曾昭法，米先華

（1．南京理工大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，江蘇 南京 210094；2．湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079）

基于貝葉斯面板模型的擴展C-D生產(chǎn)函數(shù)估計及實證

曾昭法1，2，米先華2

（1．南京理工大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，江蘇 南京 210094；2．湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079）

利用2008—2011年的省際面板數(shù)據(jù)并充分收集和整理先驗信息，運用貝葉斯面板模型分析和研究了擴展的C-D生產(chǎn)函數(shù)，有效地處理了短期時序造成的小樣本問題以及誤差項之間的相關(guān)性問題，實現(xiàn)參數(shù)的適時修正和更新。研究發(fā)現(xiàn)：目前中國物質(zhì)資本份額的后驗均值為55%，明顯低于中國學(xué)者估計的60%；人力資本所占份額僅為5%～6%，其對經(jīng)濟增長的拉動作用沒有得到充分的發(fā)揮，中國應(yīng)增大人力資本投入；固定資產(chǎn)投資比例人均產(chǎn)出彈性的后驗均值為1．37；地理位置等個體差異依舊是造成中國發(fā)展不平衡問題逐年擴大的重要原因。

生產(chǎn)函數(shù)；面板數(shù)據(jù)；貝葉斯

一、引 言

關(guān)于C-D生產(chǎn)函數(shù)，雖然自1928年Charles Cobb和Paul Douglas提出該生產(chǎn)函數(shù)以來，國內(nèi)外有許多的學(xué)者對其進(jìn)行了研究，但對模型的實證結(jié)果沒有達(dá)成一致，且存在較大的分歧，究其原因主要有四個方面：（1）傳統(tǒng)的生產(chǎn)函數(shù)模型中，資本投入并沒有區(qū)分物質(zhì)資本和人力資本對經(jīng)濟增長的影響［1－4］。正如許多經(jīng)濟學(xué)家指出：雖然索洛模型（索洛模型是以C-D生產(chǎn)函數(shù)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的一個增長模型）能正確地預(yù)測儲蓄率與人口增長對經(jīng)濟增長所產(chǎn)生影響的方向，但并不能很好地測量和解釋儲蓄率與人口增長對經(jīng)濟產(chǎn)出影響程度的大小。其中一個重要的原因就是忽略了人力資本對經(jīng)濟增長的影響，使得實證結(jié)果會高估儲蓄和人口增長對產(chǎn)出的影響。為此N．Gregory Mankiw等人對索洛模型進(jìn)行擴展，建立了包含人力資本在內(nèi)的擴展生產(chǎn)函數(shù)模型。（2）物質(zhì)資本、人力資本和技術(shù)等投入要素的測度和量化問題。對于物質(zhì)資本存量，由于目前中國官方的統(tǒng)計資料中并沒有各年的資本存量，因而中國物質(zhì)資本存量都是通過一定的估算方法得到的，但估計的結(jié)果相差很大。如向蓉美等估計中國2005年的資本存量為209 024．57億元，而郭玉清估計中國2005年的資本存量為120 709億元，差距非常大，這無疑會對模型的實證產(chǎn)生很大的影響，對人力資本和技術(shù)變遷的量化更是顯得不可觸摸和缺乏數(shù)據(jù)的支撐［5－6］。國內(nèi)雖有許多學(xué)者對人力資本進(jìn)行了研究和估算，但采用的方法各式各樣，所得到的結(jié)果也千差萬別，沒有統(tǒng)一的共識［7－9］。對于技術(shù)變遷的量化，可采用索洛殘差進(jìn)行測算，但由于中國統(tǒng)計資料中資本收入份額的缺乏，一般只能通過簡單線性回歸等方法進(jìn)行近似的估算。這種方法必須滿足在一個比較長的時期內(nèi)，資本份額保持不變，而這在中國經(jīng)濟高速發(fā)展和體制不斷轉(zhuǎn)型的背景下是一個比較苛刻的假設(shè)。（3）樣本的選取問題。CD生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)會隨著時期以及對象的不同而發(fā)生變化。如果選用時序數(shù)據(jù)，一般的參數(shù)估計方法（如OLS、MLE）都要求樣本時期T較大甚至趨于無窮才能得到有效一致性估計值。但選取較長的時序數(shù)據(jù)并假定函數(shù)參數(shù)固定不變是不合理的，所以有必要利用短期的樣本數(shù)據(jù)實現(xiàn)參數(shù)的適時更新。然而，短期時序數(shù)據(jù)會產(chǎn)生小樣本問題。如果選用截面數(shù)據(jù)，忽略了樣本之間的個體異質(zhì)性則會擴大誤差項的影響，同樣也使參數(shù)估計值出現(xiàn)偏誤。（4）隨機擾動項的假定問題。在實際中，隨機擾動之間往往存在相關(guān)性，并不滿足相互獨立的經(jīng)典正態(tài)高斯分布，利用最小二乘法等一般估計方法會使結(jié)果出現(xiàn)偏誤。

