王 芳，楊虎山

(忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州 034000)

基于混合DE-PSO算法的水庫優(yōu)化調(diào)度模型及其應(yīng)用

王 芳，楊虎山

(忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州 034000)

水庫優(yōu)化調(diào)度實質(zhì)上是一個非線性的不等式約束優(yōu)化問題，在現(xiàn)行的求解方法中，對計算精度和復(fù)雜約束處理這兩個問題一直考慮不足，相關(guān)方面的研究也較少．將粒子群算法和差分進化算法引入到水資源系統(tǒng)工程中，建立了水庫調(diào)度的DE-PSO優(yōu)化模型，避免了尋優(yōu)瓶頸；針對復(fù)雜約束問題，提出退火罰函數(shù)法，有效地解決了水庫調(diào)度問題．通過實例分析，驗證了所給方法的可靠性．

差分進化算法；粒子群算法；水庫優(yōu)化調(diào)度

水庫優(yōu)化調(diào)度屬于動態(tài)多維的非線性函數(shù)優(yōu)化問題，在求解過程中，通常把水庫的泄量作為決策變量，而把水庫的庫水位（或蓄水量）作為狀態(tài)變量進行尋優(yōu)．尋找優(yōu)化方法，既要考慮到計算時間，又要兼顧計算精度，因此是具有十分重要學(xué)術(shù)意義和實用價值的科研課題．目前，解決水庫優(yōu)化調(diào)度問題主要采用線性規(guī)劃（LP）、非線性規(guī)劃（NLP）、動態(tài)規(guī)劃（DP）、模擬技術(shù)、控制方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法（ANN）、遺傳算法（GA）、多目標(biāo)決策技術(shù)、大系統(tǒng)理論與方法、隨機優(yōu)化方法、模糊優(yōu)化方法等，但至今這幾種方法在解決水庫優(yōu)化問題時仍存在缺陷．鑒于此，本文提出了一種基于粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）和差分進化算法（Differential Evolution，DE）的融合算法，該算法可以大大減小粒子陷入局部最優(yōu)的概率，有效提升求解效率．

1 優(yōu)化算法

1.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法是一種通用的啟發(fā)式搜索技術(shù)，其基本思想是通過群體中個體之間的協(xié)作和信息共享來尋求最優(yōu)解[1]．粒子群優(yōu)化算法的搜索過程是：首先初始化一群隨機粒子，每個粒子都有自己的位置和初速度（決定飛行的方向和距離），假設(shè)在一個D維的目標(biāo)搜索空間，隨機生成m個粒子組成一個群落，則第i個粒子在D維搜索空間中的位置用向量

表示，t為迭代次數(shù)，其個體極值記為 Pi=[pi1,…, piD]T，全局極值記為 Pg=[pg1,…, pgD]T．

在接待過程中，第i個粒子以速度 Vi=[vi1,…,viD]T在搜索空間飛行，每個粒子的飛行速度及位置按如下公式進行修正：

式中， vt表示第t次迭代后的速度，c1和c2是兩個常數(shù)，r1和r2是[0, 1]之間的隨機數(shù)，ω是慣性因子，一般取0.1到0.9之間的數(shù)．

1.2 差分進化算法

差分進化算法是一種隨機的并行直接搜索算法[1-2]，其基本思想是：從某一隨機產(chǎn)生的初始群體開始，通過利用當(dāng)前種群個體的差來重組得到中間種群，然后直接運用父子混合個體適應(yīng)度值競爭來獲得一代的種群，從而實現(xiàn)對求解空間的全局搜索．有三種運算貫穿著整個算法的執(zhí)行過程，即變異、交叉和選擇．

1）變異．差分變異操作可以通過如下公式從父代種群中生成新個體進入中間代：

其中，下標(biāo)i代表第i個個體，下標(biāo)t代表進化的代數(shù)．xr1,xr2,xr3是從進化群體中隨機選取的互不相同的3個個體，F(xiàn)為縮放比例因子，用于控制差向量的影響大小 F∈ [0,1]．

2）交叉．差分交叉操作是為了增加新種群的多樣性，方法是按照交叉策略使新舊個體互相交換部分代碼，從而形成新的個體．通常有兩種交叉算子，第一是二項式交叉算子，第二是指數(shù)交叉算子．本文選用的是二項式交叉算子．交叉策略可用如下公式表示：

