張鳳群

二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，為了幫助同學(xué)們深刻理解并掌握這部分知識(shí)，本文對(duì)幾種容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的情況作簡單分析并列舉，以供借鑒.

一、 忽視分類討論思想致錯(cuò)

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+的圖像與x軸總有交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【錯(cuò)解】∵圖像與x軸總有交點(diǎn)，∴（a+1）2

-4（a2+3a+2）×≥0，∴a≤-1，∵a2+3a+2≠0，∴a≠-1且a≠-2，∴a<-1且a≠-2.

【剖析】題中未指明該函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，大多數(shù)同學(xué)在解題中，因思維定勢(shì)，想當(dāng)然地認(rèn)為該函數(shù)一定是二次函數(shù)，且與x軸有交點(diǎn)，忽視了分類討論，造成漏解，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【正解】當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)為y=-x+，它是一次函數(shù)，與x軸也有交點(diǎn). 所以此題a的取值范圍應(yīng)是a<-1.

二、 概念不清致錯(cuò)

例2 當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是關(guān)于x的二次函數(shù)？

【錯(cuò)解】由m2-2m-1=2，解之得m1=-1，m2=3. 所以當(dāng)m=-1或m=3時(shí)，函數(shù)y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是二次函數(shù).

【剖析】上述解法為概念錯(cuò)誤導(dǎo)致. 函數(shù)y=ax2+bx+c為二次函數(shù)的條件是二次項(xiàng)系數(shù)a≠0. 錯(cuò)解中，當(dāng)m=-1時(shí)，m2+m=0，此時(shí)函數(shù)為y=-4x+1，不是二次函數(shù)，應(yīng)當(dāng)舍去.

【正解】由m2-2m-1=2，得m1=-1，m2=3. 又因?yàn)閙2+m≠0，即m≠0且m≠-1，所以當(dāng)m=3時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù).

三、 考慮不周致錯(cuò)

例3 已知拋物線y=x2-2mx+m2+m+2與x軸交點(diǎn)為（a，0），（b，0），求（a-1）2+（b-1）2的最小值.

【錯(cuò)解】∵（a-1）2+（b-1）2=[（a+b）2-2ab]-2（a+b）+2=2m2-6m-2=2（m-1.5）2-6.5，故當(dāng)m=1.5時(shí)，所求最小值為-6.5.

【剖析】上述錯(cuò)解疏忽了拋物線與x軸有交點(diǎn)的條件. 當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，其解析式所對(duì)應(yīng)的判別式b2-4ac≥0. 事實(shí)上，當(dāng)m=1.5時(shí)，b2-4ac<0. 所以上述所得最小值是錯(cuò)誤的.

【正解】由題意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2. （a-1）2+（b-1）2=2（m-1.5）2

-6.5. 故m-1.5取最小值時(shí)其值最小. 所以當(dāng)m=-2時(shí)，得（a-1）2+（b-1）2的最小值為18.

四、 忽視已知條件致錯(cuò)

例4 如圖1，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，則b的值為（ ）.

A. -5 B. 4或-4

C. 4 D. -4

【錯(cuò)解】由S△ABC=3，BC=2，得A（0，3），即c=3. 由BC2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-b）2

-4c=b2-12，得b2-12=4，所以b=±4. 選B.

【剖析】錯(cuò)解沒有考慮到拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，即x=-只能與x軸正半軸相交的事實(shí)，所以->0，所以b<0.

【正解】正確答案應(yīng)選D.

五、 對(duì)平移拋物線認(rèn)識(shí)模糊致錯(cuò)

例5 已知拋物線y=ax2-1向上平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)（3，7），求此時(shí)所得拋物線的解析式.

【錯(cuò)解一】拋物線y=ax2-1向上平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，解析式變?yōu)閥=a（x+3）2-1+2，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+3）2+1.

【錯(cuò)解二】平移后解析式變?yōu)閥=a（x+2）2-1+3，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+2）2+2.

