曹洪

下面是同學(xué)們在完成中考試題類編——方程（組）中的錯誤，你出現(xiàn)過這些錯誤嗎？希望你能從這些錯誤中汲取經(jīng)驗教訓(xùn)，提高免疫力，避免出現(xiàn)類似錯誤.

一、 審題不細

例1 （2012·湖北天門）關(guān)于x的方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根為0，則m的值為（ ）.

A. 1 B. -1

C. 1或-1 D. 0.5

【錯解】將x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-1=0得：m2-1=0，解得m=1或m=-1，又m-1≠0，所以m≠1，因此m的值為-1，選B.

【分析】題目中沒有講這個方程是一元二次方程，所以m-1可以為0. 事實上，m=1時，方程為x=0，它有一根為0，滿足要求，因此m的值為1或-1，選C.

【點評】方程ax2+bx+c=0不一定是一元二次方程，因此遇到這類問題常常需要分類討論.

二、 忘記檢驗

例2 （2013·四川綿陽）解方程：

-1=.

【錯解】原方程可化為 = ，所以方程的最簡公分母為（x+2）（x-1），去分母得：x+2=3，解得：x=1. 所以原方程的解為x=1.

【分析】錯解忘記了檢驗，當x=1時，x-1=0，x2+x-2=0，所以x=1是增根，原分式方程無解.

【點評】解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解. 但轉(zhuǎn)化時有可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程一定要驗根.

三、 思考不周

例3 （2013·山西）解方程：

（2x-1）2=x（3x+2）-7.

【錯解】原方程可化為4x2-4x+1=3x2+2x-7，∴x2-6x+8=0，∴（x-3）2=1，∴x-3=1，∴x=4.

【分析】一個正數(shù)的平方根有兩個，因此由直接開平方法得：x-3=±1，∴x1=2，x2=4. 方程的解為x1=2，x2=4.

【點評】用直接開平方法解方程時，要注意正數(shù)的平方根有兩個；用因式分解法解方程不能在方程的兩邊同時除以含未知數(shù)的代數(shù)式，否則會失根；增根易剔除，失根難尋找.

四、 概念不清

例4 （2013·四川瀘州）若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）.

A. k>-1 B. k<1且k≠0

C. k≥-1且k≠0 D. k>-1且k≠0

【錯解】由方程有兩個不相等的實數(shù)根，有Δ>0，即（-2）2-4×k×（-1）>0，解得k>-1，選A.

【分析】由方程kx2-2x-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，必須有k≠0，結(jié)合k>-1，有k>-1且k≠0，選D.

【點評】在應(yīng)用根的判別式解題時一定要注意其使用的前提條件是二次項不能為0.

五、 半途而廢

例5 （2012·山東威海）關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+（m-2）=0的根的情況是（ ）.

A. 有兩個不相等的實數(shù)根

B. 沒有實數(shù)根

C. 有兩個相等的實數(shù)根

D. 無法確定

【錯解】因為Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8，當m的值變化時，m2-4m+8的值也在變化，所以它的根的情況無法確定，選D.

【分析】當m的值變化時，m2-4m+8的值也在變化，但這個值的變化范圍是可確定的，從而可確定Δ的正負性，進而判斷出方程根的情況. 事實上，m2-4m+8=m2-4m+4+4=（m-2）2+4>0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，選A.

【點評】當判別式是含字母的代數(shù)式時，要善于應(yīng)用配方法變形為（ ）2+正數(shù)或

-（ ）2-正數(shù)的形式，以便于對其正負性作出判定.

六、 忽視隱含

例6 （2013·黑龍江龍東）已知關(guān)于x的分式方程=1的解是非正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）.

A. a≤-1 B. a≤-2

C. a≤1且a≠-2 D. a≤-1且a≠-2

【錯解】在方程=1的兩邊同乘x+1得，a+2=x+1，x=a+1. 又方程的解為非正數(shù)，所以a+1≤0，解得a≤-1，選A.

【分析】這是一個分式方程，因此題目隱含著條件分母x+1≠0，即x≠-1，所以a+1≠-1，即a≠-2. 所以a的取值范圍是a≤-1且a≠-2，選D.

【點評】對于含字母系數(shù)的分式方程，一定要注意排除使方程分母為0的字母取值.