對于上述問題，貝葉斯面板數(shù)據(jù)模型提供了一個很好的解決方法。本文在N．Gregory Mankiw等人擴展的索洛模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)和變形，建立以中國31個省市為對象的短期貝葉斯面板數(shù)據(jù)模型，可以很好地處理上述問題。所建模型具有如下優(yōu)點：（1）面板數(shù)據(jù)既可以控制諸如地理位置、異質(zhì)性等難以測度的潛變量，又可以擴大樣本容量和樣本數(shù)據(jù)信息，得到更好更有效的模型參數(shù)。（2）通過充分利用已有的先驗信息和對樣本似然函數(shù)的設(shè)置，運用密度函數(shù)描畫未知參數(shù)的統(tǒng)計特性，貝葉斯方法可以很容易地處理短期時序的小樣本問題和隨機擾動項的相關(guān)性問題，實現(xiàn)模型參數(shù)不斷修正和更新，使得模型更符合實際的經(jīng)濟背景。（4）通過對模型改進(jìn)和變形，選取每年的全社會固定資產(chǎn)投資總額占GDP的比例作為解釋變量，從而避免了估算各省市各年度的資本存量。此外，還可以通過估計和分析各省份的人力資本、技術(shù)水平、地理位置和個體差異等難以觀測和量化變量（本文稱之為綜合固定效應(yīng)）的影響，從省際的角度探討這些綜合影響因素與中國日趨嚴(yán)重的區(qū)域發(fā)展不平衡問題的關(guān)系。

二、模型設(shè)定和貝葉斯分析推導(dǎo)

（一）中國擴展的總量生產(chǎn)函數(shù)面板模型的設(shè)定

根據(jù)1992年N．Gregory Mankiw等人擴展的索洛模型，本文的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型設(shè)定和推導(dǎo)如下：

其中Y為產(chǎn)出，K為物質(zhì)資本，H為人力資本，L為勞動力，A為技術(shù)水平。α和β為未知參數(shù)，分別表示物質(zhì)資本和人力資本的產(chǎn)出彈性，同時如果各生產(chǎn)投入要素的邊際報酬等于邊際產(chǎn)量，則α和β也表示了物質(zhì)資本報酬和人力資本報酬在總產(chǎn)出中所占的份額。假設(shè)L和A為外生變量且分別以n和g的速率增長，即：Lt＝L0ent，At＝ A0egt，則有效勞動力AtLt以速度n＋g增長。

① 關(guān)于δ的這點假設(shè)可能跟實際的經(jīng)濟背景有點出入。物質(zhì)資本和人力資本折舊率δ大小的確定在學(xué)術(shù)界本身就存在很大的爭議且可能不一樣，這一點在第三部分有比較詳細(xì)的說明。

則a包含了人力資本、政策制度、技術(shù)、地理位置和個體異質(zhì)性等多種不可觀測的影響因素，本文稱之為綜合固定效應(yīng)。

其中i＝1，2，…，N，表示不同省市；下標(biāo)t＝1，2，…，T，表示不同年份；ai為各省份的綜合固定效應(yīng)；uit為隨機擾動因素；b為固定資產(chǎn)投資比例人均產(chǎn)出彈性。

對于擾動項μ，我們有理由認(rèn)為各省份之間在同期內(nèi)存在相關(guān)性。因為在同一期各省市的經(jīng)濟聯(lián)系密切，某一省市所受到的沖擊會對其他省市產(chǎn)生影響，且各省市將同時受到同樣的宏觀經(jīng)濟沖擊的影響，所以經(jīng)典的高斯假設(shè)假定各省市的擾動項之間相互獨立是不合理的。但是，對于不同時期的擾動項，在索洛模型穩(wěn)定狀態(tài)的假定條件下仍然可認(rèn)為是獨立的，因而設(shè)干擾項uit滿足對所有的t≠s有E（uituis）＝0，對所有的i和j有E（uitujt）≠0。根據(jù)以上分析則有矩陣簡寫形式：

（二）模型似然函數(shù)的推導(dǎo)

對于固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型，首先可以通過差分的方法去除固定效應(yīng)。對模型（8）進(jìn)行差分后可得：

（三）參數(shù)先驗分布的選取和后驗分布的推導(dǎo)