【剖析】上述兩種解法均錯(cuò)在對(duì)平移拋物線的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤. 錯(cuò)解一因?yàn)樯舷缕揭婆c左右平移不分. 錯(cuò)解二因?yàn)闆]弄清拋物線平移的規(guī)律. 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），向上平移3個(gè)單位后變?yōu)椋?，2），再向右平移2個(gè)單位后變?yōu)椋?，2），這是平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【正解】因?yàn)榻?jīng)過上述平移，拋物線的頂點(diǎn)將移到點(diǎn)（2，2）處，所以設(shè)平移后拋物線的解析式為y=a（x-2）2+2，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=5. 所以，最后拋物線解析式為y=5（x-2）2+2.

六、 不注意自變量的取值范圍致錯(cuò)

例6 矩形ABCD的兩邊長AB=18 cm，AD=4 cm，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也立即停止. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△PBQ的面積為y（cm2），求△PBQ的面積的最大值.

【錯(cuò)解】因?yàn)镾△PBQ=PB·BQ，且PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，所以y=（18-2x）x，即y=-x2+9x. 所以y=-x

-2+. 所以當(dāng)x=時(shí)，y最大值=，即△PBQ的最大面積是 cm2.

【剖析】錯(cuò)解只考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，忽視了自變量的取值范圍. 當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最值， 當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，根據(jù)函數(shù)增減性，最值應(yīng)在自變量的端點(diǎn).

【正解】同“錯(cuò)解”所求的二次函數(shù)y=-x2+9x，所以y=-x

-2+. 因?yàn)楫?dāng)0

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）

二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，為了幫助同學(xué)們深刻理解并掌握這部分知識(shí)，本文對(duì)幾種容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的情況作簡單分析并列舉，以供借鑒.

一、 忽視分類討論思想致錯(cuò)

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+的圖像與x軸總有交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【錯(cuò)解】∵圖像與x軸總有交點(diǎn)，∴（a+1）2

-4（a2+3a+2）×≥0，∴a≤-1，∵a2+3a+2≠0，∴a≠-1且a≠-2，∴a<-1且a≠-2.

【剖析】題中未指明該函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，大多數(shù)同學(xué)在解題中，因思維定勢(shì)，想當(dāng)然地認(rèn)為該函數(shù)一定是二次函數(shù)，且與x軸有交點(diǎn)，忽視了分類討論，造成漏解，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【正解】當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)為y=-x+，它是一次函數(shù)，與x軸也有交點(diǎn). 所以此題a的取值范圍應(yīng)是a<-1.

二、 概念不清致錯(cuò)

例2 當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是關(guān)于x的二次函數(shù)？

【錯(cuò)解】由m2-2m-1=2，解之得m1=-1，m2=3. 所以當(dāng)m=-1或m=3時(shí)，函數(shù)y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是二次函數(shù).

【剖析】上述解法為概念錯(cuò)誤導(dǎo)致. 函數(shù)y=ax2+bx+c為二次函數(shù)的條件是二次項(xiàng)系數(shù)a≠0. 錯(cuò)解中，當(dāng)m=-1時(shí)，m2+m=0，此時(shí)函數(shù)為y=-4x+1，不是二次函數(shù)，應(yīng)當(dāng)舍去.

【正解】由m2-2m-1=2，得m1=-1，m2=3. 又因?yàn)閙2+m≠0，即m≠0且m≠-1，所以當(dāng)m=3時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù).

三、 考慮不周致錯(cuò)

例3 已知拋物線y=x2-2mx+m2+m+2與x軸交點(diǎn)為（a，0），（b，0），求（a-1）2+（b-1）2的最小值.

【錯(cuò)解】∵（a-1）2+（b-1）2=[（a+b）2-2ab]-2（a+b）+2=2m2-6m-2=2（m-1.5）2-6.5，故當(dāng)m=1.5時(shí)，所求最小值為-6.5.

【剖析】上述錯(cuò)解疏忽了拋物線與x軸有交點(diǎn)的條件. 當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，其解析式所對(duì)應(yīng)的判別式b2-4ac≥0. 事實(shí)上，當(dāng)m=1.5時(shí)，b2-4ac<0. 所以上述所得最小值是錯(cuò)誤的.

