徐紅梅 郭樹旭

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基于符號相對熵的Logistic混沌系統(tǒng)時間不可逆性分析

徐紅梅①②郭樹旭*①

①(吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 長春 130012)②(延邊大學(xué)工學(xué)院 延吉 133002)

混沌系統(tǒng)；Logistic系統(tǒng)；符號時間序列；相對熵；時間不可逆

1 引言

混沌現(xiàn)象是不含外加隨機(jī)因素的完全確定性系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的內(nèi)部隨機(jī)行為，具有不可預(yù)測性和不確定性。在一定的控制方法和參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)會出現(xiàn)周期運動和混沌現(xiàn)象?，F(xiàn)有的混沌研究方法主要有分岔圖[8]，Lyapunov指數(shù)[9]，Jacobian矩陣法[10]等。這些方法直觀形象，但是需要進(jìn)行大量計算，對于高維迭代映射，不動點和Jacobian矩陣計算更加困難。因此，采用解析方法分析混沌現(xiàn)象存在一定的局限。數(shù)學(xué)理論已經(jīng)證明，在1維非線性系統(tǒng)中得到的倍周期分岔序列與臨界點附近的標(biāo)度性質(zhì)對于高維系統(tǒng)普遍適用[11]。因此，研究1維非線性系統(tǒng)的混沌具有普遍而重要意義，其中具有代表性的就是Logistic混沌系統(tǒng)。

從時間序列角度研究混沌，始于文獻(xiàn)[12]提出的相空間重構(gòu)理論。在信息論范疇，熵是對不確定性的最佳量化參數(shù)，對混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的時間序列進(jìn)行離散化處理，然后進(jìn)行統(tǒng)計分析和量化，從而使從時間序列研究混沌成為可能。文獻(xiàn)[13]研究了噪聲相互關(guān)聯(lián)時間對Logistic系統(tǒng)亞穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性的影響，文獻(xiàn)[14]分析了Logistic混沌系統(tǒng)不同初值和系統(tǒng)參數(shù)的譜熵復(fù)雜性，文獻(xiàn)[15]研究了Logistic混沌系統(tǒng)突變時間序列臨界預(yù)警，文獻(xiàn)[16]指出時間序列不對稱性或不可逆性是混沌行為的重要標(biāo)志，文獻(xiàn)[17]研究了腦電信號的時間不可逆性，文獻(xiàn)[18]研究了時間不可逆性與熵產(chǎn)之間的關(guān)系。

2 時間序列符號化和相對熵理論

2.1時間序列符號化

時間序列分析是由符號動力學(xué)、混沌時間序列分析和信息論衍生的形式較為簡單的嚴(yán)格數(shù)學(xué)方法，是實際動力系統(tǒng)的高度概括和抽象。根據(jù)時間序列與符號序列拓?fù)涔曹椀奶匦?，將若干個可能值上的離散時間序列轉(zhuǎn)化為符號序列，符號化后序列能夠保持原有系統(tǒng)動力學(xué)特性，從而將混沌系統(tǒng)變成一個遍歷的信息源，可以采用信息論來分析符號序列。以1維單峰映射Logistic函數(shù)為例說明時間序列符號化方法。

經(jīng)典Logistic函數(shù)定義為

根據(jù)式(1)，經(jīng)推導(dǎo)可得

詹尋頂著黑眼圈，坐在一堆線裝書中間，幾只毛筆凌亂地散落在他的身邊。鋪在桌上的宣紙上，密密麻麻地寫滿了繁體字……

2.2 相對熵理論

根據(jù)KL(Kullback-Leibler divergence)散度理論[21]，離散型隨機(jī)變量的相對熵定義為

因為

相對熵反映符號序列前向分布和逆向分布的差異性。熵的本質(zhì)是變化的方向性和時間的方向性，只要相對熵可以計算且大于等于零，就表明存在時間不可逆性[21]。自然界的一切自發(fā)進(jìn)行過程都是朝熵增方向進(jìn)行的，在熵增原理的前提下，熵值較小對應(yīng)于比較有序的狀態(tài)，熵值較大對應(yīng)于比較無序的狀態(tài)，可逆過程的熵值為零。

3 Logistic混沌系統(tǒng)相對熵

圖1 Logistic返回映射(μ=4)

圖2 Logistic混沌系統(tǒng)分岔圖

3.1相對熵與數(shù)據(jù)長度關(guān)系

(2)當(dāng)數(shù)據(jù)長度大于4000時，實際數(shù)據(jù)長度與理論要求一致，相對熵變化區(qū)間和標(biāo)準(zhǔn)差趨于穩(wěn)定。

3.2 相對熵與編碼長度關(guān)系

編碼長度越長實驗效果越明顯，考慮到算法復(fù)雜度及在實際應(yīng)用中的實用性，編碼長度應(yīng)取得短一些，綜合考慮以上諸因素，編碼長度取8位就能得到理想的實驗結(jié)果。

3.3 數(shù)據(jù)長度=5000, 編碼長度m=8時相對熵特性

圖3 Logistic混沌系統(tǒng)固定點隨參數(shù)μ變化曲線

圖4 Logistic混沌系統(tǒng)統(tǒng)計分布圖L=100000，M=100

圖5 Logistic混沌系統(tǒng)前向和逆向序列

圖7 Logistic混沌系統(tǒng)相對熵與編碼長度m的關(guān)系

圖8 L=5000, m=8, Logistic混沌系統(tǒng)符號序列相對熵3維圖

圖9 Logistic混沌系統(tǒng)相對熵變化范圍及相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差曲線

圖10 L=5000, m=8, Logistic混沌系統(tǒng)序列分布圖

4 結(jié)論

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徐紅梅： 女，1975年生，博士生，研究方向為智能開關(guān)變換及控制、混沌動力學(xué)、無線通信技術(shù).

郭樹旭： 男，1959年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為數(shù)字圖像處理、高功率半導(dǎo)體激光器、無線通信技術(shù).

Time Irreversibility Analysis of Logistic Chaos System Based on Symbolic Relative Entropy

Xu Hong-mei①②Guo Shu-xu①

①(,,130012,)②(,,133002,)

Chaos system; Logistic system; Symbolic time series; Relative entropy; Time irreversibility

TM132

A

1009-5896(2014)05-1242-05

10.3724/SP.J.1146.2013.01262

郭樹旭 guosx@jlu.edu.cn

2013-08-20收到，2013-12-02改回