陳曉輝 裴進(jìn)明 郭欣欣 齊 松

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一種基于多維均勻采樣與Kriging模型的天線快速優(yōu)化方法

陳曉輝*裴進(jìn)明 郭欣欣 齊 松

(安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 蕪湖 241000)

天線優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于經(jīng)典優(yōu)化算法一般需要對(duì)同一結(jié)構(gòu)的成百上千組參數(shù)進(jìn)行電磁仿真后才能得出最優(yōu)結(jié)果，因此多參數(shù)、大范圍的天線優(yōu)化設(shè)計(jì)存在計(jì)算效率問(wèn)題。該文利用Kriging模型擬合參數(shù)空間內(nèi)樣本點(diǎn)的電磁仿真數(shù)據(jù)，代替電磁仿真實(shí)現(xiàn)從結(jié)構(gòu)參數(shù)到電磁響應(yīng)的瞬時(shí)近似計(jì)算，通過(guò)初始階段的多維均勻拉丁超立方采樣算法(LHS-MDU)和優(yōu)化循環(huán)中的新增采樣策略，減少電磁仿真次數(shù)，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。利用此方法調(diào)整矩形貼片天線的饋點(diǎn)位置和雙頻單極子天線的振子長(zhǎng)度來(lái)優(yōu)化工作頻點(diǎn)與阻抗帶寬，相比遺傳算法，完成相同目標(biāo)所需的電磁仿真次數(shù)分別減少了75%和84%。

天線優(yōu)化；代理模型；Kriging模型；多維均勻采樣

1 引言

基于以上原因，本文提出利用精細(xì)模型仿真數(shù)據(jù)，通過(guò)減少樣本數(shù)量，改善樣本分布的方法構(gòu)建代理模型。在初始階段利用多維均勻拉丁超立方采樣算法使有限的樣本點(diǎn)在參數(shù)空間內(nèi)均勻分布以提高優(yōu)化的全局性，在優(yōu)化過(guò)程中，綜合樣本點(diǎn)的空間分布和預(yù)測(cè)性能兩方面因素，采用候選排名策略加入新的樣本數(shù)據(jù)來(lái)更新Kriging模型，以加快收斂速度。利用本文方法對(duì)矩形貼片天線和雙頻單極子WLAN天線進(jìn)行工作頻點(diǎn)和阻抗帶寬優(yōu)化，結(jié)果表明，與遺傳算法相比該方法可以顯著減少電磁模型的仿真次數(shù)，提高優(yōu)化效率。

2 優(yōu)化原理

2.1 優(yōu)化問(wèn)題描述

天線優(yōu)化問(wèn)題可以描述為

2.2 多維均勻采樣

在建立代理模型時(shí)，最主要的采樣方法就是拉丁超立方采樣(Latin Hypercube Sampling, LHS)，它由McKay等人[13]于1979年為仿真試驗(yàn)設(shè)計(jì)而提出，通過(guò)對(duì)參數(shù)區(qū)間分層和非重疊隨機(jī)采樣，可以使樣本點(diǎn)相對(duì)均勻地填滿整個(gè)參數(shù)空間。但如果減少樣本點(diǎn)數(shù)量，由于分層只對(duì)1維參數(shù)區(qū)間進(jìn)行，樣本點(diǎn)在多維空間中的均勻性難以保證。一種改進(jìn)方法是多維均勻拉丁超立方采樣(LHS with MultiDimensional Uniformity, LHS-MDU)[14]，它在保持LHS 1維分層均勻采樣的基礎(chǔ)上，通過(guò)增大樣本點(diǎn)間的距離來(lái)提高其在多維空間的均勻性，其流程簡(jiǎn)述如下：

步驟1 利用LHS算法，在參數(shù)空間中生成=個(gè)維樣本點(diǎn)，為所需樣本點(diǎn)數(shù)目，系數(shù)為大于1的正整數(shù)；

步驟2 計(jì)算第個(gè)樣本點(diǎn)到其他樣本點(diǎn)的距離

步驟4 對(duì)個(gè)樣本點(diǎn)的每一維從小到大排序，以序號(hào)作為該維參數(shù)區(qū)間等分層的層號(hào)，在每層中選取隨機(jī)數(shù)代替原數(shù)據(jù)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)該維參數(shù)的分層均勻采樣。