七、 理解不當

例7 （2013·湖南郴州）烏梅是郴州的特色時令水果. 烏梅一上市，水果店的小李就用3 000元購進了一批烏梅，前兩天以高于進價40%的價格共賣出150 kg，第三天她發(fā)現(xiàn)市場上烏梅數(shù)量陡增，而自己的烏梅賣相已不太好，于是果斷地將剩余烏梅以低于進價20%的價格全部售出，前后一共獲得750元. 求小李所進烏梅的數(shù)量.

【錯解】設(shè)小李所進烏梅的數(shù)量為x kg，則可列方程×40%×150+×20%×（x-150）=750.

解得x=600. 經(jīng)檢驗x=600是方程的解.

答：小李所進烏梅的數(shù)量為600 kg.

【分析】錯解對“低于進價的20%的價格全部售出”的含義即是虧本理解不當，而誤用“+”來連接，正確的應(yīng)該用符號“-”來連接，得到的方程應(yīng)該是：

×40%×150-×20%×（x-150）=750.

解得x=200，經(jīng)檢驗x=200是方程的解.

答：小李所進烏梅的數(shù)量是200 kg.

【點評】利用方程解應(yīng)用題，審題是關(guān)鍵，不僅要找出已知、未知，而且要正確找出數(shù)量關(guān)系，做到正確解題.

八、 缺少分類

例8 （2013·黑龍江龍東）李明組織大學(xué)同學(xué)一起去觀看電影，票價每張60元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了1 200元，他們共買了_______張電影票.

【錯解】設(shè)他們一共買了x張電影票，則有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.

【分析】本題中的等量關(guān)系是：票價×張數(shù)=1 200元（張數(shù)≤20）；票價×張數(shù)×80%=1 200元（張數(shù)>20）. 應(yīng)該根據(jù)這兩個等量關(guān)系分別列出方程進行求解. 錯解遺漏了前者. 正確解法是：設(shè)他們一共買了x張電影票，則①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合題意，所以他們共買了20或25張電影票.

【點評】對于數(shù)量關(guān)系不唯一的問題，要注意分類思考，全面求解.

九、 忽視要求

例9 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元. 按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？

【錯解】因為10件服裝的售價為80×10=800（元）<1 200元，所以小麗買的服裝數(shù)大于10件. 設(shè)小麗購買了x件這種服裝，則超過的服裝為（x-10）件，又多于10件后每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，所以實際單價為[80-2（x-10）]元，根據(jù)題意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.

答：小麗購買了20件或30件這種服裝.

【分析】當x1=20時，每件售價為80-2（20-10）=60（元）>50元，符合題意；當x2=30時，每件售價為80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合題意，應(yīng)舍去. ∴x=20. 即小麗購買了20件這種服裝.

【點評】在運用方程解決實際問題時，一定要重視問題的具體要求，正確進行取舍.

十、 人為編造

例10 （江蘇南京）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克. 為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？

【錯解】設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元. 根據(jù)題意，得（3-2-x）

200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因為降價越少越好）.

答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2元.

【分析】錯解認為題目中有兩個解，必須舍去一個，人為編造了“降價越少越好”的理由來對根進行取舍. 事實上，由方程得到的兩個解都符合要求，所以答案為“應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2元或0.3元”.

【點評】解題中切不可人為添加條件.

練習(xí)

1. （2013·甘肅蘭州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是_____________.

2. （2013·四川綿陽）已知整數(shù)k<5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長是______.

3. （2013·山東臨沂）對于實數(shù)a、b，定義運算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a2，所以4×2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，則x1×x2=_______.

參考答案：

1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12

3. 3或-3

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學(xué)）

【點評】利用方程解應(yīng)用題，審題是關(guān)鍵，不僅要找出已知、未知，而且要正確找出數(shù)量關(guān)系，做到正確解題.

八、 缺少分類

例8 （2013·黑龍江龍東）李明組織大學(xué)同學(xué)一起去觀看電影，票價每張60元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了1 200元，他們共買了_______張電影票.

【錯解】設(shè)他們一共買了x張電影票，則有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.

【分析】本題中的等量關(guān)系是：票價×張數(shù)=1 200元（張數(shù)≤20）；票價×張數(shù)×80%=1 200元（張數(shù)>20）. 應(yīng)該根據(jù)這兩個等量關(guān)系分別列出方程進行求解. 錯解遺漏了前者. 正確解法是：設(shè)他們一共買了x張電影票，則①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合題意，所以他們共買了20或25張電影票.

