史建文，王 楠，李曉蕾

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070）

一類(lèi)單自由度齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

史建文，王 楠，李曉蕾

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070）

摘要：建立了考慮齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度等因素下的單自由度齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用變步長(zhǎng)Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解.結(jié)合系統(tǒng)的分岔圖、Lyapunov指數(shù)圖、相圖、龐加萊映射圖、時(shí)間相應(yīng)圖，分析系統(tǒng)隨阻尼比變化時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性和嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)的影響，得到系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)形成過(guò)程.結(jié)果表明，隨著阻尼比變化，系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)嚙合剛度影響系統(tǒng)的分岔點(diǎn)位置.

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué)；分岔；齒輪；阻尼比；嚙合剛度

齒輪傳動(dòng)是現(xiàn)在使用非常廣泛的一種傳動(dòng)裝置，研究齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性具有重要的理論價(jià)值和工程意義.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量的研究工作，Kahraman等［1］建立考慮誤差激勵(lì)、齒側(cè)間隙的單級(jí)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究系統(tǒng)的混沌響應(yīng)和次諧響應(yīng).王三民等［2］考慮時(shí)變剛度、輪齒間隙和摩擦，建立了單自由度直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并研究摩擦對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.王立華等［3］利用龐加萊映射、相平面研究包含時(shí)變嚙合剛度和間隙的單自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.隨著齒輪系統(tǒng)理論知識(shí)不斷發(fā)展、完善，近年來(lái)大量學(xué)者把齒輪的工程背景考慮在內(nèi)，建立許多具有工程意義的模型［4］.大部分的研究都是借助數(shù)值方法探討系統(tǒng)分叉、混沌等現(xiàn)象的存在.本文以單自由度齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象，采用數(shù)值模擬方法，研究阻尼比和嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響.

1 齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型及其運(yùn)動(dòng)微分方程

僅考慮輪齒的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，忽略支承系統(tǒng)的彈性變形以及傳動(dòng)軸的橫向和軸向彈性變形等因素，采用集中質(zhì)量法建立了如圖1所示的齒輪副非線性模型［5］.

圖1中θ1、θ2為主、被動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移；I1、I2為主、被動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Rb1、Rb2為主、被動(dòng)齒輪的基圓半徑；cg為齒輪副的嚙合阻尼；e（t）為齒輪副的嚙合綜合誤差；k（t）為齒輪副的嚙合綜合剛度；T1、T2為作用在主、被動(dòng)齒輪上的轉(zhuǎn)矩.

根據(jù)牛頓第二定律，可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

為了消除剛體位移并將系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，引入齒輪嚙合線上的相對(duì)位移作為廣義坐標(biāo)：

將方程（3）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程：

Fa為齒輪傳動(dòng)的外部激勵(lì)幅值，ε為齒輪嚙合剛度.Fm為齒輪傳動(dòng)的等效外部激勵(lì)，動(dòng)載荷為P＝（1-εcf（x1））.

2 非線性特性數(shù)值仿真分析

2.1 阻尼比對(duì)系統(tǒng)的影響

選取參數(shù)ε＝0.1，F(xiàn)m＝0.05，F(xiàn)a＝0.1，ωn＝1.5，初值x1＝0，x2＝0，齒側(cè)間隙＝0.5.系統(tǒng)隨阻尼比ξ變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖如圖2～3.

圖2～3可以看出，阻尼比ξ∈［0.056 1，0.25］時(shí)，Lyapunov指數(shù)為負(fù)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為穩(wěn)定的周期一運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ξ＝0.137 1時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍化分岔為二周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ξ＝0.077 2時(shí)二周期變?yōu)樗闹芷谶\(yùn)動(dòng)，ξ＝0.058 7時(shí)四周期變?yōu)榘酥芷谶\(yùn)動(dòng).此后，隨著ξ的增大，當(dāng)ξ∈［0.030 5，0.056 1］時(shí)，Lyapunov指數(shù)為正，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔進(jìn)入混沌狀態(tài).ξ∈［0.000 7，0.030 5］時(shí)，Lyapunov指數(shù)為負(fù)，系統(tǒng)由混沌退化為三周期運(yùn)動(dòng)，ξ＝0.017 1時(shí)經(jīng)倍化分岔由三周期變?yōu)榱芷谶\(yùn)動(dòng).當(dāng)ξ∈［0，0.000 7］時(shí)，Lyapunov指數(shù)為正，系統(tǒng)又進(jìn)入混沌狀態(tài).圖4～8為阻尼比ξ取不同值時(shí)的相圖、龐加萊截面圖和時(shí)間相應(yīng)圖.

