趙正波

（渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西渭南 714099）

圓周的基本群的一個注記

趙正波

（渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西渭南 714099）

文章改進了圓周上道路提升引理的證明，并給出對道路提升求法的改進，該方法有普遍的適用性，可以用此方法求得每一個道路的提升，增強了對圓周的基本群概念的直觀認識，把道路提升由存在提升到可求階段.

拓撲；拓撲群；道路；圓周；基本群

基本群是拓撲空間中一個常見的拓撲性質.用基本群可通過區(qū)分拓撲空間的單連通和復連通性來研究拓撲空間的性質.一般的點集拓撲教材如文獻［1］等對單連通的概念只是作了介紹，對于基本群的進一步討論是在代數(shù)拓撲中進行［1-2］.在基本群的介紹中首先是關于單連通性的平凡群，再就是最簡單的非平凡群整數(shù)加群，其對應的最簡單的拓撲空間就是圓周.在圓周的基本群討論中，其核心的工具是道路提升.下面我們通過對道路提升引理的證明進行改進，簡化道路提升的求法，并且可以使得一個具體的圓周上的回路的道路提升的求法變得可以操作.

先介紹相關的一些基本概念，對于未介紹的一些拓撲概念，參閱文獻［1-3］等，并且由于數(shù)理邏輯的發(fā)展［4］，我們可以把一些證明的原理和過程用命題化的標準，使得討論過程更加清晰.

1 圓周的拓撲群

定義1 設（G，·）是一個群，也是一個拓撲空間，并且映射p：G×G→G，p（x，y）=x·y和映射r：G→G，r（x）=x-1都是連續(xù)的，其中p是對于任何（x，y）∈G×G；r是對于任意的x∈G，則稱（G，·）是一個拓撲群．

例如，實數(shù)加群是一個拓撲群．圓周（S1，·）是一個拓撲群．其中運算·為復數(shù)的乘法，即對于任何的x =（x1，x2），y=（y1，y2）∈S1，x·y=（x1y1-x2y2，x1y2+x2y1）．

單位元為（1，0）=（cos2kπ，sin2kπ）.

引理1［1］指數(shù)映射ex：R→S1，ex（t）=（cos2πt，sin2πt）=ei2πt滿足：

（1）映射ex是一個連續(xù)滿射，并且是從（R，+）到（S1，·）的一個同態(tài)；

（2）設t1，t2∈R，則ex（t1）=ex（t2）當且僅當t1-t2∈Z；

2 圓周的道路提升

3 圓周的基本群

圓周上可以由不同的方法構造道路提升，但是它們又是唯一的，文獻［1］等中有下面的討論給予說明.并且由唯一的道路提升可以定義道路的映射度.并由定理3保證基本群是同倫不變量.

從上面的比較可以看出，用分段求圓周的道路提升映射明顯比把道路進行壓縮使其在一一對應的范圍內(nèi)求道路提升映射更簡單和易于操作.對于道路族的提升引理的證明過程中道路提升映射的構造也有類似的方法，改進圓周的基本群的討論中的關鍵提升映射的構造，從理論的證明和實際可操作的構造都大大的簡化.

［1］熊金城.點集拓撲講義［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］尤承業(yè).基礎拓撲講義［M］.北京：北京大學出版社，1997.

［3］梁基華，蔣繼光.拓撲學基礎［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［4］王國俊.數(shù)理邏輯引論與歸結原理［M］.第2版.北京：科學出版社，2006.

【責任編輯 牛懷崗】

Note to the Fundamental Group of Circle

ZHAO Zheng-bo
（School of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714099，China）

It has improved the proof of the lifting lemma of path on circle，by giving some examples of path on circle，which strengthening the comprehension of fundamental group directly.It has also given out the calculus methods of a fundamental group.

topology；topological group；path；circle；fundamental group

O189.1

A

1009-5128（2014）19-0014-03

2014-07-03

陜西省重點扶持學科數(shù)學學科基金資助項目：模糊謂詞演算系統(tǒng)的研究（14SXZD006）；渭南師范學院研究生專項科研項目：參數(shù)Kleene邏輯系統(tǒng)研究（08YKZ033）

趙正波（1966—），男，陜西華縣人，渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院講師，理學碩士，主要從事非經(jīng)典邏輯研究.