式中，下標(biāo)i代表第i個個體，下標(biāo)j代表中間代矢量v(或種群個體矢量x)的第j維，r andm( j)∈[0,1]為均勻分布隨機數(shù)，r andn( i)∈ [0,D]（其中D為矢量的維數(shù)）是隨機選擇指數(shù)，它確保ui能從vi中得到至少一個參數(shù)， Cr∈ [0,1]為交叉概率．

3）選擇．在基本差分進化算法中，選擇操作采取貪婪策略，即只有當(dāng)產(chǎn)生的子代個體優(yōu)于父代個體時才被保留, 否則父代個體將保留至下一代．

1.3 基于粒子群算法和差分算法的融合算法

混合算法的本質(zhì)是基于一種雙種群策略[3]，其中一個種群中的個體按照粒子群優(yōu)化算法操作進化，另一個種群中的個體按照差分進化算法操作進化，在進化過程中通過引入一種信息交流機制，使信息能夠在兩個種群中傳遞，以避免個體因錯誤的信息判斷而陷入局部最優(yōu)點．按粒子搜索方式的不同將整個粒子群體分為兩分群，分別命名為PSO種群和DE種群．種群粒子規(guī)模的大小對算法優(yōu)化性能會產(chǎn)生影響，實驗表明，規(guī)模越大，優(yōu)化算法的達(dá)優(yōu)率越高，平均收斂步數(shù)越少，算法的優(yōu)化性能也越好，不足的是計算量也越大．通常情況下群體規(guī)模設(shè)置為10 - 200．

算法的具體步驟如下：

步驟1

初始化，包括群體規(guī)模，最大進化代數(shù)，慣性權(quán)重，學(xué)習(xí)因子，縮放因子，交叉概率等基本參數(shù)的設(shè)置，并保存整群最好適應(yīng)值及其位置．

步驟2

1）將群體等分成兩個種群，分別進行PSO種群進化和DE種群進化．

2）分別找出PSO種群和DE種群中的最優(yōu)個體并進行比較，確定整個種群的最優(yōu)個體．

3）更新PSO種群的最優(yōu)值和DE種群的最優(yōu)值，即用整個種群的最優(yōu)個體替代PSO種群中的最優(yōu)個體，引導(dǎo)PSO進化，用整個種群的最優(yōu)個體替代DE種群中的任意一個個體．

4）計算進化因子，判斷PSO種群是否陷入局部最優(yōu)．

重復(fù)1）- 4），滿足精度要求或達(dá)到最大迭代次數(shù)則轉(zhuǎn)步驟4，若判斷PSO種群粒子陷入局部最優(yōu)，進入步驟3．

步驟3

1）在以整個種群的最優(yōu)個體位置為中心，以R為半徑的鄰域內(nèi)產(chǎn)生N個隨機粒子xi，更新DE種群中所有粒子后繼續(xù)迭代．

2）計算兩群各個粒子的適應(yīng)值并更新PSO種群的最優(yōu)位置和DE種群的最優(yōu)位值及其適應(yīng)值，將兩種群粒子按適應(yīng)值優(yōu)劣排序，用DE種群中適應(yīng)值較好的粒子取代PSO種群中相同數(shù)量的適應(yīng)值的較差粒子．

3）對PSO種群和DE種群適應(yīng)值的大小進行比較，保存整個種群的最優(yōu)個體位置及適應(yīng)值，轉(zhuǎn)步驟2．

步驟4

算法終止，保存全群歷史最優(yōu)位置和最優(yōu)適應(yīng)值．

2 數(shù)學(xué)模型

由于水庫地形的影響，不同初始水位條件下，相同的水位變化時，引用流量相差極大，這樣，在高水位時，水位的微小變化即可導(dǎo)致引用流量的較大變化，這必然影響算法的尋優(yōu)過程，同時也會影響計算結(jié)果的精度．因此，本文結(jié)合DE-PSO的尋優(yōu)原理，采用水庫庫容與DE-PSO中的粒子相對應(yīng)，水庫的調(diào)度期（12個月）與DE-PSO的空間維數(shù)相對應(yīng)，水庫的發(fā)電目標(biāo)與DE-PSO的適應(yīng)度值相對應(yīng)，進而構(gòu)造水庫優(yōu)化調(diào)度模型．假設(shè)我們研究的對象是以發(fā)電為主，兼顧其它綜合利用要求的水庫，將水庫調(diào)度年劃分成12個時段（即12個月），以年發(fā)電量最大為目標(biāo)函數(shù)，數(shù)學(xué)模型如下：

