田金榮，宋晏蓉，王 麗

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京100124)

1 引言

在脈沖激光與超快物理現(xiàn)象的研究中，激光的峰值功率是一個(gè)非常重要的參量。例如飛秒激光作用下的高次諧波產(chǎn)生［1-2］、超快激光產(chǎn)生THz輻射［3-4］、超快激光產(chǎn)生等離子體通道［5-8］等過(guò)程中，激光的峰值功率直接決定了非線性效應(yīng)的強(qiáng)弱。這是由于脈沖激光峰值功率的平方根與產(chǎn)生的最強(qiáng)電場(chǎng)成正比，甚至直接決定了峰值光強(qiáng)。因此峰值功率是激光技術(shù)與激光工程中最重要的技術(shù)指標(biāo)之一，它的提高對(duì)激光技術(shù)和光與物質(zhì)相互作用的研究進(jìn)展至關(guān)重要［9-10］。

在目前的專業(yè)文獻(xiàn)中，計(jì)算脈沖激光的峰值功率公式是［11］:式中，Pp代表峰值功率，E為脈沖能量，τ為脈沖寬度(峰值半寬)。這個(gè)公式邏輯清楚，計(jì)算簡(jiǎn)單，成為計(jì)算峰值功率使用范圍最廣的公式。但式(1)計(jì)算的峰值功率和實(shí)際峰值功率之間的誤差有多大呢?為了弄清楚這個(gè)問(wèn)題，我們對(duì)常見(jiàn)規(guī)則脈沖和非規(guī)則脈沖的實(shí)際峰值功率進(jìn)行了計(jì)算。為了區(qū)分式(1)計(jì)算的峰值功率和實(shí)際峰值功率，把式(1)計(jì)算的功率Pp稱為標(biāo)稱峰值功率，把實(shí)際的峰值功率記為Ppp。

2 常規(guī)脈沖中常用峰值功率公式的誤差

常見(jiàn)的規(guī)則脈沖包括高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖及非對(duì)稱雙曲正割脈沖［12］。下面分別計(jì)算它們的標(biāo)稱峰值功率和峰值功率之間的差別。

(1)高斯脈沖

圖1為脈沖寬度為τ的高斯脈沖的強(qiáng)度包絡(luò)波形，其時(shí)域電場(chǎng)強(qiáng)度可寫(xiě)為:

式中，E0為電場(chǎng)振幅，ω0為載波的角頻率。

由于光的功率與電場(chǎng)的平方成正比，由式

圖1 脈沖寬度為τ的高斯脈沖的強(qiáng)度波形Fig.1 Intensity waveform of a Gaussian pulse with pulse duration of τ

(2)可得激光脈沖的功率為:

式中，Ppp為實(shí)際峰值功率。

脈沖能量為功率對(duì)時(shí)間的積分，而式(3)為偶函數(shù)，因此脈沖能量可以寫(xiě)為:

將式(3)代入式(4)再積分可得:

所以實(shí)際峰值功率與標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(6)可以看出，對(duì)高斯脈沖來(lái)說(shuō)，標(biāo)稱峰值功率比實(shí)際峰值功率大6.3%左右，誤差較小。因此對(duì)于高斯脈沖或接近高斯脈沖的脈沖激光來(lái)說(shuō)，采用式(1)計(jì)算峰值功率不失為一個(gè)簡(jiǎn)單精確的好辦法。

(2)雙曲正割型脈沖

圖2為脈沖寬度為τ的雙曲正割脈沖的強(qiáng)度波形(為了對(duì)比，用虛線同時(shí)畫(huà)出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強(qiáng)度波形)，其時(shí)域電場(chǎng)強(qiáng)度可寫(xiě)為:

圖2 脈沖寬度為τ的sech2脈沖的強(qiáng)度波形Fig.2 Intensity waveform of a sech2pulse with pulseduration of τ

由式(7)可得，雙曲正割脈沖的功率可寫(xiě)為:

將式(8)對(duì)時(shí)間積分，可以得到雙曲正割脈沖的能量為:∞

所以雙曲正割脈沖的實(shí)際峰值功率和標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(10)式可以看出，雙曲正割脈沖的標(biāo)稱峰值功率比實(shí)際峰值功率大13.6%左右，誤差有些大，但如果只考慮數(shù)量級(jí)的話，該誤差也可以接受。