【正解】由題意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2. （a-1）2+（b-1）2=2（m-1.5）2

-6.5. 故m-1.5取最小值時(shí)其值最小. 所以當(dāng)m=-2時(shí)，得（a-1）2+（b-1）2的最小值為18.

四、 忽視已知條件致錯(cuò)

例4 如圖1，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，則b的值為（ ）.

A. -5 B. 4或-4

C. 4 D. -4

【錯(cuò)解】由S△ABC=3，BC=2，得A（0，3），即c=3. 由BC2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-b）2

-4c=b2-12，得b2-12=4，所以b=±4. 選B.

【剖析】錯(cuò)解沒有考慮到拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，即x=-只能與x軸正半軸相交的事實(shí)，所以->0，所以b<0.

【正解】正確答案應(yīng)選D.

五、 對(duì)平移拋物線認(rèn)識(shí)模糊致錯(cuò)

例5 已知拋物線y=ax2-1向上平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)（3，7），求此時(shí)所得拋物線的解析式.

【錯(cuò)解一】拋物線y=ax2-1向上平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，解析式變?yōu)閥=a（x+3）2-1+2，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+3）2+1.

【錯(cuò)解二】平移后解析式變?yōu)閥=a（x+2）2-1+3，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+2）2+2.

【剖析】上述兩種解法均錯(cuò)在對(duì)平移拋物線的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤. 錯(cuò)解一因?yàn)樯舷缕揭婆c左右平移不分. 錯(cuò)解二因?yàn)闆]弄清拋物線平移的規(guī)律. 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），向上平移3個(gè)單位后變?yōu)椋?，2），再向右平移2個(gè)單位后變?yōu)椋?，2），這是平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【正解】因?yàn)榻?jīng)過上述平移，拋物線的頂點(diǎn)將移到點(diǎn)（2，2）處，所以設(shè)平移后拋物線的解析式為y=a（x-2）2+2，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=5. 所以，最后拋物線解析式為y=5（x-2）2+2.

六、 不注意自變量的取值范圍致錯(cuò)

例6 矩形ABCD的兩邊長AB=18 cm，AD=4 cm，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也立即停止. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△PBQ的面積為y（cm2），求△PBQ的面積的最大值.

【錯(cuò)解】因?yàn)镾△PBQ=PB·BQ，且PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，所以y=（18-2x）x，即y=-x2+9x. 所以y=-x

-2+. 所以當(dāng)x=時(shí)，y最大值=，即△PBQ的最大面積是 cm2.

【剖析】錯(cuò)解只考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，忽視了自變量的取值范圍. 當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最值， 當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，根據(jù)函數(shù)增減性，最值應(yīng)在自變量的端點(diǎn).

【正解】同“錯(cuò)解”所求的二次函數(shù)y=-x2+9x，所以y=-x

-2+. 因?yàn)楫?dāng)0

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）

二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，為了幫助同學(xué)們深刻理解并掌握這部分知識(shí)，本文對(duì)幾種容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的情況作簡單分析并列舉，以供借鑒.

一、 忽視分類討論思想致錯(cuò)

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+的圖像與x軸總有交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【錯(cuò)解】∵圖像與x軸總有交點(diǎn)，∴（a+1）2

-4（a2+3a+2）×≥0，∴a≤-1，∵a2+3a+2≠0，∴a≠-1且a≠-2，∴a<-1且a≠-2.

【剖析】題中未指明該函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，大多數(shù)同學(xué)在解題中，因思維定勢(shì)，想當(dāng)然地認(rèn)為該函數(shù)一定是二次函數(shù)，且與x軸有交點(diǎn)，忽視了分類討論，造成漏解，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【正解】當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)為y=-x+，它是一次函數(shù)，與x軸也有交點(diǎn). 所以此題a的取值范圍應(yīng)是a<-1.

二、 概念不清致錯(cuò)

例2 當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是關(guān)于x的二次函數(shù)？

【錯(cuò)解】由m2-2m-1=2，解之得m1=-1，m2=3. 所以當(dāng)m=-1或m=3時(shí)，函數(shù)y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是二次函數(shù).

