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        具有Crowley-Martin型功能反應(yīng)的隨機(jī)捕食-被捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性

        2014-05-25 02:52:06劉顯清鐘守銘項(xiàng)麗江
        關(guān)鍵詞:噪聲源確定性捕食者

        劉顯清 鐘守銘 項(xiàng)麗江

        (電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 四川成都 611731)

        近年來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者致力于捕食-被捕食系統(tǒng)的研究。而捕食者的功能反應(yīng)(即捕食者對(duì)被捕食者的平均消費(fèi)率)是研究捕食-被捕食系統(tǒng)的一個(gè)重要概念。Crowley-Martin型功能反應(yīng)是既依賴于被捕食者的密度,又依賴于捕食者的密度的一類功能反應(yīng)。在以往的文獻(xiàn)中,大都對(duì)具有Crowley-Martin型功能反應(yīng)的確定性模型的研究。另一方面,任何生態(tài)系統(tǒng)都不可避免地要受到環(huán)境噪聲的干擾。比如小到天敵捕食、生老病死、天氣的陰晴變化等,大到地震、洪水、火山爆發(fā)等。在某些實(shí)際情況下,用確定性模型對(duì)系統(tǒng)的行為所作的描述和預(yù)測(cè)并不總是令人滿意的。比如研究如何保護(hù)瀕危物種時(shí),則完全不適宜用確定性的模型來(lái)研究。因此,

        系統(tǒng)的隨機(jī)性不容忽視,對(duì)隨機(jī)捕食-被捕食系統(tǒng)的研究也越來(lái)越多[1-9]。這些文獻(xiàn)大都考慮了環(huán)境中白噪聲的干擾,模型中雖然有兩個(gè)噪聲源,但其耦合形式比較簡(jiǎn)單。文獻(xiàn)[2]考慮了兩個(gè)噪聲源對(duì)兩種群都會(huì)有一定的影響。但文獻(xiàn)[2]只研究了系統(tǒng)的持久生存和滅絕性,而全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定性也是生態(tài)系統(tǒng)研究中的一個(gè)不可缺少的重要性質(zhì)。基于以上背景,本文擬對(duì)如下模型進(jìn)行研究:

        其中,x和y分別表示被捕食者和捕食者的密度,bi為內(nèi)稟增長(zhǎng)率,aii,ci,σi,μi(i=1,2)都是正常數(shù)。Bi(t)為定義在完備的概率空間(Ω,F(xiàn),P)上的Brown運(yùn)動(dòng)(i=1,2)為隨機(jī)干擾的強(qiáng)度。

        1 準(zhǔn)備工作

        定義1 見文獻(xiàn)[10],考慮n維隨機(jī)微分方程

        若z*∈Rn滿足f(z*,t)=0,g(z*,t)=0,?t≥0 則z*稱為方程(2)的均衡態(tài)。

        (1)系統(tǒng)(2)的均衡態(tài)z*稱為隨機(jī)穩(wěn)定的(或依概率穩(wěn)定的),如果對(duì)任意給定的ε∈(0,1),r>0,存在 δ=δ(ε,r,t0)>0,使得P{|z(t;t0,z0)-z*|<r,?t≥t0}≥1-ε,其中|z0-z*|<0。不然,此均衡態(tài)就稱為是隨機(jī)不穩(wěn)定的。

        (2)均衡態(tài)z*稱為隨機(jī)漸近穩(wěn)定的,如果它是隨機(jī)穩(wěn)定的,并且對(duì)任意給定的ε∈(0,1),存在

        引理1 見文獻(xiàn)[10],如果存在正定的徑向無(wú)界函數(shù)V(x,t)∈C2,1(Rn×[t0,∞ ];R+),使得LV(x,t)是負(fù)定的,則方程(2)的均衡解x*是全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定的,其中:

        為了簡(jiǎn)便起見,我們引入如下記法:

        2 主要結(jié)果

        定理1 令:

        如果:

        以及:

        則對(duì)任意給定的初值(x(0),y(0)),模型(1)的解滿足:

        證明:定義Liapunov函數(shù)V1(x)=x-x*-x*ln(x/x*),V2(y)=y-y*-y*ln(y/y*),其正定性可以從u-1-lnu≥0,u>0看出。為了方便起見,記l(x,y)=1+αx+βy+αβxy。若(x(t),y(t))∈R2+,運(yùn)用 It公式,計(jì)算可得:

        再由1+αx+βy+αβxy≥1得到:

        易知d1/d2>0。定義:

        所以有:

        3 數(shù)值模擬

        下面將使用文獻(xiàn)[11]中給出的Milstein方法來(lái)模擬上面關(guān)于隨機(jī)捕食-被捕食系統(tǒng)(1)所得到的結(jié)果??紤]系統(tǒng)(1)相應(yīng)的離散化系統(tǒng):

        其中,ξk和 ηk(k=1,2,…n)都是服從N(0,1)的Gauss隨機(jī)變量。

        圖1 ====0的隨機(jī)捕食-被捕食系統(tǒng)Fig.1 Stochastic predator- prey system for====0

        圖2 ==0.1=0.13=0.15的隨機(jī)捕食-被捕食系統(tǒng)Fig.2 Stochastic predator- prey sestem for= =0.1=0.13=0.15

        圖3 =0.1=30=0.2=30的隨機(jī)捕食-被捕食系統(tǒng)Fig.3 Stochastic predator- prey sestem for=0.1=30,=0.2=30

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