向曉波 田啟華，2 杜義賢，2，3

（1.三峽大學 機械與材料學院，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學 水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北 宜昌 443002；3.三峽區(qū)域能源裝備三峽大學協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 宜昌 443002）

隨著結構優(yōu)化技術研究的深入發(fā)展，結構拓撲優(yōu)化已成為結構優(yōu)化領域的研究熱點之一［1］.與尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化相比，結構拓撲優(yōu)化具有更大的設計自由度和更廣闊的設計空間以滿足苛刻的設計要求［2］.目前，常用的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化方法大多基于梯度優(yōu)化算法，在優(yōu)化模型的求解中需要反復進行敏度分析，不利于求解復雜的結構優(yōu)化問題.Tovar等［3］將元胞自動機理論引入結構拓撲優(yōu)化方法中，提出了混合元胞自動機（Hybrid Cellular Automata，HCA）算法.周珍珍等［4］研究混合元胞自動機方法處理結構拓撲優(yōu)化設計的問題.王安麟［5］提出了基于進化建立元胞自動機局部直接規(guī)則的方法，有效解決了局部間接規(guī)則存在的局限性問題.

在求解數(shù)學中的最優(yōu)化問題及工程中結構拓撲優(yōu)化問題中，能夠直接解析求解得到結果的非常有限，一般都需要通過迭代法進行求解［6］.而在算法的迭代過程中，收斂準則的選用將直接影響優(yōu)化設計的精度及結果.目前，采用收斂準則求解問題的思想在人工智能和自動化控制等領域都獲得較為廣泛的應用［7］.因此，研究收斂準則具有十分重要的理論意義和應用價值.

本文在總結現(xiàn)有收斂準則算法的基礎上，結合范數(shù)矩陣的理論，提出了一種基于HCA的改進收斂準則優(yōu)化算法，來抑制拓撲優(yōu)化過程中可能出現(xiàn)的灰度單元問題.并通過經(jīng)典二維拓撲優(yōu)化數(shù)值算例，探討所提出的收斂準則在解決拓撲優(yōu)化中灰度單元問題上的可靠性和有效性.

1 連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化建模

1.1 密度插值函數(shù)模型

變密度法中常用的插值模型是固體各向同性懲罰微結構模型（solid Isotropic microstructure with penalization，SIMP）［8］，SIMP材料插值方法主要通過引入懲罰因子對單元的中間密度值進行懲罰，本文基于各向同性材料，建立非線性的冪函數(shù)來表示材料的彈性模型與單元相對密度之間的顯式對應關系

式中，E0和ρ0分別是實體材料的彈性模量和密度，ρe和Ee是單元材料的密度和相對密度，Ee和Emin是固體和孔洞材料的彈性模量，ΔE0＝E0-Emin，Emin＝E0／1000，p是懲罰因子.

1.2 基于HCA的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

HCA算法是將CA理論和有限元方法結合起來的一種無梯度優(yōu)化算法.在CA模型迭代演化時，將單元的平均應變能密度值與目標值之間的差值作為反饋信號，優(yōu)化的目的是使反饋信號值最小化.本文采用變密度法中SIMP材料插值模型，建立基于HCA的結構拓撲優(yōu)化模型為

2 改進的算法收斂準則

收斂準則就是判斷在一定的精度要求下，數(shù)值求解過程中所得到的迭代點是否正是需要的.不合適的收斂準則可能會導致最終的迭代結果無法收斂或者得到不好的優(yōu)化結果.

理想的迭代收斂準則是將結構的質量變化作為收斂準則，質量的表達式為

式中，ρe（t）和ρ0分別是變質量密度和固體材料密度，M（t）是第t次迭代時結構的質量.

目標函數(shù)的收斂準則取決于設計變量更新時所采用局部控制規(guī)則的類型，Tovar在文獻［3］中將迭代過程中結構的質量變化達到穩(wěn)定狀態(tài)作為優(yōu)化模型的收斂準則，為避免目標函數(shù)出現(xiàn)過早收斂，將連續(xù)兩次迭代時質量絕對變化的平均值小于給定值作為收斂條件，具體的數(shù)學表達式為

式中，ΔM（t）＝M（t）-M（t-1）是第t次迭代時結構質量的變化量，ε是給定容差.

