謝秀娟，寇春海，劉瑞娟

（東華大學(xué)a.理學(xué)院；b.信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620）

分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題在共振條件下解的存在性

謝秀娟a，寇春海a，劉瑞娟b

（東華大學(xué)a.理學(xué)院；b.信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620）

研究了在共振條件下分?jǐn)?shù)階微分方程的多點(diǎn)邊值問(wèn)題，應(yīng)用重合度理論，建立了關(guān)于解的存在性的充分條件.

分?jǐn)?shù)階微分方程；邊值問(wèn)題；重合度；共振

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程在控制、多孔介質(zhì)、電化學(xué)、黏彈性力學(xué)等學(xué)科和工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，已有大量文獻(xiàn)研究了非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階微分方程的可解性［1-10］.文獻(xiàn)［3］基于 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Banach壓縮映照原理，研究了如下形式的分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在唯一性：

文獻(xiàn)［7］考慮了如下分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題：

其中：2＜α≤3，1＜β＜2，0＜γ＜1，α-β-1＞0，0＜ξi＜1，ζi≥0，i＝1，2，…，m-2.利用重合度理論，建立了解的存在性的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出文中將要用到的有關(guān)定義及結(jié)論.

定義 1.1［2］假 設(shè)f：R＋→R，f的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中：t＞0.這里假定右端積分存在.

定義 1.2［2］假 設(shè)f：R＋→R，f的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中：n＝［α］＋1，t＞0.這里假定右端積分存在.

由此很容易驗(yàn)證，當(dāng)α＞0，μ＞-1時(shí)，函數(shù)tμ的 Riemann-Liouville分 數(shù) 階 積 分 和 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有如下形式：

引理1.1［6］假設(shè)α＞0，y∈C（0，1）∩L1［0，1］，則分?jǐn)?shù)階微分方程（t）＝0有如下解

其中：ci∈R，i＝1，2，…，n，n＝［α］＋1.

其中：ci∈R，i＝1，2，…，n，n＝［α］＋1.

引理1.3［2］設(shè)α＞β＞0，t∈［0，1］，且y（t）∈L1［0，1］，則有

下面的定義和重合度理論是文中主要結(jié)論證明的基礎(chǔ).

定義1.3［4］設(shè)Y，Z為Banach空間，L∈B（Y，Z），稱(chēng)L為Fredholm算子，如果下列條件成立：（i）ImL是Z的閉集；（ii）dimKerL＜＋ ∞；（iii）codim ImL＜＋∞.規(guī)定L的指標(biāo)為indL＝dimKerL-codim ImL，當(dāng)dimKerL＝codim ImL時(shí)，稱(chēng)L為指標(biāo)是0的Fredholm算子.

由定義可知，存在連續(xù)投影算子P：Y→Y及Q：Z→Z使得

Y＝KerL⊕KerP，Z＝ImL⊕ImQ及L｜domL∩KerP：domL∩KerP→ImL是可逆的，記其逆算子為K P：ImL→domL∩KerP.廣義逆算子K P，Q：Y→domL∩KerP，K P，Q＝K P（I-Q）.

定義1.4［4］設(shè)L：domL?Y→Z為Fredholm算子，Ω為Y中的有界開(kāi)集，N為Ω→Z的算子，稱(chēng)N在Ω上是L-緊的，如果QN：Ω→Z有界且K P，QN：Ω→Y在Ω上是緊的.

當(dāng)ImQ同構(gòu)于KerL時(shí)，存在同構(gòu)映射J NL：ImQ→KerL，并有如下的重合度定理.

定理1.1［11］設(shè)L為指標(biāo)是0的Fredholm算子，N在Ω-上是L-緊的，其中Ω為Y中的有界開(kāi)集.假設(shè)滿(mǎn)足下列條件：

（1）對(duì) ?（y，λ）∈ ［（domL＼KerL）∩?Q］×（0，1），有Ly≠λNy；

（2）對(duì) ?y∈KerL∩?Q，有Ny?ImL；

（3）deg（J NLQN｜KerL，Ω∩KerL，0）≠0，其中Q：Z→Z是連續(xù)投影且ImL＝KerQ，其中J NL：ImQ→KerL是同構(gòu)映射.

