武丹丹，楊成斌，王江濤

（1.合肥工業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，安徽合肥 230009;2.安徽省金田建筑設(shè)計(jì)咨詢有限責(zé)任公司，安徽合肥 230051）

低應(yīng)變縱波測(cè)試因具有成本低、適用范圍廣等特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用［1－6］。文獻(xiàn)［1］采用分離變量法求出均勻土中有限長(zhǎng)完整樁的瞬態(tài)樁頂豎向振動(dòng)速度，為低應(yīng)變樁基測(cè)試的參數(shù)反演提供了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［3－6］研究了樁身為有限長(zhǎng)均勻彈性圓桿、樁半徑與樁側(cè)土剪切波速按指數(shù)型變化并考慮變截面樁中的縱波，得到樁的瞬態(tài)縱向振動(dòng)解析解。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)樁周土和樁端土共同作用下基樁縱向振動(dòng)的微分方程組及數(shù)值解模型，由樁身運(yùn)動(dòng)方程，樁頂、樁底邊界條件、初始條件、構(gòu)成樁土系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵(lì)下的定解問(wèn)題，利用有限差分法解決此定解問(wèn)題。對(duì)完整樁和非完整樁（縮徑樁、擴(kuò)徑樁、斷樁）時(shí)域速度曲線和速度振幅譜曲線進(jìn)行歸一化處理，并與理論曲線進(jìn)行擬合。分析樁身、樁側(cè)、樁底巖土參數(shù)對(duì)時(shí)域速度曲線和速度振幅譜曲線的影響，為樁身縱向瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)分析提供理論基礎(chǔ)。

1 樁頂縱向振動(dòng)定解問(wèn)題與差分解法

本文討論縱波在樁身的傳播規(guī)律，將完整樁視為等截面均質(zhì)線彈性直桿，樁周土體對(duì)樁的作用簡(jiǎn)化為與位移成正比的分布彈性力和與振速成正比的分布阻尼力的組合，下面給完整樁縱向振動(dòng)的定解計(jì)算方程［3］:

若把式（1）～（4）中的位移u（x，t）關(guān)于時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)，即可得關(guān)于樁身質(zhì)點(diǎn)振速v（x，t）的微分方程定解問(wèn)題。

對(duì)于非完整樁，縱向振動(dòng)定解方程推導(dǎo)過(guò)程與完整樁類(lèi)似，具體公式可參見(jiàn)文獻(xiàn)［5］。

采用的脈沖激振力表達(dá)式為［7］:

激振力參數(shù)和樁土參數(shù)參考反射波動(dòng)測(cè)資料、工程地質(zhì)勘察資料、施工記錄等資料，或通過(guò)模擬實(shí)測(cè)波形確定。

一般我們采用差分?jǐn)?shù)值解法來(lái)求取微分方程，將求解區(qū)域分割成M行N列的矩形網(wǎng)格，當(dāng)給定樁土參數(shù)、激振力參數(shù)和網(wǎng)格參數(shù)時(shí)，便可求出網(wǎng)格上各節(jié)點(diǎn)的速度值。文獻(xiàn)［3］和［5］詳細(xì)給出了完整樁和非完整樁縱向振動(dòng)定解問(wèn)題的差分解法。

2 完整樁曲線擬合與理論分析

本次進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)模擬的實(shí)驗(yàn)樁位于合肥工業(yè)大學(xué)緯地樓前，樁型為人工挖孔灌注樁，混凝土等級(jí)為C25。理論計(jì)算采用的主要參數(shù):樁密度ρ=2 400 kg/m3，樁長(zhǎng) L=7.0 m，彈性模量E=3.250 2×1010N·m－2;樁周土密度及剪切波速:ρs=1 800 kg/m3，cb=120 m/s;泊松比 vs=0.35;樁底土密度、剪切波速及泊松比ρb=2 500 kg/m3，cb=200 m/s，vb=0.35;激振力參數(shù)取值:t0=1.25 ms，I=1 N·s 。