范數(shù)（norm）是數(shù)學中的一種基本概念，在泛函分析中，范數(shù)是一種定義在賦范線性空間中函數(shù)，滿足相應條件后的函數(shù)都可以被稱為范數(shù)［9-10］.最常用的范數(shù)就是P范數(shù).若x＝［x1，x2，x3，…，xn］T，那么

本文引入P范數(shù)理論的概念，通過判斷在這些方向上充分接近t＋1迭代點處，達到判別最優(yōu)點的目的，基于這種思想，提出了一種新的算法收斂準則.當相鄰兩次設計變量的迭代結果足夠小時，收斂準則的數(shù)學表達式為

式中，M（t＋1）是第t＋1次迭代時結構質量.

本文提出的收斂準則引入P范數(shù)后，使前后兩個迭代點充分絕對接近，具有更多下一時刻t＋1迭代點周圍的信息，因為在迭代過程中能夠搜索到極小值點，使收斂準則有更高的可靠性.

3 基于HCA的結構拓撲優(yōu)化建模與求解

3.1 HCA拓撲優(yōu)化方法

HCA算法是一種無梯度的優(yōu)化方法，將元胞自動機方法與有限元分析結合進行結構優(yōu)化，最初用于模擬骨重塑過程，根據(jù)骨骼功能自適應理論進行骨骼重新塑造，使骨骼具有均勻應變能密度.

HCA模型的基本組成有元胞柵格、每個元胞的狀態(tài)集合和狀態(tài)更新規(guī)則集合.每個元胞的狀態(tài)由當前時刻t狀態(tài)及其鄰域元胞的狀態(tài)決定下一個時刻t＋1該元胞的狀態(tài).元胞第j種的狀態(tài)更新規(guī)則可以表示為

式中，αe（t），αe＋Δ1（t），αe＋ΔN（t）表示元胞e的鄰居元胞.

CA本質上是時空離散化的數(shù)學模型，由有限個元胞單元構成，每個元胞單元具有特定的狀態(tài)值.在某一時刻（或某次迭代），每個元胞的狀態(tài)值僅與與其相鄰的幾個元胞的狀態(tài)值相關.狀態(tài)更新規(guī)則需要收集每個元胞領域元胞的狀態(tài)信息.本文采用包含8個鄰居元胞的Moore鄰居類型，如圖1（a）所示.為了定義位于設計域邊界上的元胞更新規(guī)則，必須先定義不同的邊界條件.本文選用固定邊界條件，即設計域邊界外的狀態(tài)為零，如圖1（b）所示.

圖1 元胞自動機的領域和邊界條件

拓撲優(yōu)化迭代過程中，每個元胞的設計變量可定義為單元密度xe，每個元胞的狀態(tài)場變量可以定義為應力、應變、應變能、互應變能或者它們的函數(shù)Se.這時，元胞的狀態(tài)可以表示為

式中，αe（t）是元胞的狀態(tài)，xe（t）是元胞的設計變量，Se（t）是元胞的狀態(tài)場變量.

式中，Ue（t）為元胞應變能密度值；Ui為鄰居元胞的應變能密度值；N為元胞鄰居數(shù)量.

3.2 局部控制規(guī)則

設計域中的材料分布由局部控制規(guī)則確定，它尋求狀態(tài)場變量平均值與狀態(tài)場變量設定值差值減小到最小.局部控制規(guī)則有兩位置、線性、積分和微分控制.較復雜的控制策略是比例-積分-微分（Proportional-Integral-Derivative，PID）反饋控制，該控制策略已廣泛應用于控制應用問題中，數(shù)學表達式為

式中，cP，cI，cD分別是比例，積分和微分的權系數(shù).本文采用局部比例控制.

3.3 HCA算法的求解流程

本文采用HCA算法求解優(yōu)化模型，求解流程如圖2所示.在迭代計算時，CA狀態(tài)的平衡條件-＝0與滿應力設計準則一致，使非空元胞處于滿應力狀態(tài).

Step1：定義設計域、材料屬性、載荷等參數(shù)，初始化元胞值x（0），離散設計域為有限個CA單元；

Step2：采用有限元方法進行結構分析，根據(jù)式（11）分別計算元胞單元在第t次迭代時應變能Ue和平均應變能

Step3：采用基于反饋控制的CA局部控制規(guī)則更新設計域內(nèi)材料的分布；

Step4：根據(jù)改進的收斂準則和給定容差ε，判斷迭代是否收斂.若迭代滿足收斂準則，則得到設計域內(nèi)材料的最優(yōu)分布，迭代終止；否則，返回到Step2.