在確定參數(shù)的先驗分布時，根據(jù)對未知參數(shù)信息的掌握程度，可以將其分為有信息先驗分布和無信息先驗分布。由于知道α是處于0到1之間的一個未知參數(shù)，且可以根據(jù)資金流量表對α進(jìn)行一些統(tǒng)計特性推斷，從而可以采用先選定先驗密度函數(shù)形式再估計超參數(shù)的方法對α的先驗信息進(jìn)行總結(jié)。貝塔分布能夠很靈活地描述那些參數(shù)在［0，1］的統(tǒng)計分布，所以設(shè)α的先驗分布為貝塔分布，然后再根據(jù)相關(guān)先驗信息確定α的超參數(shù)，即α～Beta（c，d），其中c，d＞0，則α的密度函數(shù)f（α）為：

為了表示簡便，在后驗密度式（17）中省略了常數(shù)項因子，符號∝表示正比于。由于通過精確積分很難得到本文的后驗邊際分布，所以采用馬爾科夫蒙特卡羅（MCMC）方法對式（17）進(jìn)行抽樣分析，即可得未知參數(shù)的后驗邊際分布，進(jìn)而進(jìn)行相關(guān)推斷分析。

三、數(shù)據(jù)來源、預(yù)處理以及先驗信息整理

（一）數(shù)據(jù)來源和預(yù)處理

本文所有用于建模的數(shù)據(jù)全部來源于統(tǒng)計局網(wǎng)站上公布的數(shù)據(jù)，時間段為2008—2011年。經(jīng)濟產(chǎn)出Y是通過各省市的名義GDP經(jīng)各省市CPI調(diào)整后的實際GDP，其中各省市的CPI都以2008年為基期；由于目前統(tǒng)計局沒有公布各省市的勞動人口數(shù)，可獲取的分地區(qū)就業(yè)人數(shù)只有按行業(yè)分的城鎮(zhèn)單位就業(yè)人數(shù)和私人企業(yè)與個體就業(yè)人數(shù)，所以本文選取這兩個指標(biāo)相加來代替各省市的勞動力投入L，其中增長率n的測算為：各省市總勞動人口數(shù)L取對數(shù)后 Ln（Lt）減去前一年的 Ln（Lt－1）得到n。投資比例sk為全社會固定資產(chǎn)投資除以Y得到。關(guān)于折舊率的選取，在中國學(xué)術(shù)界沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，一些學(xué)者采取固定的折舊率，一些學(xué)者在不同的時段采用不同的折舊率。由于本文所選取的樣本數(shù)據(jù)的時間期限比較短，所以采用固定的折舊率。固定折舊率也沒統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，例如5%、6%、9．6%、10%［6，10－14］，有的研究則假定各省每年的折舊率為全國折舊率加上各省該年的經(jīng)濟增長率［15］。本文選擇理論界用的最多也最認(rèn)同的折舊率5%。

（二）先驗分布參數(shù)的設(shè)置

對物質(zhì)資本收入份額α的先驗信息的歸納如下：根據(jù)柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的理論可知，在生產(chǎn)規(guī)模不變的條件下，當(dāng)生產(chǎn)投入要素只有勞動和資本時，則1－α為產(chǎn)出中勞動報酬的份額。根據(jù)統(tǒng)計局公布的資金流量表中勞動者報酬在國民生產(chǎn)總值中的占比估算勞動力投入要素的份額，以此可以得到α的一些先驗信息。在統(tǒng)計局網(wǎng)上能找到的資金流量表為2000年到2009年的數(shù)據(jù)，根據(jù)勞動者報酬在總產(chǎn)出中所占的比例，得到圖1。從圖1可以看出，在這9年的時間里勞動份額總體上呈下降趨勢，存在一定的波動性，雖然有一定的變化，但總體還是比較穩(wěn)定的，變化區(qū)間為48%～54%，距發(fā)達(dá)國家勞動份額30%還有一定的差距，所以從這個數(shù)據(jù)來看資本份額α在46%～52%之間。另外，根據(jù)國內(nèi)學(xué)者的實證研究，認(rèn)為資本份額在60%左右［6，16］。綜合以上信息，本文取折中的辦法，設(shè)資本份額的先驗均值為55%。