分別利用LHS和LHS-MDU兩種算法在2維空間[0,1]2中產(chǎn)生20個(gè)樣本點(diǎn)的結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯霰M管兩種算法在單維度上都滿足分層均勻采樣的原則，但是在2維空間中，LHS-MDU算法的均勻性明顯優(yōu)于LHS算法。

圖1 兩種采樣算法在2維空間[0,1]2的采樣結(jié)果

2.3 Kriging模型

式中，()是由1,各分量或其高次項(xiàng)構(gòu)成的向量；是回歸系數(shù)；是隨機(jī)誤差，其均值為0，方差為2,中任意兩點(diǎn)的協(xié)方差為

測(cè)試點(diǎn)響應(yīng)的估計(jì)值認(rèn)為是各樣本點(diǎn)響應(yīng)的線性組合。

則估計(jì)誤差為

估計(jì)均方差為

在約束條件式(8)下，求使式(9)取得最小值。構(gòu)造Lagrange函數(shù)

令

則

式中

根據(jù)樣本集和響應(yīng)集可以按式(13)和式(15)確定和，對(duì)于未知點(diǎn)，只需計(jì)算()和()，然后根據(jù)式(14)計(jì)算兩個(gè)矩陣的乘積再求和，即可得到響應(yīng)估計(jì)值s()，而估計(jì)誤差按式(7)來(lái)計(jì)算。Kriging模型的詳細(xì)介紹見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。

2.4 優(yōu)化循環(huán)

本方法對(duì)新增樣本點(diǎn)的選擇策略是，如果當(dāng)前最優(yōu)參數(shù)op滿足均勻性條件：

則使用當(dāng)前xop及其響應(yīng)R(xop)作為新的樣本數(shù)據(jù)來(lái)更新Rs(x)，否則利用LHS-MDU算法產(chǎn)生k個(gè)候選樣本點(diǎn)，首先按候選樣本點(diǎn)到已有樣本點(diǎn)的最小距離，由大到小排序；然后利用當(dāng)前Rs(x)計(jì)算各候選樣本點(diǎn)適應(yīng)度，按適應(yīng)度值由小到大排序；兩次排序序號(hào)取和，序號(hào)最小的候選樣本點(diǎn)作為本次優(yōu)化循環(huán)的新增樣本點(diǎn)。優(yōu)化過(guò)程的流程圖如圖2所示。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 矩形貼片天線饋點(diǎn)位置優(yōu)化

圖3 矩形貼片天線

相關(guān)函數(shù)選用高斯函數(shù)。在隨后的優(yōu)化循環(huán)中，每次循環(huán)利用候選排名算法新增一個(gè)樣本點(diǎn)，共增加了19個(gè)樣本點(diǎn)如圖3(b)中的“×”所示，結(jié)合圖4的11參數(shù)響應(yīng)曲面可以看出，新增的樣本點(diǎn)可以在保持相對(duì)均勻的同時(shí)有效地遠(yuǎn)離性能較差的樣本點(diǎn)，而集中于優(yōu)化目標(biāo)附近。整個(gè)優(yōu)化過(guò)程需要39次電磁仿真，優(yōu)化結(jié)果是：op=[5.16, 1.51], Kriging模型的預(yù)測(cè)值為11@2.37 GHz=-23.54 dB, HFSS仿真結(jié)果為11@2.37 GHz=-24.95 dB，天線E面和H面方向圖如圖5所示，最大增益為7.14 dB。

3.2 雙頻單極子WLAN天線振子長(zhǎng)度優(yōu)化

雙頻WLAN單極子天線[16]如圖7所示，基板材料為RO4003，介電常數(shù)，損耗角正切，厚度=1.52 mm；微帶饋線寬度1=3.5 mm，長(zhǎng)度3=13 mm；接地板長(zhǎng)度4=11 mm。左右兩臂分別工作于高頻段5.150～5.825 GHz和低頻段2.4000～2.4825 GHz，待優(yōu)化變量為左右兩臂長(zhǎng)度=[1,2,1,2]，優(yōu)化目標(biāo)是工作頻帶內(nèi)。