(3)洛侖茲脈沖

圖3為脈沖寬度為τ的洛侖茲脈沖的強(qiáng)度波形(為了對(duì)比，用虛線同時(shí)畫(huà)出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強(qiáng)度波形)，其時(shí)域電場(chǎng)強(qiáng)度可寫(xiě)為:

圖3 脈沖寬度為τ的洛侖茲脈沖的強(qiáng)度波形Fig.3 Intensity waveform of a Lorentzian pulse withpulse duration of τ

由式(11)可得，洛侖茲脈沖的功率可寫(xiě)為:

將式(12)對(duì)時(shí)間積分，可以得到洛侖茲脈沖的能量為:

所以洛侖茲脈沖的實(shí)際峰值功率和標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(14)可見(jiàn)，洛侖茲脈沖的標(biāo)稱峰值功率比實(shí)際峰值功率大22.1%左右。

(4)非對(duì)稱雙曲正割脈沖

圖4為脈沖寬度為τ的非對(duì)稱雙曲正割脈沖的強(qiáng)度波形(為了對(duì)比，用虛線同時(shí)畫(huà)出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強(qiáng)度波形)，其時(shí)域電場(chǎng)強(qiáng)度可寫(xiě)為:

圖4 脈沖寬度為τ的非對(duì)稱雙曲正割脈沖的強(qiáng)度波形Fig.4 Intensity waveform of an asymmetric pulse with pulse duration of τ

由式(15)可得，非對(duì)稱雙曲正割脈沖的功率可寫(xiě)為:

將式(16)對(duì)時(shí)間積分，可以得到非對(duì)稱雙曲正割脈沖的能量為:

所以非對(duì)稱雙曲正割脈沖的實(shí)際峰值功率和標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(18)可見(jiàn)，非對(duì)稱雙曲正割脈沖的標(biāo)稱峰值功率比實(shí)際峰值功率大20.9%左右。

3 非常規(guī)脈沖中常用峰值功率公式的誤差

對(duì)規(guī)則的高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖和非對(duì)稱雙曲正割脈沖來(lái)說(shuō)，由于具有解析的電場(chǎng)表達(dá)式，其標(biāo)稱峰值功率與實(shí)際峰值功率的關(guān)系是確定的。但對(duì)于不規(guī)則的脈沖來(lái)說(shuō)，則標(biāo)稱峰值功率和實(shí)際峰值功率的關(guān)系要視具體的脈沖波形而定，兩者的數(shù)量和大小關(guān)系并不確定。這種情形往往出現(xiàn)在激光脈沖的光譜較寬且調(diào)制比較劇烈的情形，如文獻(xiàn)［13-15］。在我們的實(shí)驗(yàn)中也遇到了此種情形。

圖5 實(shí)驗(yàn)光譜及其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換極限脈沖Fig.5 Experimental spectrum and its corresponding Fourier-transformation-limit pulse

圖5(a)為超短脈沖光參量振蕩器中測(cè)得的激光光譜，圖5(b)中實(shí)線為此光譜對(duì)應(yīng)的傅里葉變換極限脈沖的強(qiáng)度波形。為方便比較，還在圖5(b)中用虛線畫(huà)出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的曲線。由圖5(b)可以看出，脈沖的包絡(luò)線不規(guī)則，這是由于光譜具有不規(guī)則的調(diào)制造成的。與脈沖寬度相同的高斯脈沖比較，兩者在時(shí)間為0左右的部分比較吻合，但不規(guī)則脈沖的兩翼有明顯的臺(tái)階，造成脈沖的對(duì)比度不高。通過(guò)計(jì)算兩條曲線下的面積，計(jì)算了脈沖能量與高斯脈沖能量的比值。不規(guī)則脈沖的能量是同等脈沖寬度高斯脈沖能量的2.5倍。因此盡管按照?qǐng)D中所示高斯脈沖和不規(guī)則脈沖的脈沖寬度相等，峰值功率也相等，但如果按照式(1)計(jì)算則相差較大，實(shí)際峰值功率僅有標(biāo)稱峰值功率的40%左右，這是因?yàn)閷?shí)際上脈沖的能量一部分留在兩翼，從而削弱了峰值功率。因此對(duì)于脈沖時(shí)間曲線不規(guī)則的超短脈沖，采用公式Pp=E/τ計(jì)算峰值功率會(huì)具有較大的誤差。