前面式子中， Pi表示第i個粒子，m表示粒子群大小，即群中粒子的個數(shù)，V( t)表示第t個調(diào)度期的庫容值，t為解向量的維數(shù)即調(diào)度期（12個月），N表示電站出力，A表示電站的出力系數(shù)，Q( t)表示第t個調(diào)度期的發(fā)電流量，H( t)表示第t個調(diào)度期的發(fā)電水頭，q( t)表示第t個調(diào)度期的棄水流量，S( t)表示第t個調(diào)度期的水庫水位，F(xiàn)( t)、Q( t)、 S( t)分別表示第t時段的入庫、出庫水量和水量損失；Q( t)表示第t個調(diào)度期水庫的下泄流量，Vmin(t)、Vmax(t)、Qmin(t)、Qmax(t)、Nmin(t)、Nmax(t)分別表示第t個調(diào)度期水庫的庫容、下泄流量、出力的下上限．

3 模型求解與結(jié)果分析

3.1 問題描述

為了驗證上述算法的可行性與有效性，并考慮比較方便，引用文獻[4]中的水庫基本資料和運行數(shù)據(jù)進行計算．已知水電站水庫的水位與庫容關(guān)系曲線、下游水位與流量的關(guān)系曲線，設(shè)計中水年流量過程線，水庫正常蓄水位704 m，死水位685 m，電站出力系數(shù)8.5，保證出力7.8萬kW，裝機容量30萬kW，要求水庫在洪水期 6、7、8三個月水位不超過695 m，按年發(fā)電量最大求水庫的優(yōu)化．

3.2 算法設(shè)計

1）設(shè)定算法參數(shù)

取6、7、8三個月為水庫洪水期，按年發(fā)電量最大推求水庫優(yōu)化調(diào)度過程．選擇水平年，確定來水過程，并根據(jù)選定的水平年和來水情況，結(jié)合水庫特性參數(shù)，構(gòu)造相關(guān)約束條件．確定粒子群規(guī)模N、空間維數(shù)D、最大迭代數(shù)gsize、優(yōu)化精度及PSO和DE算法的相關(guān)初始參數(shù)．

2）生成初始粒子群

為保證縮短算法的尋優(yōu)時間，選擇在約束條件內(nèi)隨機產(chǎn)生初始粒子．對于水量平衡約束的實現(xiàn)，可由每一維（即每月）的來水計算水庫的可增水量，該維粒子可在死庫容和（上一維庫容加上可增水量）之間隨機選取，以保證水庫庫容變化的連續(xù)性．限制水位約束（可蓄水量約束）、最大、最小發(fā)電流量約束和出力約束采取不滿足即重新生成的方式進行處理．然后計算初始粒子的適應(yīng)度，并從中找出全局最優(yōu)粒子．在解空間內(nèi)初始化所有粒子的位置，計算粒子初始適應(yīng)值并保存整群最好適應(yīng)值及其位置．

3）位置和速度的更新

利用粒子群算法和差分算法的融合算法步驟2、3對粒子進行位置和速度的更新迭代．

4）約束處理

在水庫調(diào)度優(yōu)化中，對于多約束問題通常采用罰函數(shù)的方法來處理，本文采用了一種新的退火精確罰函數(shù)法[5]，罰函數(shù)的選取為如下形式：

其中，罰因子σk=1T ，T=α·T，α ∈ [0,1]， ei( x)表示等式約束條件違反程度， ui( x)表示不等式約束條件違反程度，me表示等式約束的個數(shù)，mu表示不等式約束的個數(shù)．在水庫調(diào)度中，約束條件主要包括水量平衡約束，限制水位約束（可蓄水量約束），最大、最小發(fā)電流量約束和出力約束．其中，水量平衡約束是等式約束，表征水量變化的連續(xù)性，當(dāng)約束破壞時，其明顯的標(biāo)志是發(fā)電流量出現(xiàn)負(fù)值，這里可通過最小發(fā)電流量約束實現(xiàn)對水量平衡限制，因此等式約束可不考慮，即 me=0．不等式約束的類型主要包括兩種，一種是限制水位約束和最大發(fā)電流量約束這一類，其特點是可采取賦臨界值的方法來解決；另一類是最小流量約束和保證出力約束，對這一類必需考慮采取罰函數(shù)來處理．因此這里可取m=2來表征上述兩個約束．