則方程Ly＝Ny在domL∩中至少存在一個(gè)解.

引理1.4［7］F?Cβ，γ［0，1］是相對(duì)緊集，當(dāng)且僅當(dāng)F一致有界且等度連續(xù)，即存在M＞0，使得對(duì)?y∈F，有

且對(duì) ?ε＞0，?δ＞0，?t1，t2∈ ［0，1］，｜t1-t2｜＜δ，?y∈F，有

定義 1.5［4］設(shè)f：［0，1］×R3→R 滿(mǎn) 足Carathéodory條件，假設(shè)下列條件成立：

（1）對(duì)?（x，y，z）∈R3，函數(shù)t→f（t，x，y，z），t∈［0，1］是Lebesgue可測(cè)的；

（2）對(duì)幾乎所有的t∈［0，1］，函數(shù)t→f（t，x，y，z）在R3上連續(xù)；

（3）對(duì)?r＞0，?φr（t）∈L1［0，1］，使得對(duì)t∈［0，1］，（x，y，z）∈R3（‖（x，y，z）‖≤r），｜f（t，x，y，z）｜≤φr（t）幾乎處處成立，其中‖·‖為R3中的范數(shù).

2 主要結(jié)論

本節(jié)建立含Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程共振多點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性定理，為證明主要結(jié)論，需要下面的引理.

的解當(dāng)且僅當(dāng)y滿(mǎn)足

且

證明 先證必要性.假設(shè)y∈Y是邊值問(wèn)題（3）和（4）的解，對(duì)式（3）兩邊求α階積分，

由引理1.2有

再證充分性.假設(shè)式（5）和（6）成立，由引理1.2，容易驗(yàn)證y是BVP式（3）和（4）的解.

引理2.2L為指標(biāo)是0的Fredholm算子，且

建立映射Q：Z→Z，

又dimKerL＝1＝dim ImQ＝codim ImL＜＋∞，且ImL?Z為閉集.故L為指標(biāo)是0的Fredholm算子.

考慮映射K P：ImL→domL∩KerP：

注意到（K PL）y＝K P（Ly）＝y(tǒng)，?y∈domL∩KerP，（LK P）g＝L（K Pg）＝g，?g∈ImL.因此，K P＝（L P）-1，其 中L P＝L｜domL∩KerP：domL∩KerP→ImL.

引理2.3 假設(shè)2＜α≤3，1＜β＜2，0＜γ＜1，且α-β-1＞0，對(duì)?g∈ImL，

其中

證明 對(duì)?g∈ImL，t∈［0，1］，有

由以上可知，K P（I-Q）N：Y→Y是全連續(xù)的.

H1存在函數(shù)β1，β2，β3，β4∈C［0，1］，且βi（t）≥0（i＝1，2，3，4）對(duì)t∈［0，1］幾乎處處成立，對(duì)t∈［0，1］，（x，y，z）∈R3，有

則邊值問(wèn)題（1）在domL上至少存在一個(gè)解.

證明 證明分為4步.

第1步：令Ω1＝｛y∈domL＼KerL｜Ly＝λNy，λ∈［0，1］｝，則Ω1是有界的.

事實(shí)上，任取y∈Ω1，則y∈domL＼KerL，且Ly＝λNy，故λ≠0，且Ny∈ImL＝KerQ?Z，則Q（Ny）＝0.由 H3知，?t0∈［0，1］，使得

由引理2.3，有

由H1，對(duì)?y∈Ω1，有

即Ω1是有界的.

第2步：令Ω2＝｛y∈KerL｜Ny∈ImL｝，可以證明Ω2是有界的.設(shè)y∈Ω2，則

由Ny∈ImL，有

由 H4，有｜c(diǎn)｜≤S，即得Ω2是有界的.

