張 燕，裘松良

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

廣義Agard偏差函數(shù)的不等式

張 燕，裘松良

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

通過對廣義Agard偏差函數(shù)與一些初等函數(shù)組合形式的單調性和凹凸性的研究，獲得了廣義Agard偏差函數(shù)和廣義線性偏差函數(shù)的最新上下界，從而推廣了平面擬共形映射理論中Agard偏差函數(shù)與線性偏差函數(shù)的一些不等式。

廣義Agard偏差函數(shù)；單調性；不等式

0 引 言

當t=1時，即為線性偏差函數(shù)［1］

其中

K（r）稱為第一類橢圓積分。F（a，b；c；x）為著名的高斯超幾何函數(shù)［2］，其定義為

下面介紹廣義Agard偏差函數(shù)［8］，其定義為

當t=1時，即為廣義線性偏差函數(shù)［8］

其中

Ka（r）稱為第一類廣義橢圓積分。顯然，ηK（1/2，t）=ηK（t），λ（1/2，K）=λ（K）。

近些年來，研究者們建立了許多關于Agard偏差函數(shù)的不等式［1，5，9］。

1997年，Anderson等［1］證明了以下不等式：當K＞1，a=（4/π）K（1/）2，b=a/2時，

2009年，Anderson等［5］證明了以下不等式：當K＞1，a=（4/π）K（1/）2，b=a/2時，

B（r）=8K（r）K′（r）2［E（r）-r′2K（r）］/π2，對所有的K∈（0，∞）成立

ηK（t）為擬共形映射提供了界，而λ（K）度量了固定無窮遠點的上半平面映為自身的K-擬共形映射的邊界值的偏差。而Agard偏差函數(shù)ηK（t）和線性偏差函數(shù)λ（K）分別為廣義Agard偏差函數(shù)ηK（a，t）和廣義線性偏差函數(shù)λ（a，K）的特殊情形，因此對于ηK（a，t）和λ（a，K）的研究顯得至關重要。本文的主要研究是將式（13）-式（16）進行推廣，得到ηK（a，t）和λ（a，K）所滿足的一些不等式。

在本文中，我們還需要第二類廣義橢圓積分Ea（r）及其Ramanujan常數(shù)R（a），它們的定義如下：

R（a）=-2γ-ψ（a）-ψ（1-a），R（1/2）=log16，其中γ是Euler常數(shù)，ψ是經(jīng)典的Psi函數(shù)［7］。

1 主要結果

（1）當c＞P（r）時，F(xiàn)c從（1，∞）到（-∞，4Ka（r）K′a（r）/［πsin（πa）］-c）嚴格單調下降；而當c= P（r）時，F(xiàn)c從（1，∞）到（P（r）-R（a）-log t，4Ka（r）K′a（r）/［πsin（πa）］-P（r））嚴格單調下降。特別地，當t∈（0，∞）和K∈（1，∞）時，下面的不等式成立：

當t=1時，不等式（17）退化為，

（2）當c≤Q（r）時，F(xiàn)c從（1，∞）到（4Ka（r）K′a（r）/［πsin（πa）］-c，∞）嚴格單調下降。特別地，當t∈（0，∞）和K∈（1，∞）時，不等式（19）成立

當t=1時，不等式（19）退化為：

（3）當Q（r）＜c＜P（r）時，存在K1∈（1，∞），使得Fc在（1，K1）上嚴格單調下降，而在（K1，∞）上嚴格單調上升。

（4）Fc在（1，∞）上是向下凸的。

2 引 理

引理2.1（見文獻［7］定理1.25）對-∞＜a＜b＜∞，設函數(shù)f和g是兩個實值函數(shù)，并都在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）上可微且在［a，b］上g′≠0，如果f′/g′在［a，b］上單調上升（下降），那么函數(shù)

也在（a，b）上單調上升（下降）。而且，若f′/g′的單調性是嚴格的，則F和G的單調性也是嚴格的。

如下引理可參見文獻［3］中的引理5.2（1）、引理5.4（1）及其定理5.5（2）。

引理2.2對a∈（0，1/2］則有：

（1）（Ea（r）-r′2Ka（r））/r2從（0，1）到（πa/2，sin（πa）/2（1-a））嚴格單調上升且上凸；

（2）r′cKa（r）從（0，1）到（0，π/2）嚴格單調下降當且僅當c≥2a（1-a）；

（3）μa（r）+log r從（0，1）到（0，R（a）/2）嚴格單調下降。

3 定理1.1的證明

定理1.1的證明如下。

對Fc求導，得：

令

根據(jù)引理2.2（1）和（2）可知，G4（K）關于K在（1，∞）上嚴格單調上升，因此，由式（26）和（27）和引理2.1即可知：G1（K）關于K在（1，∞）上嚴格單調上升，且