圖1給出了均勻土中完整樁歸一化低應(yīng)變實(shí)測(cè)曲線與理論計(jì)算曲線。如圖所示，最大波峰為入射波，R1為樁底反射波。一次樁底反射波R1與入射波峰值之間時(shí)間差約為3.71 ms，波速約為3 800 m/s，由公式 T=2L/Vp得樁長(zhǎng) L為7.05 m，與施工資料給出的7.00 m基本一致。

圖2分別研究了完整樁樁身、樁側(cè)土、樁底土參數(shù)對(duì)時(shí)域速度曲線和速度振幅譜曲線的影響。為了便于計(jì)算，假設(shè)基樁樁徑不發(fā)生變化，為7 m，其他參數(shù)不變。

圖2（a）給出了樁長(zhǎng)L=7、14、21 m時(shí)樁頂縱向動(dòng)力響應(yīng)，由時(shí)域速度曲線可見(jiàn)，樁長(zhǎng)加倍，一次樁底反射到達(dá)時(shí)間也加倍，各樁底反射波與入射波同相位。由速度振幅譜曲線可見(jiàn)，樁長(zhǎng)一定時(shí)，隨著頻率的增加，速度幅值的各個(gè)峰值先增加后逐漸減小，波峰和波谷交替一次出現(xiàn)。隨著樁長(zhǎng)的增加，同一階的共振峰幅值與共振谷幅值的差值（峰谷差值）減小。

圖 2（b）給出了樁徑 d=0.5、1.0、1.5 m 時(shí)樁頂縱向動(dòng)力響應(yīng)，由時(shí)域速度曲線可見(jiàn)，入射波幅值隨樁徑的增加而減小，樁底反射波到時(shí)相同，其振幅相差不大，各樁底反射波與入射波同相位;由速度振幅譜曲線可見(jiàn)，樁徑增加，速度譜幅值減小，樁徑為0.5 m的曲線上第一個(gè)共振峰很不明顯，除第一個(gè)共振峰外，各階共振峰和共振谷對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)基本相同。

圖2（c）給出了樁身密度不同時(shí)樁頂縱向動(dòng)力響應(yīng)，由時(shí)域速度曲線可見(jiàn)，樁底反射與入射波均同相位，樁身密度增加時(shí)，相應(yīng)的入射波和樁底反射波幅值變化都不大;由速度振幅譜曲線可見(jiàn)，樁身密度增大時(shí)，共振峰和共振谷幅值均減小，但共振谷幅值減小的更大些。密度增大，對(duì)第n階共振峰的橫坐標(biāo)位置幾乎無(wú)影響，且共振峰近乎等間隔分布。

圖2（d）給出了樁身波速不同時(shí)樁頂縱向動(dòng)力響應(yīng)，由時(shí)域速度曲線可見(jiàn)，樁身波速增加，入射波峰幅值減小，樁底反射波將提前到達(dá);由速度振幅譜曲線可見(jiàn)，波速一定時(shí)，除第一個(gè)共振峰外，其余共振峰橫坐標(biāo)隨頻率增加而基本等間隔分布。樁身波速增加，第n階共振峰或共振谷向后平移，同時(shí)頻差增大。

圖2（e）給出了樁側(cè)土密度不同時(shí)樁頂縱向動(dòng)力響應(yīng)，由時(shí)域速度曲線可見(jiàn)，樁側(cè)土密度越大，波在傳播過(guò)程中衰減越明顯，導(dǎo)致樁底反射波幅值減小，但到達(dá)的時(shí)間相同;由速度振幅譜曲線可見(jiàn)，隨著樁側(cè)土密度增加，n階共振峰和共振谷的橫坐標(biāo)基本不變，但相應(yīng)的共振峰幅值減小，共振谷幅值增大。

