殷煒棟

（浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023）

微積分教學(xué)中的反例

殷煒棟

（浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023）

對(duì)多元微積分中比較容易混淆的地方，比如極值和最值、可微性和方向?qū)?shù)、累次極限和極限的相關(guān)方面進(jìn)行了進(jìn)一步澄清，給出了這些方面的反例，并進(jìn)行了較詳細(xì)的分析。

極值；累次極限；可微

在微積分中，有不少地方是學(xué)生容易誤解或較難理解的，比如多元函數(shù)中的可微與方向?qū)?shù)關(guān)系、累次極限與極限的區(qū)別等。反例可以使學(xué)生比較直接地發(fā)現(xiàn)其中的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而更好地理解這些內(nèi)容。所以，反例教學(xué)是微積分教學(xué)中很有效的一種方式。在這方面有不少書籍可以參考，比如文獻(xiàn)[1]，里面收集了很多經(jīng)典的反例；此外還有很多參考文獻(xiàn)，如文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]。本研究又構(gòu)造了幾個(gè)新的反例，希望有助于解決這方面的一些難點(diǎn)。

1 極值和最值

二元（多元）函數(shù)的極值問題是微積分教學(xué)中偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)很好的應(yīng)用。通常來說，連續(xù)函數(shù)只有在有界閉域中才能保證有最值，見文獻(xiàn)[5-6]。但全平面上的二次多項(xiàng)式是個(gè)例外：本質(zhì)上這是由于它總可以（通過坐標(biāo)變換）寫成完全平方的和或差的形式（至多差個(gè)常數(shù)項(xiàng)），所以它總是只有一個(gè)駐點(diǎn)；一旦此駐點(diǎn)是局部極小（大）值，那它必然是整體最小（大）值?？赡苡袑W(xué)生會(huì)問：如果一個(gè)全平面上的光滑函數(shù)，只有一個(gè)駐點(diǎn)且是局部極值點(diǎn)，那它是否一定是最值點(diǎn)，就像是二次多項(xiàng)式的例子一樣？這個(gè)問題提得好，但答案是否定的，請(qǐng)看下例：

記

那么，首先由于

所以h（x，y）是全平面的連續(xù)函數(shù)；其次，h（x，y）在全平面都存在（連續(xù)）的偏導(dǎo)數(shù)，這是因?yàn)椋ㄖ恍枰獧z驗(yàn)當(dāng)y=-1時(shí)的情形即可）：也即hy（x0，-1）=-2；而當(dāng)y=-1時(shí)，x方向的偏導(dǎo)數(shù)顯然是hx（x0，-1）=0。

斷言：（0，0）是h（x，y）的唯一的駐點(diǎn)，且是局部極小值點(diǎn)。

證明：只需要直接驗(yàn)證即可，當(dāng)y＞-1時(shí)，有

如果仔細(xì)分析上面的例子，產(chǎn)生這種情況的根本原因是2個(gè)偏導(dǎo)數(shù)可以不同時(shí)為0，造成了只有唯一駐點(diǎn)卻不是最值的情況。而這種現(xiàn)象在一元函數(shù)里是不會(huì)出現(xiàn)的，因?yàn)檫@時(shí)只有一個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)。更確切地說，整個(gè)實(shí)軸上定義的一元可微函數(shù)，如果它只有一個(gè)駐點(diǎn)，且是局部極?。ù螅┲迭c(diǎn)，那它必然也是整體的最?。ù螅┲迭c(diǎn)，這是一元微積分和多元微積分中一個(gè)顯著的差別。

2 多元函數(shù)的極限和累次極限

在多元微積分里，給定一個(gè)函數(shù)f和其定義域中的一點(diǎn)P，即使f在P點(diǎn)的x-方向和y-方向的累次極限都存在且相等，也不能保證f在P點(diǎn)的極限存在。教科書中一個(gè)典型的例子是

由于沿著不同的直線路徑Γk：y=kx，k∈R R，有

其值和路徑有關(guān)，所以

不過，明顯地，f（x，y）沿著x-方向和y-方向的累次極限都存在且相等，

反過來自然可以問：如果一個(gè)二元函數(shù)，它在一點(diǎn)處的極限存在，那是否就保證在該點(diǎn)處的累次極限存在且相等呢？似乎上面的例子給人們一個(gè)錯(cuò)覺：多元函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在是比在該點(diǎn)處累次極限存在更強(qiáng)的條件。事實(shí)上，這是不對(duì)的，即使一個(gè)多元函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在，也不能保證在該點(diǎn)處累次極限存在，且看下面的反例。