2.2 剛度對(duì)系統(tǒng)的影響

其他參數(shù)保持不變，分別取嚙合剛度ε＝0.1、0.2、0.3和0.4，分別畫(huà)出了系統(tǒng)隨阻尼比變化的分岔圖，將4個(gè)分岔圖放在同一坐標(biāo)系下，如圖9所示.當(dāng)ε＝0.1時(shí)，系統(tǒng)分岔點(diǎn)為阻尼比ξ＝0.137 1，隨著嚙合剛度ε逐漸增大，當(dāng)ε＝0.4時(shí)，系統(tǒng)分岔點(diǎn)變?yōu)棣危?.218 2.同時(shí).隨著ε逐漸增大，混沌區(qū)域越來(lái)越大.因此，在其他參數(shù)值不變的情況下，嚙合剛度ε越大，系統(tǒng)的分岔點(diǎn)也就越大，系統(tǒng)表現(xiàn)出更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為.

3 結(jié)語(yǔ)

利用變步長(zhǎng)Runge-Kutta法對(duì)單自由度齒輪系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，給出系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖，結(jié)合Lyapunov指數(shù)圖、相圖、龐加萊映射圖以及時(shí)間相應(yīng)圖，分析系統(tǒng)隨阻尼比變化時(shí)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.同時(shí)，在其余參數(shù)保持不變時(shí)，隨著嚙合剛度逐漸變大，系統(tǒng)分岔點(diǎn)越來(lái)越大，混沌區(qū)域越來(lái)越大，因此，在其他參數(shù)值不變的情況下，嚙合剛度ε越大系統(tǒng)的分岔點(diǎn)變大，系統(tǒng)表現(xiàn)出更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為.

參考文獻(xiàn)：

［1］KAHRAMA N A，SINGH R.Non-linear dynamics of a spur gear pair［J］.

Journal of Sound and Vibration，1990，142（1）：49-75.

［2］王三民，沈允文，董海軍.含摩擦和間隙直齒輪副的混沌與分岔研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38（9）：8-11.

［3］王立華，李潤(rùn)方，林騰蛟，等.齒輪系統(tǒng)時(shí)變剛度和間隙非線性振動(dòng)特性研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2003，14（13）：1143-1146.

［4］JOANNA M，MARTIN H，EDDIE W R.Mathematical models of gear rattle in roots blower vacuum pumps［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，308（3／4／5）：431-440.

［5］蘇程.單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性分析［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，38（1）：32-36.

（責(zé)任編輯 梁志茂）

中圖分類(lèi)號(hào)：TH132.41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-8513（2014）06-0447-04

收稿日期：2014-02-10.

作者簡(jiǎn)介：史建文（1985-），男，碩士研究生.主要研究方向：微分方程及應(yīng)用動(dòng)力系統(tǒng).

Analysis of the nonlinear dynamic characteristics of a single-degree-of-freedom spur gear pair system

SHI Jian-wen，WANG Nan，LI Xiao-lei
（School of Mathematics，Physics and Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：A nonlinear dynamic model for a spur gear pair system was established wherein the backlash and mesh stiffness were considered.The nonlinearsingle degree-of-freedom equations were solved by employing the variable step-size Runge-Kutta integration method.The nonlinear dynamic characteristics of the system were discussed concerning different damping ratios based on bifurcation diagrams，Lyapunov exponents andphase portraits，Poincare maps，the time response figure，and mesh stiffness′s effect on the system.The result has showed that along with the changed damping ratio，the system has showed abundant dynamic characteristics，and its mesh stiffness has affected the location of the bifurcation point of the system.

Keywords：nonlinear dynamic；bifurcation；chaos；gear；damping ratio；mesh stiffness