4 分析與討論

由計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，對(duì)于常見(jiàn)的4種規(guī)則脈沖，Pp=E/τ的計(jì)算結(jié)果都大于實(shí)際峰值功率。按照誤差的比例大小順序分別為:高斯脈沖(6.3%)＜雙曲正割脈沖(13.6%)＜非對(duì)稱雙曲正割脈沖(20.9%)＜洛侖茲脈沖(22.1%)。高斯脈沖的誤差最小，因此對(duì)于與高斯脈沖比較接近的脈沖來(lái)說(shuō)，公式Pp=E/τ具有較高的精度。雙曲正割脈沖的也可利用此公式進(jìn)行計(jì)算，但誤差較大。

對(duì)于脈沖不規(guī)則的情況，誤差可能很大，不能簡(jiǎn)單用Pp=E/τ來(lái)估算其峰值功率。如果脈沖的強(qiáng)度波形與規(guī)則脈沖相比差距較大，可以考慮如下方法精確計(jì)算峰值功率，其具體的步驟是:(1)首先采用功率計(jì)或能量計(jì)測(cè)得脈沖的能量E;(2)對(duì)于皮秒或飛秒量級(jí)的脈沖，用自相關(guān)儀測(cè)量脈沖的自相關(guān)曲線，對(duì)于調(diào)Q脈沖用示波器測(cè)量其脈沖包絡(luò)。求出自相關(guān)曲線或包絡(luò)下面包圍的面積S，此面積實(shí)際與脈沖能量E成正比;(3)用自相關(guān)曲線上的最大值乘以E/S即可得到脈沖的實(shí)際峰值功率。對(duì)于與標(biāo)準(zhǔn)脈沖偏離較大的不規(guī)則的脈沖來(lái)說(shuō)，這樣計(jì)算的結(jié)果將比直接用Pp=E/τ計(jì)算的結(jié)果更為精確。但是這樣計(jì)算工作量較大。一個(gè)折衷的辦法是觀察脈沖的自相關(guān)曲線與哪種標(biāo)準(zhǔn)脈沖相似(在數(shù)據(jù)處理中可以通過(guò)曲線擬合實(shí)現(xiàn))，然后直接通過(guò)根據(jù)脈沖類型估算實(shí)際的峰值功率即可。而在實(shí)驗(yàn)中，脈沖通常接近標(biāo)準(zhǔn)的高斯脈沖或者雙曲正割脈沖，因此其誤差最大不超過(guò)13.6%。

對(duì)于脈沖寬度小于10 fs的情形，脈沖的自相關(guān)曲線并不準(zhǔn)確。因此如果采用上述方法計(jì)算峰值功率就不夠準(zhǔn)確了。此時(shí)應(yīng)該首先測(cè)量得到脈沖的光譜，然后利用頻率分辨光學(xué)開(kāi)關(guān)法(FROG)［16］或者自參考光譜相干電場(chǎng)重建法(SPIDER)［17］測(cè)得脈沖的相位，之后利用光譜強(qiáng)度和相位進(jìn)行傅里葉變換合成脈沖的時(shí)域波形得到其峰值功率即可。

5 結(jié)論

本文針對(duì)高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖、非對(duì)稱雙曲正割脈沖及非常規(guī)激光脈沖，對(duì)常用峰值功率公式的誤差進(jìn)行了計(jì)算，給出了精確計(jì)算峰值功率的方法。對(duì)常規(guī)的高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖、非對(duì)稱雙曲正割脈沖，常用峰值功率公式的結(jié)果比實(shí)際峰值功率都要大，其誤差分別為 6.3%，13.6%，22.1%，20.9%。對(duì)非常規(guī)的脈沖激光來(lái)說(shuō)，常用的峰值功率公式的結(jié)果與實(shí)際峰值功率不能確定。在實(shí)際操作中，可以根據(jù)自相關(guān)軌跡與4種脈沖的近似程度估計(jì)激光的實(shí)際峰值功率。對(duì)于近似程度較遠(yuǎn)的無(wú)規(guī)則脈沖，需要采用我們提出的方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

［1］ 張杰.強(qiáng)場(chǎng)物理—門嶄新的學(xué)科［J］.物理，1997，26(11):643-649.

ZHANG J.High field physics—a brand-new subject［J.］Physics，1997，26(11):643-649.(in Chinese)

［2］ 范麗仙，羅曉華，吳木營(yíng)，等.非相對(duì)論粒子高次諧波輻射作為短波長(zhǎng)激光的可能性［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2010，31(5):691-696.