第3步：若式（11）成立，則令

若式（12）成立，則令

其中J NL：ImQ→KerL是線(xiàn)性同構(gòu)，J NL（cw（t））＝ctα-1，?c∈R，t∈［0，1］.可證Ω3是有界的.不妨設(shè)式（11）成立，則

矛盾，所以｜c(diǎn)｜≤S.即證得Ω3是有界的.

根據(jù)引理2.4，由QN（）有界，且K P，QN＝K P（IP）N：Ω-→Y是緊的，可知N是L-緊于的.則由第1步和第2步，有

（1）對(duì) ?（y，λ）∈ ［（domL＼KerL）∩?Ω］×（0，1），有Ly≠λNy；

（2）對(duì) ?y∈KerL∩?Ω，有Ny?ImL；

定義H（y，λ）＝-λIy＋（1-λ）J NL QNy，其中I為Y中的恒等映射，由第3步可知，對(duì)?y∈KerL∩?Ω，有H（y，λ）≠0，因此，由拓?fù)涠鹊耐瑐愋再|(zhì)，有

即驗(yàn)證了定理1.1的條件（3）.根據(jù)定理1.1，可得邊值問(wèn)題（1）在domL∩上至少存在一個(gè)解.

注：上述證明方法可以推廣應(yīng)用于研究下面分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性：

其中：n-1＜αn≤n，j-1＜αj＜j，αn-αn-1-1＞0，0＜ξi＜1，ζi≥0，i＝1，2，… ，m-2，j＝1，2，…，n-1.

［1］KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILL J J.Theory and applications of fractional differential equations［M］.Amsterdam，Holland：Elsevier，2006.

［2］PODLUBNY I.Fractional differential equations［M］.London：Academic Press，1999.

［3］REHMAN M，KHAN R A.Existence and uniqueness of solutions for multi-point boundary value problems for fractional differential equations［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23（9）：1038-1044.

［4］CHEN Y，TANG X H.Solvability of sequential fractional order multi-point boundary value problems at resonance［J］.Applied Mathematics and Computation，2012，218（14）：7638-7648.

［5］FERANCO D，NIETO J J，OREGAN D.Existence of solutions for first order ordinary differential equations with nonlinear boundary conditions［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，153：793-802.

［6］AHMAD B，NIETO J J.Existence results for a coupled system of nonlinear fractional differential equations with three-point boundary conditions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，58（9）：1838-1843.

［7］BAI Z B.Solvability for a class of fractional m-point boundary value problem at resonance［J］.Computers and Mathmatics with Applications，2011，62（3）：1292-1302.

［8］DU Z J，LIN X J，GE W G.Some higher-order multi-point boundary value problem at resonance ［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics，2005，177（1）：55-65.

［9］ZHOU H C，KOU C H，XIE F.Existence of solutions for fractional differential equations with multi-point boundary conditions at resonance on a half-line［J］.Electionic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2011，27：1-16.

［10］JIANG W H.Solvability for a coupled system of fractional differential equations at resonance［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2012，13（5）：2285-2292.

［11］MAWHIN J.Topological degree and boundary value problems for nonlinear differential equations［M］／／Topological Methods for Ordinary Differential Equations Lecture Notes in Mathematics.Berlin：Springer，1991，1537：74-142.

Existence of Solutions for m-Point Boundary Value Problem for Fractional Differential Equations at Resonance

XIEXiu-juana，KOUChun-haia，LIURui-juanb

（a.College of Science；b.College of Information Science and Technology，Donghua University，Shanghai 201620，China）

A m-point boundary value problem of fractional differential equations at resonance is studied.A suf ficient condition for the existence of solutions of the above problem is established by using the coincidence degree theory.

fractional differential equation；boundary value problem；coincidence degree；resonance

O 175.8

A

2013-05-20

上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10ZR1400100）

謝秀娟（1988—）女，湖北咸寧人，碩士研究生，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程.E-mail：xiyanyixian＠126.com

寇春海（聯(lián)系人），男，教授，E-mail：kouchunhai＠dhu.edu.cn

1671-0444（2014）03-0372-07