縱向振動的傳遞矩陣為式中：mc為振動剛體的質(zhì)量；ωc為小車的共振頻率。

2.3 井架模型傳遞矩陣

將齒輪齒條鉆機(jī)的井架看作等截面長為l的梁，取長為d x的微元段進(jìn)行受力分析：m為質(zhì)量線密度；ωj為井架的固有振動頻率；E′A′為抗拉剛度；x（x，t）為距輸入端x處橫截面的縱向位移，如圖4所示。

梁的縱向振動動力學(xué)方程可以表示為

假設(shè)井架單元內(nèi)無集中質(zhì)量和彈簧-質(zhì)量單元，不考慮阻尼作用，則該微元段的自由振動運(yùn)動微分方程為

圖4 井架及其微元體受力分析

2.4 齒輪齒條鉆機(jī)整體傳遞矩陣

根據(jù)前文對齒輪齒條鉆機(jī)系統(tǒng)的等效和分析，利用傳遞矩陣乘法的計(jì)算，將系統(tǒng)的傳遞矩陣Ui（i＝1，2，3）代入，則有

3 模型解算與分析

鉆柱傳遞矩陣U1、U2、U3均為2×2矩陣，故總體系統(tǒng)傳遞矩陣U也是2×2矩陣，設(shè)

在計(jì)算整體共振頻率時，將鉆柱井架和小車看作1個系統(tǒng)，則該系統(tǒng)的共振頻率由系統(tǒng)本身決定。因此，當(dāng)考慮整體系統(tǒng)的共振頻率時，鉆柱、小車、井架的固有振動頻率選擇為系統(tǒng)的固有振動頻率ω，下文計(jì)算將前文中的ωz、ωc和ωj一律替換成整個系統(tǒng)共振頻率ω。

假設(shè)鉆柱受力為零時，代入邊界條件。系統(tǒng)底端為自由振動，系統(tǒng)頂端為固定，則有底端Z0，1＝［X 0］T0，1，頂端振動邊界為Z4，3＝［0 Fjj］T4，3，因此頻率函數(shù)為a11＝0。可得

由式（22）可得，齒輪齒條鉆機(jī)整體縱向振動的共振頻率與井深、井架特性以及系統(tǒng)的固有頻率有關(guān)。假設(shè)井深及小車在井架上的高度，選用?114.3 mm（4 1/2英寸）鉆桿，忽略鉆鋌長度，得到系統(tǒng)縱向振動第1階共振頻率，如表1所示。

表1 井深及小車在井架上高度與系統(tǒng)共振頻率的關(guān)系

忽略鉆鋌長度，設(shè)巖石沖擊的振動激勵為時間的函數(shù)。取井深為500 m時，基于動力學(xué)仿真軟件Adams得到井架（取井架頂端）運(yùn)動狀態(tài)和鉆桿（取鉆桿最底端）的運(yùn)動狀態(tài)，如圖5～6所示，進(jìn)而得到鉆機(jī)振動的1階共振頻率。

圖5中：圖線1表示鉆桿的振動位移；圖線2表示變形速度，對應(yīng)的均為左端縱向坐標(biāo)值；圖線3表示鉆桿內(nèi)部所受力的大小，對應(yīng)右端縱向坐標(biāo)值。圖6中：圖線1表示鉆頭的位移，對應(yīng)的縱向坐標(biāo)值為左端第2列；圖線2表示鉆頭位移速度，對應(yīng)的縱向坐標(biāo)為右端值；圖線3表示鉆頭位移加速度，對應(yīng)的縱向坐標(biāo)為左端第1列。同理，可以得到不同井深時，齒輪齒條鉆機(jī)縱向振動的響應(yīng)圖像。

圖5 500 m井深井架頂端位移、速度與內(nèi)力曲線

圖6 500 m井深鉆桿底端位移、速度和加速度曲線

表2 理論求解與仿真結(jié)果對比

分析表2中數(shù)據(jù)，理論計(jì)算數(shù)值與仿真結(jié)果略有誤差，但相差不大，主要原因有以下幾種：

1） 理論建模將小車等價為剛體，看作集中質(zhì)量的傳遞。

2） 理論建模求解時，為計(jì)算方便，舍棄了一些次要條件。

3） 仿真時模擬時間和步數(shù)的選擇也會引起結(jié)果的誤差。

研究表明：齒輪齒條鉆機(jī)共振頻率與鉆柱和井架的固有頻率都有關(guān)系。鉆柱的選擇很大程度上決定了系統(tǒng)縱向共振的頻率范圍，井架的剛度比鉆柱剛度大數(shù)倍數(shù)量級，引起鉆機(jī)共振頻率的減小，但影響微弱。淺井500 m時，使得共振頻率降低了0.004 4%，在井深2 500 m時，頻率降低了0.003 1%；當(dāng)井深超過3 000 m時候，數(shù)據(jù)顯示沒有影響。因此井架的剛度對鉆機(jī)系統(tǒng)振動的影響很小，深井鉆井時井架不會影響鉆機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

1） 基于傳遞矩陣法建立齒輪齒條鉆機(jī)縱向振動的數(shù)學(xué)模型，得到了不同井深鉆機(jī)整體縱向振動的1階共振頻率。

2） 齒輪齒條鉆機(jī)的系統(tǒng)振動頻率主要取決于鉆柱的長度，井架的高度和升降小車在井架上的運(yùn)動對鉆機(jī)系統(tǒng)頻率的影響很小，不會改變鉆機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

［1］ 王進(jìn)全，王維旭.國外鉆機(jī)技術(shù)現(xiàn)狀及我國的發(fā)展策略［J］.石油機(jī)械，2011，39（6）：65-69.

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Analysis of Longitudinal Vibration of Gear and Rack Based on Transfer Matrix Method

The rack and pinion drilling is simplifyed to linear chain continuous multi-body system，longitudinal vibration transfer matrix of each structure of which is build based on transfer matrix method，and then the transfer matrix of which is build by applying the matrix multiplication.The first resonance frequency of longitudinal vibration is calculated in different height of the derrick and 1 000-3 000 m depth，and results of model calculating and software simulation are analy-zed in comparison.The results show that the vibration frequency of rack and pinion drilling mainly depends on the length of the drill string，the height of the derrick and movement of derrick have little impact on frequency of drilling，and will not change the stability of the drilling system.The results have certain guiding role for operation of rack and pinion drilling.

rack and pinion drilling；longitudinal；vibration；transfer matrix；analysis

TE922

A

10.3969／j.issn.1001-3842.2014.11.005

1001-3482（2014）07-0018-05①

2014-01-09

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11372071）；中國博士后基金項(xiàng)目（2013 M541139）；黑龍江省科技攻關(guān)項(xiàng)目（GZ11A405）

董 峰（1977-），男，黑龍江大慶人，工程師，碩士，主要從事油氣生產(chǎn)技術(shù)開發(fā)工作。