FAN L X，LUO X H，WU M Y，et al..Possibility of higher hamornics radiation of nonrelativistic particles as short wavelength laser［J］.Chinese J.Luminescence，2010，31(5):691-696.(in Chinese)

［3］ 蔡禾，郭雪嬌，和挺，等.太赫茲技術(shù)及其應(yīng)用研究進(jìn)展［J］.中國(guó)光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)，2010，3(3):210-222.

CAI H，GUO X J，HE T，et al..Terahertz wave and its new appllications［J］.Chinese J.Opt.and Appl.Opt.，2010，3(3):210-222.(in Chinese)

［4］ 張會(huì)，張衛(wèi)宇，徐旺，等.THz波段光子晶體帶隙影響因素研究［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2012，33(8):883-887.

ZHANG H，ZHANG W Y，XU W，et al..Study on the influencing factors of photonic crystal's band gaps in THz waveband［J］.Chinese J.Luminescence，2012，33(8):883-887.(in Chinese)

［5］ 任玉，李付錦，董旭，等.飛秒激光等離子體通道傳導(dǎo)能量特性的研究進(jìn)展［J］.中國(guó)光學(xué)，2012，5(2):133-142.

REN Y，LI F J，DONG X，et al..Research of guiding energy with plasma channel induced by femtosecond laser in air［J］.Chinese Opt.，2012，5(2):133-142.(in Chinese)

［6］ 高慧，趙佳宇，劉偉偉.超快激光成絲現(xiàn)象的多絲控制［J］.光學(xué) 精密工程，2013，21(3):598-607.

GAO H，ZHAO J Y，LIU W W.Control of multiple filamentation induced by ultrafast laser pulses［J］.Opt.Prec.Eng.，2013，21(3):598-607.(in Chinese)

［7］ 陳泳屹，秦莉，佟存柱，等.一種基于布拉格反射波導(dǎo)的表面等離子體激光光源［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2013，34(10):1351-1357.

CHEN Y Y，QIN L，TONG C ZH，et al..A plasmonic laser source based on Bragg reflection waveguide［J］.Chinese J.Luminescence，2013，34(10):1351-1357.(in Chinese)

［8］ 李志全，孟靚，朱君，等.雙平行圓柱形MDM納米棒等離子體波導(dǎo)的傳輸特性分析［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2013，34(8):1073-1078.

LI ZH Q，MENG L，ZHU J，et al..Propagation properties of a plasmonic waveguide with double parallel cylindrical MDM nanorods［J］.Chinese J.Luminescence，2013，34(8):1073-1078.(in Chinese)

［0］ MOUROU G.The ultrahigh-peak-power laser:present and future［J］.Appl.Phys.B，1997，65:205-211.

［10］ BACKUS S，DURFEE III C G，MURNANE M M，et al..High power ultrafast lasers［J］.Rev.Sci.Instrum.，1998，69(3):1207-1223.

［11］ 克希耐爾W.固體激光工程［M］.北京:科學(xué)出版社，2002:414.

KOECHNER W.Solid-State Laser Engineering［M］.Beijing:Science Press，2002:414.(in Chinese)

［12］ 張志剛.飛秒激光技術(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2011:7.

ZHANG ZH G.Femtosecond Laser Technology［M］.Beijing:Science Press，2011:7.(in Chinese)

［13］ BALTU?KA A，WEI Z，PSHENICHNIKOV M S，et al..All-solid-state cavity-dumped sub-5-fs laser［J］.Appl.Phys.B，1997，65:175-188.

［14］ SCHENKEL B，BIEGERT J，KELLER U.Generation of 3.8-fs pulses from adaptive compression of a cascaded hollow fiber supercontinuum［J］.Opt.Lett.，2003，28(20):1987-1989.

［15］ YAMANE K，ZHANG Z G，OKA K，et al..Optical pulse compression to 3.4 fs in the monocycle region by feedback phase compensation［J］.Opt.Lett.，2003，28(22):2258-2260.

［16］ TREBINO R，DELONG K W，F(xiàn)ITTINGHOFF D N，et al..Measuring ultrashort laser pulses in the time-frequency domain using frequency-resolved optical gating［J］.Rev.Sci.Instrum.，1997，68(9):3277-3295.

［17］ IACONIS C，WALMSLEY I A.Self-Referencing spectral interferometry for measuring ultrashort optical pulses［J］.IEEEJ.Quantum Electron.，1999，35(4):501-509.