圖2 混合元胞自動機算法求解流程

4 經(jīng)典數(shù)值算例及結果分析

圖3為懸臂梁的設計域，結構初始設計域離散為80×50個單元.材料彈性模量E＝210GPa，泊松比μ＝0.3；懸臂梁的左端為固支約束，豎直向下的集中載荷F＝1kN作用在右邊界中心位置.單元相對密度的初始值取為1.0（實體材料）；利用有限元法求解初始結構的總應變能U0＝19.2Nmm，單元的局部應變能密度目標值＝U0／（80×50）＝4.8×10-3Nmm／mm3.

圖3 懸臂梁的設計域

1）范數(shù)值對優(yōu)化結果的影響

針對懸臂梁結構拓撲優(yōu)化模型，采用本文提出的改進收斂準則，在相同的初始條件和約束下，分別選用不同的范數(shù)值，通過HCA算法對優(yōu)化模型進行求解，得到圖4所示的優(yōu)化結果.

圖4 不同范數(shù)下拓撲優(yōu)化結果

從圖4可知，隨著范數(shù)值的不斷增大，本文提出的收斂準則得到的拓撲結構的應變能和灰度單元會逐漸降低.當范數(shù)值小于20時，拓撲圖形會出現(xiàn)嚴重的灰度單元現(xiàn)象.當范數(shù)值在60和100之間時，應變能和灰度單元數(shù)量開始出現(xiàn)略微下降.因此，當采用本文提出的收斂準則時，選用合理的范數(shù)值能得到更低的應變能值且能更好地抑制灰度單元的出現(xiàn).

2）灰度單元問題

針對本文提出的收斂準則，采用3種不同的范數(shù)值，分別為20，80，100.對模型進行優(yōu)化求解，與采用文獻［3］中的收斂準則得到的拓撲優(yōu)化結果進行對比，見表1.

表1 兩種收斂準則下拓撲優(yōu)化結果對比

由表1可知，當范數(shù)值為20時，得到的優(yōu)化結果中出現(xiàn)大量的灰度單元.當范數(shù)值為80或100時，得到的拓撲圖形跟經(jīng)典拓撲圖形相似.當范數(shù)值為100時，得到應變能值20.983和灰度單元數(shù)目116，比采用文獻［3］中收斂準則得到的應變能值21.006和灰度單元數(shù)目130，分別減少了0.11%和10.8%.因此，采用本文提出的收斂準則得到的應變能更小，并能更好地抑制灰度單元的出現(xiàn).

5 結 論

本文對CA和拓撲優(yōu)化的結合技術進行了探討，借助范數(shù)矩陣的理論，提出了一種改進的拓撲優(yōu)化收斂準則優(yōu)化算法.通過經(jīng)典二維拓撲優(yōu)化算例，分析了不同的范數(shù)值對拓撲優(yōu)化結果的影響，并與采用文獻［3］中收斂準則得到的拓撲優(yōu)化結果進行對比，證明了本文提出的收斂準則能夠有效地抑制灰度單元的出現(xiàn)，取得更好的應變能目標值，并最終能夠得到輪廓較清晰的拓撲優(yōu)化圖形.

［1］左孔天.連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化理論與應用研究［D］.武漢：華中科技大學，2004.

［2］杜義賢，王 偉，李 然，等.結構拓撲優(yōu)化中敏度過濾技術研究［J］.工程設計學報，2012，19（1）：20-24.

［3］Tovar A，Patel N M，Niebur G L，et al.Topology Optimization Using a Hybrid Cellular Automaton Method with Local Control Rules［J］.Journal of Mechanical Design，2006，128（6）：1205-1216.

［4］周珍珍.基于混合元胞自動機方法的結構拓撲優(yōu)化研究［D］.武漢：華中科技大學，2009.

［5］王安麟，姜 濤.基于進化元胞自動機的結構拓撲優(yōu)化［J］.機械工程學報，2005，41（2）：1-5.

［6］孫云龍.關于最優(yōu)化問題的算法收斂準則［J］.四川師范大學學報：自然版，1999，22（3）：323-325.

［7］唐煥文，秦學志.實用最優(yōu)化方法［M］.大連：大連理工大學出版社，2000.

［8］Bendse M P，Sigmund O.Topology Optimization：Theory，Methods，and Applications［M］.Berlin Heidelberg，New York：Springer，2003.

［9］趙瑞珍，秦 周，胡紹海.一種基于特征值分解的測量矩陣優(yōu)化方法［J］.信號處理，2012，28（5）：653-658.

［10］徐 仲，張凱院.矩陣論簡明教程［M］.北京：科學出版社，2005.