下面逐個證明定理的結論：

（1）當c＞P（r）時，從式（25）、式（28）和G1（K）的單調性即可得到：當K∈（1，∞）時有F′c（K）＜0，從而Fc在（1，∞）上嚴格單調下降，且

不等式（17）和（18）可由式（29）、式（30）以及此情況下Fc的單調性得到。

（2）當c≤Q（r）時，同樣從式（25）、式（28）和G1（K）的單調性即可得到：當K∈（1，∞）時有F′c（K）＞0，從而Fc在（1，∞）上嚴格單調上升，且

不等式（29）和（30）可由式（31）以及此情況下Fc的單調性得到。

（3）當Q（r）＜c＜P（r）時，同樣從（25），式（28）和G1（K）的單調性可知：存在K1∈（1，∞），使得當K∈（1，K1）時，F(xiàn)′c（K）＜0；當K∈（K1，∞）時，F(xiàn)′c（K）＞0。因此，F(xiàn)c（K）在（1，K1）上嚴格單調下降，而在（K1，∞）上嚴格單調上升。

（4）由G1（K）在（1，∞）的單調性便知：Fc在（1，∞）上向下凸的。

推論3.1設p、q為定理1.1所定義的變量，則函數(shù)fc（K）=K［logλ（a，K）/（K-1）-c］具有以下性質：

（1）當c＞π/sin（πa）時，fc從（1，∞）到（-∞，p-c）嚴格單調下降；而當c=π/sin（πa）時，fc從（1，∞）到（π/sin（πa）-R（a），p-π/sin（πa））嚴格單調下降；

（2）當c≤q時，fc從（1，∞）到（p-c，∞）嚴格單調上升；

（3）當q＜c＜π/sin（πa）時，存在K2∈（1，∞），使得fc在（1，K2）上嚴格單調下降，而在（K2，∞）上嚴格單調上升；

（4）fc在（1，∞）上是向下凸的。

證將t=1代入定理1.1即可得結論。

推論3.1設p，q為定理1.1所定義，對所有的K∈（1，∞）成立不等式：

從不等式（18）和（20）即得不等式（32）。

［1］Anderson GD，Vamanamurthy M K，Vuorinen M.Conformal invariants，inequalities，and quasiconformal maps［M］. New York：John Wiley&Sons，1997：1-326.

［2］Bowman F.Introduction to elliptic function with applications［M］.New York：Dover Publications，1953：1-115.

［3］Lehto O，Virtanen K I.Quasiconformal Mappings in the Plane［M］.New York：Springer-Verlag，1973：1-246.

［4］Martin G J.The distortion theorem for quasiconformal Schottky’s theorem and holomorphic motions［J］.Proc Amer Math Soc，1997，125（4）：1095-1103.

［5］Anderson G D，Qiu S L，Vamanamurthy M K，et al. Generalized elliptic integrals and modular equations［J］. Pacific J Math，2000，192（1）：1-37.

［6］Qiu S L.Agard’sη-distortion function and Schottky’s theorem［J］.Sci.China，1997，40（A）：1-9.

［7］Qiu S L，Vuorinen M.Special function in geometric function theory［M］//Handbook of Complex Analysis：Geometric Function Theory.Amsterdam：Elsevier Sci B.V，2005：621-659.

［8］Anderson G D，Qiu S L，Vuorinen M.Modular equations and distortion functions［J］.Ramanujan J，2009，18（20）：147-169.

［9］Chu Y M，Wang M K，Jiang Y P，et al.Monotonicity，convexity，and inequalities involving the Agard distortion function［J/OL］.Abstr Appl Anal，2011.［2013-12-19］. http：//www.hindowi.com/journals/aaa/2011/671765.

InequaIities of GeneraIized Agard Distortion Function

ZHANGYan，QIUSong-liang
（School of Science，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

By studying the monotonicity and convexity of the generalized Agard Distortion function and combination forms of some elementary functions，we obtain the latest upper and lower bounds for the generalized Agard Distoriton function and the generalized linear Distoriton function and then extend some inequalities of Agard Distoriton function and linear Distoriton function in the quasiconformal mapping theory.

generalized Agard Distortion function；monotonicity；inequality

O174

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0555-04

2013-12-19

國家科技支撐項目（11171307）

張 燕（1989-），女，浙江紹興人，碩士研究生，主要從事擬共形理論、解析函數(shù)、特殊函數(shù)方面的研究。