邱艷宇，趙躍堂，張 虹

(1.解放軍理工大學 國防工程學院，南京 210007;2.解放軍73833部隊，福州 350002)

作為力學實驗中常用的教學設備，等強度懸臂梁的應用比較廣泛。靜態(tài)實驗如電阻應變片靈敏系數(shù)測定、應變組橋?qū)嶒灥?，動態(tài)實驗如動特性與動應力綜合性實驗［1］、沖擊動應力動荷系數(shù)及固有頻率測試實驗［2］。在計算等強度梁固有頻率時，常常按照三角形等強度懸臂梁的形狀作近似計算。但是，實際使用的等強度梁設備一般都是梯形等強度懸臂梁，這樣會使計算結(jié)果和實驗結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。本文利用瑞利法得到了梯形等強度懸臂梁的解析解，并通過數(shù)值仿真和實驗結(jié)果對該方法進行了驗證。

1 理論計算

1.1 梯形等強度懸臂梁模型

以圖1所示的梯形等強度懸臂梁為研究對象，其中l(wèi)2=40.8 cm;l1=16 cm;a=2.5 cm;c=5.5 cm;厚度h=0.6 cm;密度ρ=7.8×103kg·m－3;彈性模量E=2.1×1011Pa;分段建立微分方程。

當x＜l1時，

當l1≤x≤l1+l2時，

圖1 梯形等強度梁

求得y1(x)和y2(x)，再根據(jù)瑞利法

由此得到圖1所示梯形梁的基頻近似值為20.69 Hz。

1.2 三角形等強度懸臂梁模型

圖2 三角形等強度懸臂梁

三角形等強度懸臂梁尺寸如圖2所示。材料、厚度均與圖1梯形等強度梁相同，仍用瑞利法求解基頻，其中l(wèi)=l1+l2，則等強度梁的截面寬度為:

橫向振動時慣性矩為:

假定振型函數(shù)為:

顯然該模態(tài)滿足所有的幾何邊界條件和力邊界條件。

由瑞利法得:

由此得到圖2所示三角形梁的基頻近似值為36.463 Hz。

2 數(shù)值計算

數(shù)值計算采用 ANSYS/LS-DYNA軟件進行。LS-DYNA是一個非線性動力分析通用有限元程序，可以求解各種線性和非線性結(jié)構(gòu)的動力響應問題。

2.1 梯形等強度懸臂梁模型

為了求解梁的頻率和對應的模態(tài)，計算選用軟件的隱式分析模塊。模型的有限元網(wǎng)格共34 620個八節(jié)點固體單元，42 574個節(jié)點。等截面梁材料模型選用各向同性彈性材料，具體參數(shù)為:密度7.8×103kg·m－3;彈性模量2.1×1011Pa;泊松比0.28。數(shù)值計算結(jié)果如圖3所示，得到的基頻為20.041 Hz。

2.2 三角形等強度懸臂梁模型

模型的有限元網(wǎng)格共80 941個八節(jié)點固體單元，92 842個節(jié)點。其他參數(shù)同梯形等強度梁。數(shù)值計算結(jié)果如圖4所示，得到的基頻為36.438 Hz。

圖3 梯形等強度懸臂梁一階模態(tài)計算結(jié)果

圖4 三角形等強度懸臂梁一階模態(tài)的計算結(jié)果

3 實驗及結(jié)果

3.1 實驗系統(tǒng)

利用初位移法使等強度梁產(chǎn)生自由振動，系統(tǒng)的自由振動信號由貼于梁軸線上的應變片獲取，再通過東方振動與噪聲研究所研制的INV1861應變調(diào)理器進行信號調(diào)理，最后經(jīng)過INV3020D信號采集分析儀的A/D轉(zhuǎn)換，信號被DASP V10采集分析軟件儲存到計算機上。

3.2 實驗結(jié)果

等強度梁自由振動時程曲線如圖5所示，其幅值譜如圖6所示?？梢?，由實驗所測到的基頻為19.062 Hz。

圖5 梯形等強度懸臂梁自由振動時程曲線

圖6 幅值譜圖

4 結(jié)果比較

以上計算和實測的結(jié)果如表1所示。由于實際使用的等強度懸臂梁教學設備并不采用三角形截面形式，所以沒有實測值。從表中可以看出，由于自由端附加質(zhì)量的影響，三角形等強度梁基頻比梯形梁基頻提高較大。

表1 等強度梁基頻計算與實測值 Hz

5 結(jié)束語

1)對于實際使用的等強度梁教學設備，按照三角形截面計算基頻誤差很大，必須嚴格按照梯形截面進行計算。

2)實際測試時，由于懸臂梁的固定邊界條件很難準確實現(xiàn)，實測值的誤差更大一些。

［1］姚恩濤，胡明敏.應用《理論力學》與《材料力學》知識的實驗方案［J］.實驗室研究與探索，2003，22(2):13－14.

［2］郭迎福，劉權(quán)，張越雷.基于聲卡和LabVIEW的等強度懸臂梁固有頻率測試［J］.實驗室研究與探索，2009，28(11):36－38.

［3］盛宏玉.結(jié)構(gòu)動力學［M］.合肥:合肥工業(yè)大學出版社，2005:215－217.

［4］姚恩濤，周克印，董冠強.等強度梁沖擊動應力、動荷系數(shù)等參數(shù)測定裝置的研制［J］.實驗技術與管理，2003，20(1):28－30.

［5］馬功勛，徐郁文.等強度梁動應力測定及分析［J］.理化檢驗－物理分冊，2002，38(8):334－336.

［6］王曉光，饒秋華，李社國.動態(tài)特性與動應力綜合性實驗的研究與實踐［J］.力學與實踐.2004，26(6):74－76.