按照臂長(zhǎng)取1/4波長(zhǎng)的原則確定各變量的取值范圍如表2所示。利用LHS-MDU算法生成初始樣本點(diǎn)，取樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)=40，系數(shù)=5，使用HFSS仿真得到各樣本點(diǎn)在2.4000～2.4825 GHz和5.150～5.825 GHz工作頻段內(nèi)的11參數(shù)，步長(zhǎng)選0.050 GHz，低頻段3個(gè)頻點(diǎn)，高頻段17個(gè)頻點(diǎn)，帶寬內(nèi)對(duì)頻點(diǎn)定義線性適應(yīng)度函數(shù)為

圖4 S11響應(yīng)曲面

圖5 矩形貼片天線方向圖，

圖6 優(yōu)化過(guò)程收斂曲線

表1矩形貼片天線優(yōu)化結(jié)果

序號(hào)最優(yōu)參數(shù)xop(mm)Kriging預(yù)測(cè)值U(Rs(xop))HFSS仿真值U(R(xop))初始樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)新增樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)電磁仿真次數(shù) 1[5.7043, 1.5971]-23.8435-24.8887203555 2[5.4062, 1.5416]-25.9228-25.919520 323 3[5.9308, 1.9981]-21.2147-22.0665202444 4[5.4648, 1.5292]-25.7078-25.760720 323 5[5.2230, 2.0735]-20.1450-23.6101203353 6[5.7372, 1.9816]-24.4784-24.1613202242 7[5.2326, 1.5087]-21.3269-25.356120 626 8[5.6953, 2.2478]-20.4295-21.7100202343 9[5.1784, 1.7662]-24.2927-25.4394202646 10[5.7043, 1.5971]-23.8435-24.8887202747

表2參數(shù)取值范圍

參數(shù)最小值(mm)最大值(mm) L138 L2510 R1510 R21523

取1=80,2=1來(lái)強(qiáng)調(diào)如果頻帶11>-15 dB，適應(yīng)度會(huì)顯著變差，并取帶寬內(nèi)各頻點(diǎn)適應(yīng)度的平均值作為該樣本點(diǎn)的適應(yīng)度。構(gòu)建Kriging模型擬合樣本點(diǎn)和其響應(yīng)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)由4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)到20個(gè)響應(yīng)數(shù)據(jù)的快速計(jì)算，設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)為適應(yīng)度小于10，經(jīng)過(guò)141次循環(huán)后優(yōu)化結(jié)束，最優(yōu)參數(shù)op=[4.17, 9.13, 5.91, 21.55]。Kriging模型對(duì)最優(yōu)參數(shù)11的預(yù)測(cè)曲線如圖8中實(shí)線所示，HFSS仿真得到的11曲線如圖8中虛線所示，可見(jiàn)除高頻諧振點(diǎn)外，Kriging模型有良好的計(jì)算精度。HFSS仿真得到天線方向圖如圖9所示。

將這一優(yōu)化算法重復(fù)5次，優(yōu)化結(jié)果如表3所示，對(duì)于適應(yīng)度小于10的優(yōu)化目標(biāo)，平均的電磁仿真次數(shù)是140次，平均優(yōu)化效率曲線如圖10中實(shí)線所示。為了驗(yàn)證算法效率，使用遺傳算法(GA)，以相同適應(yīng)度函數(shù)對(duì)該天線做優(yōu)化，設(shè)置最大優(yōu)化代數(shù)為100，交叉概率為0.8，每代種群數(shù)量為100，得到最優(yōu)參數(shù)op=[4.03, 9.15, 5.85, 21.62]，優(yōu)化效率曲線如圖10中虛線所示，對(duì)于適應(yīng)度小于10的優(yōu)化目標(biāo)，需要的電磁仿真次數(shù)約900次。對(duì)于4變量的振子長(zhǎng)度優(yōu)化，相比遺傳算法，本文方法所需的電磁仿真次數(shù)減少了84%。

4 結(jié)束語(yǔ)