圖1 勞動報酬在總收入中的占比份額圖

投資增長率可以反映投資環(huán)境、資本回報等相關(guān)信息。從中國投資增長率來看（圖2），中國的外商直接投資和固定資產(chǎn)投資增長率基本保持在3%以內(nèi)，沒有很大的變化，特別是從外商直接投資的穩(wěn)定性可以看出，中國的資本回報率比較穩(wěn)定，因此資本份額α較穩(wěn)定。由于資本投資增長率較穩(wěn)定，波動性較小，所以可以設(shè)定方差比較小的α，故設(shè)c＝11，d＝9，即α～Beta（11，9）。同時這也進(jìn)一步表明了短期內(nèi)設(shè)定面板數(shù)據(jù)模型為斜率項系數(shù)相等的合理性。

圖2 資產(chǎn)投資增長率折線圖

對于超參數(shù)矩陣Q，為了盡量減少自由度，設(shè)v＝31，Q的元素為對角線上為1，其余的為0．5。

四、實證結(jié)果分析

（一）α的后驗密度分析

由于后驗分布比較復(fù)雜，很難對其精確積分，求出模型參數(shù)精確的后驗分布，運用OPENBUGS軟件，選用MCMC方法對后驗分布進(jìn)行模擬抽樣分析可得到α、b和Σ的后驗分布。由于限于篇幅和研究目的，本文只簡要分析α和b①由于軟件輸入法問題，本文所有圖標(biāo)和表格中，alpha0表示為α，beta1表示β。的后驗分布。在進(jìn)行21 000次迭代之后可得α的后驗密度函數(shù)和統(tǒng)計特性。

從圖3可看出，α不存在自相關(guān)，迭代歷史圖也很穩(wěn)定，從表1可知MCMC誤差為7．923E－4，說明馬氏鏈?zhǔn)諗?。其密度函?shù)圖如圖4所示，呈現(xiàn)中心對稱，不存在厚尾的現(xiàn)象。

圖3 資本份額α的MCMC收斂診斷圖

表1 α后驗分布統(tǒng)計特性

圖4 α的后驗密度分布圖

從后驗分布的均值來看，α的均值為0．549 9，約為55%。在考慮了人力資本、地理優(yōu)勢等不可觀測的影響因素后，物質(zhì)資本份額與郭玉清、張軍等人研究得到的60%相比有所下降，下降幅度為5%。這與模型理論是相符合的，即忽略了人力資本會高估物質(zhì)資本的作用。當(dāng)物質(zhì)資本份額為55%時，則在規(guī)模報酬不變和均衡產(chǎn)出的條件下，勞動力報酬為45%。從圖1可以看出，在2000—2009年期間，中國的勞動者報酬在48%～54%之間，平均為50．74%。如果勞動者報酬分為勞動力報酬和人力資本報酬兩部分，則中國的人力資本報酬僅占了5%～6%，這與發(fā)達(dá)國家還有一定的差距，或者說中國的人力資本累積水平還比較低。充分發(fā)揮人力資本的作用，無論是對提高總量生產(chǎn)還是改善勞動者報酬，都有著不可估量的作用。

圖5 b的MCMC收斂診斷圖

（二）b的后驗密度分析

從圖5可看出，b不存在自相關(guān)，迭代歷史圖也很穩(wěn)定，從表6可知MCMC誤差為0．005 041，說明馬氏鏈?zhǔn)諗?，其密度函?shù)如圖6所示，b的分布函數(shù)是不對稱的，且存在右偏厚尾。從表2中可看出，b的均值為1．378，中位數(shù)為1．229。從經(jīng)濟學(xué)意義上講，b表示的是固定資產(chǎn)投資比例的產(chǎn)出彈性。如果以b的均值做經(jīng)濟分析，其值大于1，說明目前在中國增加固定資產(chǎn)投資比例能有效地拉動經(jīng)濟增長。這也解釋了為什么中國的固定資產(chǎn)投資比例逐年增加。

中國的全社會固定資產(chǎn)投資比例從2000年的33．59%逐年增加到了2011年的66．48%，特別是2008年受金融危機的影響，該比例從54．69%增加到2009年的66%，一年就增加11．3個百分點。就地方政府而言，投資率已經(jīng)非常高，特別是西部地區(qū)。據(jù)相關(guān)統(tǒng)計，2013年前三季度，西部多省區(qū)的投資總量接近甚至超過了GDP，投資率最高的青海和貴州兩省均達(dá)到了135%。因此，中國依靠增加投資比例拉動經(jīng)濟增長的空間極為有限，難以持續(xù)。

圖6 b的后驗密度分布圖

表2 b的后驗分布統(tǒng)計特性

（三）綜合固定效應(yīng)分析

圖7 各省市綜合固定效應(yīng)a折線圖

五、結(jié) 論

本文利用中國2008—2011年的省際短期面板數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建貝葉斯面板模型分析和估計了中國的C-D總量生產(chǎn)函數(shù)。研究表明，中國現(xiàn)階段總量生產(chǎn)函數(shù)的總體特性為：資本份額α為55%，人力資本份額β為5%，勞動力份額為40%。地理位置、個體異質(zhì)等綜合固定效應(yīng)對經(jīng)濟增長的影響較大，并得到以下結(jié)論：

