潘玉峰

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600）

間斷激勵函數(shù)Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解的存在性

潘玉峰

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600）

不考慮網(wǎng)絡(luò)激勵函數(shù)的有界性與單調(diào)性，本文對間斷激勵函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究．通過Leray-Schauder選擇定理和廣義的Lyapunov方法，得到一個能夠保證網(wǎng)絡(luò)的解存在性的充分條件．

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；間斷激勵函數(shù)；Leray-Schauder選擇定理

1 預(yù)備知識

設(shè)Rn為n維歐氏空間，Pf(c)（Rn）（Pk(c)（Rn））為Rn的非空閉凸（非空緊凸）子集的集合．設(shè)多值函數(shù)F∶T=［0,ω］→Pf（Rn）是可測的，如果對所有x∈Rn的-值函數(shù)t→d（x,F（t））=i nf｛‖x-υ‖∶υF（t ）｝是可測的．

設(shè)E?Rn．如果任意x∈E，存在非空的F（x）?Rn，則說映射x→F（x）是由E到Rn的集值映射；對x0∈E，如果任意開集N?F（x0），存在x0的開集M使得F（M）?N，就說集值映射F在x0處是上半連續(xù)的．

以下為Leray-Schauder選擇定理：

引理1.1如果是一個巴拿赫空間C?X非空凸集，0∈C，G∶C→Pkc（C）為從有界集到相對緊集的丄半連續(xù)的集值映射，則下面結(jié)論有一條成立：

（1）集合Γ=｛x∈C∶x∈λG（x），λ∈（0,1）｝無界；

（2）G（·）有一個不動點(diǎn)，即存在x∈C使得x∈G（x）．

考慮以下H opf i el d神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

其中，D=diag（d1,d2,…,dn）為對角矩陣，且di＞0，i=1,2,…,n.表示系統(tǒng)的自制系數(shù)；A=（aij）n×n表示連接權(quán)矩陣，aii＜0；g（x）=（g1（x1）,g2（x2）,…,gn（xn））為對角函數(shù)，表示網(wǎng)絡(luò)輸入輸出的激勵函數(shù)；I（t）=（I1（t1）,I2（t2）,…,In（t））T為以ω周期的向量函數(shù)，表示網(wǎng)絡(luò)的外部輸入．

在這里假設(shè)I（t）在T=［0,+∞］上連續(xù)．對激勵函數(shù)滿足以下假設(shè)：

（H1）gi在R的任意有限區(qū)間內(nèi)至多有有限個間斷點(diǎn)ρk，在ρk處gi存在左右極限gi（）與gi（），且

（H2）存在非負(fù)常數(shù)k1,k2使得

對系統(tǒng)（1.1），由于其激勵函數(shù)是間斷的，有必要在這里對間斷右端的方程的解做出解釋．

定義如下：

定義2.1方程x∶［0,b）→Rn，b∈［0,+∞）是系統(tǒng)（1.1）在［0,b）上的解，如果：

（1）x在［0,b）上絕對連續(xù)；

（2）存在一個可測函數(shù)γ=（γ1,γ2,…,γn）T∶［0,b）→Rn，使得t∈［0,b）時，幾乎處處（a.e.）有γ（t）∈K［g（x（t）］），且

對任何滿足（2）的方程叫做與解x相關(guān)的輸出解．由于解滿足微分包含

因此，在此定義下，可以說解x為系統(tǒng)（1.1）的Fi l l i pov解．

定義2.2定義在［0,+∞）上，具有初值x（0）=x0的系統(tǒng)（1.1）解稱作以ω為周期的周期解，如果x（t+ω）= x（t），t＞0．

若V∶Rn→R，且滿足（i）在Rn內(nèi)相關(guān)；（i i）x≠0時V（x）＞0，僅當(dāng)x=0時V（0）=0；（i i i）V（x）徑向無界，即‖x‖→+∞時V（x）→+∞時；則說是C相關(guān)的．

引理2.2如果V（x）∶Rn→R是C-相關(guān)的，x（t）∶［0,+∞）→Rn在［0,+∞）的任何緊集中絕對連續(xù)，則x（t）與V（x（t））∶［0,+∞）→R在t∈［0,+∞）→R上幾乎處處可導(dǎo)，且

2 解的存在性

這一部分，主要研究了系統(tǒng)（1.1）解的存在與周期解的存在性．先證明了系統(tǒng)（1.1）在上至少存在一個解，只有在此基礎(chǔ)上，才能對周期解的存在性與穩(wěn)定性進(jìn)行進(jìn)一步的討論．首先來看解的存在性．

定理2.1如果假設(shè)（H 1）與（H 2）成立，則對任意初值x（0）=x0，系統(tǒng)（1.1）在［0,+∞）上至少存在一個解．

證由于x（t）→Dx（t）+AK［ g（x］）+I（t）為丄半連續(xù)的集值映射，且值域非空緊凸，局部解的存在性能夠得到保證．I（t）為以ω為周期，且在［0,+∞）上連續(xù)，從而I（t）有界，即存在M＞0，使得‖I（t）‖≤M．對t∈［0,+∞）幾乎處處有

根據(jù)Gronwal l-Bellman不等式可以得到

由延拓定理，此定理得以證明．

3 結(jié)論

這篇論文，證明了Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解的存在性，其中網(wǎng)絡(luò)的激勵函數(shù)可以是無界或非單調(diào)的.這比先前以激勵函數(shù)為單調(diào)或有界為前提的研究有所突破．

［1］J.P.A ubin,A .C elliana.differentialInclusions［M ］.B erlin：Spring-V erlag,1984.

［2］J.P.A ubin,H .Frankow ska.Set-valued A nalysis［M ］.B oston：B irkauser,1990.

［3］J.P.A ubin.Viability Theory［M ］.Boston：B irkauser,1991.

［4］F.H .C larke.O ptim ization and nonsm ooth A nalysis［M ］.N ew Y ork：W iley,1983.

［5］Q . D ong, K . Matsui, X . Huang. Existence and stability of periodic solutions for H opfield neural netw orks equations with periodic input［J］.N onlinearA nal.2002（49）：417～479.

［6］J.D ugundji,A .G ranas,Fixed PointTheory,in:M onografie M atem atyczne,vol.123,PW N ,1982.

［7］A .F. Filipov.D ifferential E quations W ith D iscontinuous R ight-H and Side ［M ］. B oston：M athem atic and its A pplications（SovietSeries）,K luw erA cadem ic,1988.

［8］M . Forti, P. Nistri. Global convergence of neural netw orks with discontinuous neuron activations, IE E E Trans ［J］. C ircuits Syst.2003，50（11）：1421～1435.

（編輯 郭繼榮）

O175.1

A

1673-1808（2014）03-0020-02

2014-03-22

潘玉峰（1979-），男，山西靜樂人，晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，講師，碩士，研究方向：非線性分析.