【剖析】上述解法為概念錯(cuò)誤導(dǎo)致. 函數(shù)y=ax2+bx+c為二次函數(shù)的條件是二次項(xiàng)系數(shù)a≠0. 錯(cuò)解中，當(dāng)m=-1時(shí)，m2+m=0，此時(shí)函數(shù)為y=-4x+1，不是二次函數(shù)，應(yīng)當(dāng)舍去.

【正解】由m2-2m-1=2，得m1=-1，m2=3. 又因?yàn)閙2+m≠0，即m≠0且m≠-1，所以當(dāng)m=3時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù).

三、 考慮不周致錯(cuò)

例3 已知拋物線y=x2-2mx+m2+m+2與x軸交點(diǎn)為（a，0），（b，0），求（a-1）2+（b-1）2的最小值.

【錯(cuò)解】∵（a-1）2+（b-1）2=[（a+b）2-2ab]-2（a+b）+2=2m2-6m-2=2（m-1.5）2-6.5，故當(dāng)m=1.5時(shí)，所求最小值為-6.5.

【剖析】上述錯(cuò)解疏忽了拋物線與x軸有交點(diǎn)的條件. 當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，其解析式所對(duì)應(yīng)的判別式b2-4ac≥0. 事實(shí)上，當(dāng)m=1.5時(shí)，b2-4ac<0. 所以上述所得最小值是錯(cuò)誤的.

【正解】由題意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2. （a-1）2+（b-1）2=2（m-1.5）2

-6.5. 故m-1.5取最小值時(shí)其值最小. 所以當(dāng)m=-2時(shí)，得（a-1）2+（b-1）2的最小值為18.

四、 忽視已知條件致錯(cuò)

例4 如圖1，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，則b的值為（ ）.

A. -5 B. 4或-4

C. 4 D. -4

【錯(cuò)解】由S△ABC=3，BC=2，得A（0，3），即c=3. 由BC2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-b）2

-4c=b2-12，得b2-12=4，所以b=±4. 選B.

【剖析】錯(cuò)解沒有考慮到拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，即x=-只能與x軸正半軸相交的事實(shí)，所以->0，所以b<0.

【正解】正確答案應(yīng)選D.

五、 對(duì)平移拋物線認(rèn)識(shí)模糊致錯(cuò)

例5 已知拋物線y=ax2-1向上平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)（3，7），求此時(shí)所得拋物線的解析式.

【錯(cuò)解一】拋物線y=ax2-1向上平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，解析式變?yōu)閥=a（x+3）2-1+2，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+3）2+1.

【錯(cuò)解二】平移后解析式變?yōu)閥=a（x+2）2-1+3，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+2）2+2.

【剖析】上述兩種解法均錯(cuò)在對(duì)平移拋物線的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤. 錯(cuò)解一因?yàn)樯舷缕揭婆c左右平移不分. 錯(cuò)解二因?yàn)闆]弄清拋物線平移的規(guī)律. 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），向上平移3個(gè)單位后變?yōu)椋?，2），再向右平移2個(gè)單位后變?yōu)椋?，2），這是平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【正解】因?yàn)榻?jīng)過上述平移，拋物線的頂點(diǎn)將移到點(diǎn)（2，2）處，所以設(shè)平移后拋物線的解析式為y=a（x-2）2+2，當(dāng)x=3、y=7時(shí)，可求得a=5. 所以，最后拋物線解析式為y=5（x-2）2+2.

六、 不注意自變量的取值范圍致錯(cuò)

例6 矩形ABCD的兩邊長AB=18 cm，AD=4 cm，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也立即停止. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△PBQ的面積為y（cm2），求△PBQ的面積的最大值.

【錯(cuò)解】因?yàn)镾△PBQ=PB·BQ，且PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，所以y=（18-2x）x，即y=-x2+9x. 所以y=-x

-2+. 所以當(dāng)x=時(shí)，y最大值=，即△PBQ的最大面積是 cm2.

【剖析】錯(cuò)解只考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，忽視了自變量的取值范圍. 當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最值， 當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，根據(jù)函數(shù)增減性，最值應(yīng)在自變量的端點(diǎn).

【正解】同“錯(cuò)解”所求的二次函數(shù)y=-x2+9x，所以y=-x

-2+. 因?yàn)楫?dāng)0

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）