目前天線優(yōu)化設(shè)計(jì)主要依靠仿真軟件對(duì)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)。本文利用Kriging模型代替仿真軟件實(shí)現(xiàn)天線電磁響應(yīng)的快速近似計(jì)算，為減少建立Kriging模型時(shí)樣本數(shù)據(jù)的仿真量，首先，在初始階段運(yùn)用LHS-MDU算法使有限的樣本點(diǎn)在參數(shù)空間均勻分布，節(jié)省計(jì)算的同時(shí)，提高優(yōu)化的全局性；其次，在優(yōu)化循環(huán)中，從樣本點(diǎn)的空間分布和預(yù)測(cè)性能兩方面結(jié)合來(lái)新增樣本數(shù)據(jù)，且每次循環(huán)僅對(duì)一個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行電磁仿真，用仿真得到的數(shù)據(jù)更新Kriging模型，以實(shí)現(xiàn)更高的數(shù)據(jù)利用率。利用此方法對(duì)矩形貼片天線的饋點(diǎn)位置(2變量)和雙頻單極子天線的振子長(zhǎng)度(4變量)進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)于相同的優(yōu)化目標(biāo)，相比遺傳算法分別減少了75%和84%的電磁仿真次數(shù)。本文方法對(duì)各種電磁結(jié)構(gòu)的仿真優(yōu)化設(shè)計(jì)有一定的指導(dǎo)意義。

圖8 最優(yōu)參數(shù)的S11曲線

圖9 雙頻單極子WLAN天線H面方向圖，實(shí)線：低頻方向圖；虛線：高頻方向圖

圖10 優(yōu)化過(guò)程收斂曲線

表3雙頻單極子WLAN天線優(yōu)化結(jié)果

序號(hào)最優(yōu)參數(shù)xop(mm)Kriging預(yù)測(cè)值U(Rs(xop))HFSS仿真值U(Rs(xop))初始樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)新增樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)電磁仿真次數(shù) 1[4.3835, 9.1763, 5.9575, 21.4498]-0.87538.978040 13 53 2[4.2709, 9.2214, 5.9419, 21.4712] 9.37796.909740 98138 3[4.4133, 9.1690, 5.9541, 21.3247] 4.43155.798440147187 4[4.3290, 9.0824, 5.8926, 21.5059] 7.32928.491740136176 5[4.2121, 9.0304, 5.9738, 21.5051] 9.14823.020240105145

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陳曉輝： 男，1981年生，碩士，講師，研究方向?yàn)槲炀€理論和微帶天線優(yōu)化設(shè)計(jì).

裴進(jìn)明： 男，1964年生，博士，副教授，研究方向?yàn)樘炀€與電波傳播、微帶天線理論、天線優(yōu)化設(shè)計(jì).

郭欣欣： 女，1980年生，碩士，講師，研究方向?yàn)殡姶欧抡媾c數(shù)值分析.

An Efficient Antenna Optimization Method Based on KrigingModel and Multidimensional Uniform Sampling

Chen Xiao-hui Pei Jin-ming Guo Xin-xin Qi Song

(,,241000,)

During the process of antenna design and optimization, classical optimization methods often require hundreds or even thousands trials of different parameter combinations, which leads to a low efficiency in solving multi-parameter and large scale optimization problems. In this paper, a quick and approximate computation of the EM response can be realized though a Kriging model, which is created by fitting the simulation results to their structural parameters. The number of EM simulation needed can be reduced by Latin Hypercube Sampling for MultiDimensional Uniformity (LHS-MDU) at the initial stage and a candidate-selecting method in the following optimization loops. In order to optimize the resonant frequency and impedance bandwidth, the feed position of a rectangular patch antenna and the dipole lengths of a dual-band monopole antenna are adjusted by the proposed method and compared with the genetic optimization, the numbers of EM simulation are reduced by 75% and 84% respectively.

Antenna optimization; Surrogate model; Kriging model; Multidimensional uniform sampling

TN820

A

1009-5896(2014)12-3021-06

10.3724/SP.J.1146.2013.01826

陳曉輝 cxhlk@126.com

2013-11-20收到，2014-03-25改回