張洪梅

黑格爾曾指出“熟知”與“真知”之間的區(qū)別，他有一句名言：熟知不等于真知。注意到這一點(diǎn)對(duì)于數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)尤為重要，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)步與發(fā)展不僅需要知道或認(rèn)可，還需要理解。人們只有通過(guò)學(xué)習(xí)具體的材料，有所領(lǐng)悟和理解，進(jìn)而才能達(dá)到把握和靈活的運(yùn)用。學(xué)習(xí)進(jìn)程中許多障礙皆緣由于此。

一、熟知不等于真知

可以舉出很多實(shí)力來(lái)說(shuō)明熟知的東西未必真懂。例如雖然很多學(xué)生都會(huì)解方程：

3x-1=2x-7

3x-1-2x+1=2x-7-2x+1

x=-6

當(dāng)問(wèn)到解題的根據(jù)時(shí)，多數(shù)人回答是移項(xiàng)變號(hào)。其實(shí)這是解題法則，是操作程序而不是根據(jù)。追問(wèn)后，回答依據(jù)等量公理。下面簡(jiǎn)述繼續(xù)回答的過(guò)程：方程是含有未知數(shù)的等式；關(guān)于等式有兩種定義，其一是實(shí)質(zhì)定義，其二是形式定義。我們采取后者：等號(hào)聯(lián)結(jié)的式子是等式。進(jìn)而可以區(qū)分為真等式、假等式和可真假等式；方程是一個(gè)可真假的等式，為什么可以使用等量公理？換一個(gè)角度來(lái)看，解方程是尋求一個(gè)等式成為真等式的充分條件，或證明其無(wú)解的過(guò)程。為什么在解方程時(shí)卻是在求等式成立的必要條件，豈不是南轅北轍？類(lèi)似的問(wèn)題，曾經(jīng)問(wèn)過(guò)很多教師探討過(guò)，有的老師也說(shuō)不清楚。

類(lèi)似錯(cuò)解可無(wú)限列舉下去。

事實(shí)上，解方程時(shí)曾暗中假定方程有解，其根暫時(shí)用x代替，此時(shí)，方程將可看作是真等式，從而可根據(jù)等量公理導(dǎo)出解題法則。當(dāng)然得到方程的根后，在理論上代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)以落實(shí)最初的假定。這種解題思想在高等數(shù)學(xué)中討論線性方程組的行列式解法曾進(jìn)行過(guò)充分說(shuō)明。

再有，解一次方程時(shí)的各個(gè)步驟，可根據(jù)同樣的依據(jù)逆推回去，因此等式成立的必要條件亦即其充分條件，運(yùn)算時(shí)盡可放心?？墒?，把解方程時(shí)所做的事情原封不動(dòng)地推移到解不等式的情形中來(lái)，則很容易出現(xiàn)差錯(cuò)。

在中學(xué)中，常用的不等是性質(zhì)約有12條，它們都可以在證明不等式的推理中可以使用。其中只有4條性質(zhì)給出了充要條件，只有這些才可用于解不等式。這說(shuō)明理解才是運(yùn)用、活用知識(shí)的基礎(chǔ)。

二、原因分析

首先從數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特點(diǎn)說(shuō)起，它有助于說(shuō)明“形式”與“內(nèi)容”之間的關(guān)系。著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海指出“數(shù)學(xué)就是對(duì)模式的研究”。

模式簡(jiǎn)化了思維過(guò)程，降低了思維強(qiáng)度，提高了思維效率。當(dāng)然這意味著盡量減少人的智力投入，就如同人們制造出機(jī)器可以降低勞動(dòng)強(qiáng)度提高工作效益的道理一樣。但是人們還需要考慮擴(kuò)充機(jī)器的使用范圍，并且還需要?jiǎng)?chuàng)造出新類(lèi)型、更多功能的機(jī)器，如果不深刻了解原有機(jī)器的原理和結(jié)構(gòu)就無(wú)法實(shí)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教育中，不僅要重新發(fā)現(xiàn)和研究新的模式，同時(shí)還要注重人的發(fā)展，從而對(duì)已有內(nèi)容的理解就更為重要，這是前進(jìn)的基礎(chǔ)。

由于數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，一些方法、法則、操作步驟往往可能脫離其理論依據(jù)、擺脫其成因的思想，這就為“會(huì)做題”與“理解數(shù)學(xué)”之間形成差額提供了可能。再加上，數(shù)學(xué)中訓(xùn)練性的問(wèn)題多，練習(xí)題題型過(guò)窄，多數(shù)屬于一種常規(guī)技術(shù)的運(yùn)用或簡(jiǎn)單的組合變化，使得只要避免無(wú)意識(shí)的錯(cuò)誤就可以成功。這類(lèi)問(wèn)題對(duì)于鞏固、記憶和熟化已有知識(shí)能起一定作用，僅靠這類(lèi)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生的良好思維品質(zhì)的形成和思維水平的提高未必有利。應(yīng)增加適量思考性強(qiáng)的問(wèn)題。因此，明確把程式化、操作性強(qiáng)和簡(jiǎn)單推理的數(shù)學(xué)活動(dòng)納入技能范疇，避免這類(lèi)大運(yùn)動(dòng)量、重復(fù)性強(qiáng)的技能訓(xùn)練與能力培養(yǎng)混為一談。這就把思考性問(wèn)題與技能訓(xùn)練問(wèn)題匹配不當(dāng)?shù)娜毕萃滑F(xiàn)出來(lái)。

三、注意保持領(lǐng)悟

可以說(shuō)，數(shù)學(xué)教育中熟知的東西與真正理解數(shù)學(xué)之間出現(xiàn)了剪刀差，這一現(xiàn)象帶有相當(dāng)?shù)钠毡樾浴?/p>

關(guān)鍵問(wèn)題是怎樣做才有利于保持領(lǐng)悟，重要是教學(xué)中解體活動(dòng)內(nèi)容的擇定，即適量增補(bǔ)或編制有利于學(xué)生發(fā)展的問(wèn)題，練習(xí)題和考題，重視思考性、啟發(fā)性和進(jìn)行 創(chuàng)造性思維訓(xùn)練，問(wèn)題還要結(jié)合日常生活及學(xué)生們較熟悉的情境。

“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”。變熟知為真知，還要學(xué)會(huì)“跳出來(lái) ”。人們往往有注重第一印象和容易憑經(jīng)驗(yàn)來(lái)解題的心理弱點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)中很容易被表面現(xiàn)象和假象所迷惑。而具備科學(xué)頭腦的人就不一樣了，他們總能在人們 司空見(jiàn)慣的課題中悟出真知，如牛頓從蘋(píng)果落地的現(xiàn)象中悟出了萬(wàn)有引力定律。這其中一個(gè)很重要的原因，就是他們跳出了常人思維的框框，用全新的思路去發(fā) 現(xiàn)和研究問(wèn)題。恩格斯在《反杜林論》中有一段精辟的論述：“常識(shí)在日常應(yīng)用 的范圍內(nèi)雖然是極可尊敬的東西，但它一跨入廣闊的研究領(lǐng)域，就會(huì)碰到極為驚 人的變故?！币虼?，學(xué)習(xí)中我們要善于跳出習(xí)慣性的思維圈子，經(jīng)常用好奇的眼 光來(lái)審視眼前發(fā)生的一切，審視那些自以為耳熟能詳?shù)睦蠁?wèn)題，這樣，就一定能 從中悟出的真諦，使學(xué)習(xí)常做常新。