圖2（f）給出了樁側(cè)土剪切波速不同時(shí)樁頂縱向動(dòng)力響應(yīng)，由時(shí)域速度曲線可見(jiàn)，隨著樁側(cè)土剪切波速的增加，入射波變化不大，但樁底反射波峰值減小，入射波與一次反射波之間的部分曲線會(huì)向下偏移更多，偏移越多，說(shuō)明土質(zhì)越硬;由速度振幅譜曲線可見(jiàn)，波速一定時(shí)，除第一個(gè)共振峰外，其余共振峰橫坐標(biāo)隨頻率增加而基本等間隔分布。樁側(cè)土剪切波速增加時(shí)，n階共振峰和共振谷的橫坐標(biāo)基本不變，但各階共振峰值明顯減小，共振谷值增加，峰谷差值減小。

3 非完整樁曲線理論分析

3.1 縮徑樁

該模型樁為人工挖孔灌注樁，混凝土強(qiáng)度為C25，樁長(zhǎng) 7.0 m，樁身半徑 0.4 m，樁身密度2 400 kg/m3，淺部縮徑樁的缺陷位置位于樁頂下1.0 ～1.5 m 處，縮徑處的半徑為 0.25 m;樁側(cè)土上部2 m左右為填土，下部為粘土，樁底持力層為該層粘土。理論計(jì)算時(shí)，取參數(shù)為:樁周土密度ρs=1 600 kg/m3，樁周土剪切波速 vs=140 m/s，樁底土密度ρb=1 800 kg/m3，樁底土剪切波速vb=150 m/s，樁 底 土泊 松 vb=0.35，激 振 沖 量I=1 N·s，激振力作用時(shí)間 t0=0.78 ms。

圖3分析的是縮徑的位置和樁徑的縮小程度對(duì)時(shí)域速度曲線的影響。左圖顯示的是樁徑縮小0.2 m和0.4 m時(shí)樁頂?shù)臅r(shí)域速度曲線，由圖可以看出，縮徑越厲害，縮徑反射越明顯，樁底發(fā)射越不明顯。此現(xiàn)象產(chǎn)生原因是，縮徑越厲害，縮徑處上下界面波阻抗相差越大，樁底處上下界面波阻抗相差越小，所以縮徑反射越明顯，樁底反射越不明顯。只觀察樁徑縮小0.4 m的曲線，第一個(gè)波峰為入射波，第二個(gè)波峰為一次縮徑反射，由圖可知入射波峰與一次縮徑反射波間時(shí)間大概為2.5 ms，所以下一個(gè)縮徑反射也應(yīng)相差 2.5 ms，即5.5 ms處的波峰為二次縮徑反射，前面5 ms處為樁底反射，樁底反射與二次縮徑反射有所重疊，所以就形成如圖所示的波形圖。

右圖顯示的是在2 m和5 m處出現(xiàn)縮徑時(shí)樁頂?shù)臅r(shí)域速度曲線，由圖可以看出，缺陷出現(xiàn)的位置越淺，縮徑反射越靠前，當(dāng)縮徑程度一樣時(shí)，縮徑反射的程度也一樣，且樁底反射大小和程度都一樣。

3.2 擴(kuò)徑樁

圖4分析的是擴(kuò)徑的位置和樁徑的擴(kuò)大程度對(duì)時(shí)域速度曲線的影響。左圖中樁徑分別擴(kuò)大0.2 m和0.4 m，由圖可見(jiàn)，擴(kuò)徑處直徑越大，則擴(kuò)徑反射越明顯。這是由于擴(kuò)徑越厲害，擴(kuò)徑處上下界面波阻抗相差越大，所以擴(kuò)徑反射就越明顯。樁底反射相差不大;右圖中分別在2 m和5 m處出現(xiàn)擴(kuò)徑，由圖可見(jiàn)，當(dāng)擴(kuò)徑程度一樣時(shí)，擴(kuò)徑出現(xiàn)的位置越淺，擴(kuò)徑反射越靠前，且擴(kuò)徑反射越明顯，但樁底反射位置和程度都相差不大。