判斷更新后的粒子是否滿足約束條件（如最大最小出流限制、水量平衡、保證出力等），不滿足則分別采取賦極限值和計算約束破壞程度構(gòu)造退火罰函數(shù)進行懲罰的方法進行處理．處理后重新計算適應(yīng)度，評價個體極值和全局極值．

5）判別條件

判斷找到的最優(yōu)解是否達(dá)到了收斂條件或最大迭代次數(shù)，如果滿足條件，則退出，否則就返回3）．

3.3 調(diào)度結(jié)果及分析

取算法的種群規(guī)模為40，PSO算法中慣性權(quán)重因子ω采用線性遞減策略[6]，從0.9遞減到0.4，c1= c2= 2；DE算法中，交叉因子CR = 0.7，縮放因子F = 0.5，進化代數(shù)為100，采用實數(shù)編碼方式，利用上述步驟計算，水庫優(yōu)化調(diào)度結(jié)果見表1．

為了進行比較，本文不改變原問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，以水位作為狀態(tài)變量，將相同的基本資料帶入離散尋優(yōu)的動態(tài)規(guī)劃（DP）、遺傳算法（GA）進行計算，其中DP法和GA法的水位離散點為20．計算結(jié)果見表2．

由表2可知，DE-POS算法隨機地繼承了POS算法和DE算法中收斂速度更快的一方的信息，并能充分利用POS種群和DE種群進化不同步的反饋信息，有效地跳出局部最優(yōu)，更有利于尋找全局最優(yōu)解，因此，計算得到的發(fā)電量較GA算法更優(yōu)．

由于DE-PSO算法簡單有效，并采用自適應(yīng)慣性因子和退火罰函數(shù)法，極大地提高了DE-PSO的收斂性．由表2可知，DE-PSO算法的收斂速度相當(dāng)于GA算法的3倍，DP法的36倍．

4 結(jié) 論

1）PSO算法和DE算法作為兩種比較新的群體智能算法，在實際工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用．PSO算法和DE算法在某類問題的求解中性能會有差異，但對于所有問題集，兩種算法的平均性能應(yīng)該是相同的．本文將PSO算法與DE算法有機地結(jié)合了起來，平衡提取兩種算法的優(yōu)勢信息，使得提出的DE-PSO算法表現(xiàn)出更好的尋優(yōu)性能，在解決像水庫優(yōu)化調(diào)度這樣復(fù)雜的非線性的問題時，DE-PSO算法依舊顯示出明顯的優(yōu)勢．

表1 水庫調(diào)度DE-PSO優(yōu)化模型的求解結(jié)果

表2 不同求解方法對水庫優(yōu)化調(diào)度的結(jié)果

2）對于水庫調(diào)度中的復(fù)雜約束處理問題，則采用退火罰函數(shù)法，在不犧牲粒子先前記憶軌跡的前提下，從可行域內(nèi)和可行域外雙邊逼近最優(yōu)解，加快了尋優(yōu)收斂的速度．

3）采用DE-PSO算法求解水庫優(yōu)化調(diào)度問題，能很好地兼顧計算速度與計算精度，與其它算法相比，該算法有明顯優(yōu)勢．

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The Reservoir’s Optimal Operation Modeling Based on Mixed DE-PSO Algorithm

WANG Fang, YANG Hushan
(Department of Mathematics, Xinzhou Teachers College, Xinzhou, China 034000)

The calculation of reservoir’s optimal operation is discussed in the paper as a problem of a nonlinear inequation’s constraint and optimization. After some comparison and analysis, it is found out that accuracy and constraint disposal have always been given scant attention in the extant calculating methods, and that the related research is sparse as well. In order to overcome these defects, the particle swarm optimization and differential evolution algorithms are proposed to build an optimal DE-PSO model for reservoir’s operation avoiding the bottleneck in the optimizing process. To solve the problems of complex constraints existing in the the particle swarm and differential evolution algorithms, this paper puts forward an annealing penalty function to effectively overcome the above shortcomings in reservoir optimal operation. Through the computation and analysis, the availability and feasibility of the DE-PSO algorithm are verified by its application to reservoir’s optimal operation.

Differential Evolution Algorithm; Particle Swarm Algorithm; Reservoir’s Optimal Operation

O241.82

A

1674-3563(2014)01-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-09-05

王芳(1978- )，女，河南焦作人，講師，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)