雖然

但是，由于對(duì)任意預(yù)先確定的非零y值，

所以，按定義不可能接著再取y-方向的極限，也即

因此，從某種意義上說，二元函數(shù)的極限和累次極限是不同的概念。這里雖然只舉了二元函數(shù)的例子，但明顯地可以平凡地推廣到多元函數(shù)。這方面在文獻(xiàn)[1]中也可以找到類似的例子。

3 多元函數(shù)的可微與方向?qū)?shù)

在多元微積分里面，函數(shù)在一點(diǎn)處可微與其在該點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)有密切的聯(lián)系。比如函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)有x和y方向的偏導(dǎo)數(shù)，且偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，那么該函數(shù)在該點(diǎn)處可微；反之，不一定成立。一般的數(shù)學(xué)分析教程里，如文獻(xiàn)[6]，都有證明和反例。

由于在一元微積分里，函數(shù)在一點(diǎn)處可微和其在一點(diǎn)處可導(dǎo)是等價(jià)的；而多元函數(shù)中有無窮多個(gè)方向?qū)?shù)，學(xué)生自然會(huì)問：2個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的條件太弱了；那一點(diǎn)處可微和一點(diǎn)處各個(gè)方向的方向?qū)?shù)都存在，是不是也等價(jià)呢？這也是一個(gè)很容易犯錯(cuò)誤的地方。在給出反例之前，先看一個(gè)引理：

引理1假設(shè)給定一個(gè)二元函數(shù)z=f（x，y），它在一點(diǎn)P處可微；e=cosθe1+sinθe2=〈cosθ，sinθ〉是單位向量，其中e1是x-方向單位向量，e2是y-方向單位向量，那么f在P點(diǎn)沿著e的方向?qū)?shù)

證明：此引理的證明在一般數(shù)學(xué)分析教材里都能找到，為了完整起見，這里簡單地重復(fù)一下。由一點(diǎn)處可微的定義，有

從這個(gè)引理可以看到，一點(diǎn)處可微蘊(yùn)含著在該點(diǎn)處各個(gè)方向的方向?qū)?shù)都存在，但反過來不對(duì)，如下例。

定義新的二元函數(shù)

其中sgn（x）=±1，是x的符號(hào)函數(shù)。那么對(duì)于f（x，y），其實(shí)它沿著平面上每條直線y=kx或x= ky，都可以看成是線性函數(shù)，也即

所以，由引理1可知，f（x，y）在P點(diǎn)是不可微的（f在原點(diǎn)的不可微性也可以直接從定義看出來）。

從引理1和例子可以看到，對(duì)于多元函數(shù)來說，一點(diǎn)處可微是比一點(diǎn)處各個(gè)方向的方向?qū)?shù)都存在更強(qiáng)的條件。粗略地說，一點(diǎn)處可微描述的是函數(shù)在該點(diǎn)處整體的光滑性，而方向?qū)?shù)只刻畫函數(shù)在該點(diǎn)處局部（一個(gè)方向）的光滑性。所以，前者應(yīng)該是強(qiáng)于后者的條件。

[1] 汪林.數(shù)學(xué)分析中的問題和反例[M].昆明：云南科學(xué)技術(shù)出版社，1990.

[2] 杜春雨.高等數(shù)學(xué)中反例的研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，11（5）：26-28.

[3] 方倩珊.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的反例[J].高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（2）：47-51.

[4] 王濤.于艷華.高等數(shù)學(xué)中反例教學(xué)研究[J].華北科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，8（3）.95-97.

[5] Finney R L，Weir M D，Giordano F R.托馬斯微積分[M].葉其孝，王耀東，唐兢，譯.10版.北京：高等教育出版社，2003：959-970.

[6] 常庚哲，史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003.

Some counter-examples in calculus

YIN Weidong
（School of Sciences，Zhejiang University of Science and Technology，Hangzhou 310023，China）

Some topics，which may easily cause confusion in calculus education，are clarified，for example local vs.global extreme values，differentiability vs.directional derivatives，and limits vs.iterated limits.Counter-examples are constructed and analyzed.

extreme values；iterated limits；differentiability

G642.3；O172

A

1671-8798（2014）03-0232-04

10.3969/j.issn.1671-8798.2014.03.015

2014-04-01

浙江科技學(xué)院科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目（F701108D02）；浙江科技學(xué)院理學(xué)院院級(jí)研究培育基金項(xiàng)目（2014LXY023）

殷煒棟（1980― ），男，浙江省嘉興人，講師，博士，主要從事幾何分析研究。