3.3 斷樁

該模型樁為人工挖孔灌注樁，混凝土強(qiáng)度為C25，樁長(zhǎng) 7.0 m，樁身半徑 0.4 m，樁身密度2 400 kg/m3，淺部縮徑樁的缺陷位置位于樁頂下約1.0 m處，縮徑處的半徑為0.25 m，樁側(cè)土上部2 m左右為填土，下部為粘土，樁底持力層為該層粘土工程中，斷樁的樁土系統(tǒng)比較復(fù)雜，在這里實(shí)際計(jì)算時(shí)，采用將斷裂段的參數(shù)設(shè)計(jì)為樁側(cè)土的參數(shù)。

圖5分析的是斷樁位置對(duì)時(shí)域速度曲線的影響，分別在2 m和4 m處出現(xiàn)斷樁，由圖可知，斷樁位置越淺，缺陷反射出現(xiàn)的越靠前，相同時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的頻率增加。由計(jì)算得2 m處斷掉的，就相當(dāng)于是2 m的樁，4 m處斷掉的就相當(dāng)于是4 m的樁，那么除了入射波，各個(gè)反射就是樁底反射。位置不同的斷樁在相同的時(shí)間上缺陷波的大小相差不大，說(shuō)明了缺陷的位置不怎么影響振動(dòng)速度的衰減程度。

4 結(jié)論

（1）樁土模型中，樁側(cè)土剪切波速越大，一次樁底反射信號(hào)衰減越多，樁底反射幅值變得很小。一次樁底反射波的相位隨著樁底巖土的剪切波速Vsb的增大，其同相位信號(hào)逐漸減小至消失，而同相位后面的反向相位逐漸增大直至將同相信號(hào)取代。

（2）對(duì)于縮徑樁，縮徑位置一定時(shí)，縮徑程度越厲害，縮徑反射越明顯，樁底發(fā)射越不明顯;縮徑程度一樣時(shí)，縮徑出現(xiàn)的位置越淺，縮徑反射出現(xiàn)的時(shí)間越靠前，縮徑反射程度一樣。

（3）對(duì)于擴(kuò)徑樁，擴(kuò)徑位置一定時(shí)，擴(kuò)徑程度越大，擴(kuò)徑反射越明顯;擴(kuò)徑程度一樣時(shí)，擴(kuò)徑出現(xiàn)的位置越淺，擴(kuò)徑反射出現(xiàn)的時(shí)間越靠前，且擴(kuò)徑反射越明顯。

（4）對(duì)于斷樁，斷樁位置越淺，缺陷反射出現(xiàn)的越靠前，相同時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的頻率增加。除了入射波，各個(gè)反射就是樁底反射。

［1］雷林源，楊長(zhǎng)特.樁基瞬態(tài)動(dòng)測(cè)響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及基本特征［J］.地球物理學(xué)報(bào)，1992，5（4）:501－509.

［2］徐攸在，劉興滿.樁的動(dòng)測(cè)新技術(shù)［M］.北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2002.

［3］劉東甲.完整樁瞬態(tài)縱向振動(dòng)的模擬計(jì)算［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2000，23（5）:683－687.

［4］劉東甲.完整樁瞬態(tài)縱向振動(dòng)參數(shù)影響分析［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2000，23（6）:1014－1018.

［5］陳義全，任志國(guó)，劉東甲.非完整樁瞬態(tài)縱向振動(dòng)的模擬計(jì)算［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，27（10）:1210－1214.

［6］劉東甲.指數(shù)型變截面樁中的縱波［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2008，30（7）:1066－1071.

［7］劉東甲.縱向振動(dòng)樁側(cè)壁切應(yīng)力頻率域解及其應(yīng)用［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2001，23（5）:544－546.