【點評】對于數(shù)量關(guān)系不唯一的問題，要注意分類思考，全面求解.

九、 忽視要求

例9 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元. 按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？

【錯解】因為10件服裝的售價為80×10=800（元）<1 200元，所以小麗買的服裝數(shù)大于10件. 設(shè)小麗購買了x件這種服裝，則超過的服裝為（x-10）件，又多于10件后每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，所以實際單價為[80-2（x-10）]元，根據(jù)題意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.

答：小麗購買了20件或30件這種服裝.

【分析】當x1=20時，每件售價為80-2（20-10）=60（元）>50元，符合題意；當x2=30時，每件售價為80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合題意，應(yīng)舍去. ∴x=20. 即小麗購買了20件這種服裝.

【點評】在運用方程解決實際問題時，一定要重視問題的具體要求，正確進行取舍.

十、 人為編造

例10 （江蘇南京）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克. 為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？

【錯解】設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元. 根據(jù)題意，得（3-2-x）

200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因為降價越少越好）.

答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2元.

【分析】錯解認為題目中有兩個解，必須舍去一個，人為編造了“降價越少越好”的理由來對根進行取舍. 事實上，由方程得到的兩個解都符合要求，所以答案為“應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2元或0.3元”.

【點評】解題中切不可人為添加條件.

練習(xí)

1. （2013·甘肅蘭州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是_____________.

2. （2013·四川綿陽）已知整數(shù)k<5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長是______.

3. （2013·山東臨沂）對于實數(shù)a、b，定義運算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a2，所以4×2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，則x1×x2=_______.

參考答案：

1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12

3. 3或-3

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學(xué)）

【點評】利用方程解應(yīng)用題，審題是關(guān)鍵，不僅要找出已知、未知，而且要正確找出數(shù)量關(guān)系，做到正確解題.

八、 缺少分類

例8 （2013·黑龍江龍東）李明組織大學(xué)同學(xué)一起去觀看電影，票價每張60元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了1 200元，他們共買了_______張電影票.

【錯解】設(shè)他們一共買了x張電影票，則有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.

【分析】本題中的等量關(guān)系是：票價×張數(shù)=1 200元（張數(shù)≤20）；票價×張數(shù)×80%=1 200元（張數(shù)>20）. 應(yīng)該根據(jù)這兩個等量關(guān)系分別列出方程進行求解. 錯解遺漏了前者. 正確解法是：設(shè)他們一共買了x張電影票，則①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合題意，所以他們共買了20或25張電影票.

【點評】對于數(shù)量關(guān)系不唯一的問題，要注意分類思考，全面求解.

九、 忽視要求

例9 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元. 按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？

【錯解】因為10件服裝的售價為80×10=800（元）<1 200元，所以小麗買的服裝數(shù)大于10件. 設(shè)小麗購買了x件這種服裝，則超過的服裝為（x-10）件，又多于10件后每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，所以實際單價為[80-2（x-10）]元，根據(jù)題意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.

答：小麗購買了20件或30件這種服裝.

【分析】當x1=20時，每件售價為80-2（20-10）=60（元）>50元，符合題意；當x2=30時，每件售價為80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合題意，應(yīng)舍去. ∴x=20. 即小麗購買了20件這種服裝.

【點評】在運用方程解決實際問題時，一定要重視問題的具體要求，正確進行取舍.

十、 人為編造

例10 （江蘇南京）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克. 為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？

【錯解】設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元. 根據(jù)題意，得（3-2-x）

200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因為降價越少越好）.

答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2元.

【分析】錯解認為題目中有兩個解，必須舍去一個，人為編造了“降價越少越好”的理由來對根進行取舍. 事實上，由方程得到的兩個解都符合要求，所以答案為“應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2元或0.3元”.

【點評】解題中切不可人為添加條件.

練習(xí)

1. （2013·甘肅蘭州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是_____________.

2. （2013·四川綿陽）已知整數(shù)k<5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長是______.

3. （2013·山東臨沂）對于實數(shù)a、b，定義運算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a2，所以4×2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，則x1×x2=_______.

參考答案：

1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12

3. 3或-3

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學(xué)）