在充分綜合和整理已有研究成果等先驗信息和樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，本文所建立的貝葉斯面板模型不僅能處理小樣本問題，還能方便地處理由于隨機擾動項不滿足經(jīng)典的高斯假設(shè)所造成的影響，提高模型估計效果。利用短期的時期數(shù)據(jù)，可以避免由于長期內(nèi)經(jīng)濟關(guān)系的改變而導(dǎo)致參數(shù)變化所帶來的誤差，并適時更新和修正模型系數(shù)。

資本份額的后驗分布呈現(xiàn)出中心對稱的鐘形分布，而固定資產(chǎn)投資比例產(chǎn)出彈性的后驗分布呈現(xiàn)非對稱和右偏厚尾的密度分布。如果以后驗分布均值進(jìn)行經(jīng)濟分析推導(dǎo)，中國固定資本份額均值為55%，與發(fā)達(dá)國家的70%相比還有一定的差距，同時比中國學(xué)者在沒有考慮不可觀測影響因素條件下得到的60%要低，即忽略了人力資本、地理位置等難以測度的影響因素對經(jīng)濟的影響會高估物質(zhì)資本對經(jīng)濟產(chǎn)出的影響程度。中國的人力資本報酬僅占總產(chǎn)出的5%～6%，人力資本的作用顯然沒有得到充分的發(fā)揮。為此，中國應(yīng)增大人力資本投入，積累人力資本，改善人力資本的報酬。

固定資產(chǎn)投資比例人均產(chǎn)出彈性平均為1．378。雖然目前增大中國的固定資產(chǎn)投資比例能有效拉動中國的經(jīng)濟增長和人均產(chǎn)出，但中國的全社會固定資產(chǎn)投資比例已高達(dá)66．48%，有些省份的投資總額甚至超過了GDP，繼續(xù)依靠增加投資比例拉動經(jīng)濟顯然已不利于中國的持續(xù)發(fā)展。

模型的綜合固定效應(yīng)來看，固定效應(yīng)對經(jīng)濟的影響程度與中國各省市的地理分布存在明顯的相關(guān)關(guān)系，地理優(yōu)勢對經(jīng)濟的發(fā)展有著明顯的作用，地理位置依舊是影響中國經(jīng)濟發(fā)展不平衡的主導(dǎo)因素，其中影響最大的是浙江，最小的是新疆。在中國，人力資本水平還比較低，對于綜合固定效應(yīng)較低的地區(qū)，應(yīng)增加人力資本投入和固定資產(chǎn)投資比例，以彌補地理上的劣勢，加速經(jīng)濟發(fā)展，縮短發(fā)展差距。

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［9］ 李海崢，梁赟玲，BarbaraFraumeni，等．中國人力資本測度與指數(shù)構(gòu)建［J］．經(jīng)濟研究，2010（8）．

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［11］王桂新，陳冠春．上海市物質(zhì)資本存量估算：1978～2007［J］．上海經(jīng)濟研究，2009（8）．

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The Estimation and Empirical of Extended C-D Production Function Based on the Bayesian Panel Model

ZENG Zhao-fa1，2，MI Xian-hua2
（1．School of Economics and Management，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China；2．College of Finance and Statistics，Hunan University，Changsha 410079，China）

Using the inter-provincial panel data from 2008to 2011and by collecting the prior information sufficiently and through Bayesian panel model，this paper deal effectively with the small sample problem caused by short-term time series and the correlation issue of random error term，realizing the parameters timely revised and updated．The results found that：at the present，our posterior mean of physical capital share is 55%，significantly less than 60%of the scholars estimated；with only 5% ～6%share，human capital＇s role fueling economic growth has not been fully play，indicating that we should increase human capital investment；the posterior mean of elasticity of fixed asset investment ratio of per capita output is 1．37；Individual differences such as geographic location is still an important factor causing the growing problem of unbalanced development．

production function；panel data model；Bayesian

O212．8∶F224．0

A

1007－3116（2014）07－0029－07

2014－01－10

曾昭法，男，湖南漢壽人，管理學(xué)博士，副教授，研究方向：宏觀經(jīng)濟統(tǒng)計，投資管理。

米先華，男，湖南婁底人，碩士生，研究方向：金融統(tǒng)計，貝葉斯計量經(jīng)濟模型。

（責(zé)任編輯：崔國平）