凌同華，吳聯(lián)迎，劉浩然，曹 峰，張 勝，李 潔

在新奧法施工中，隧道周邊位移為隧道監(jiān)控量測的必測項(xiàng)目［1］。對周邊位移進(jìn)行準(zhǔn)確、及時(shí)的監(jiān)測，同時(shí)據(jù)此進(jìn)行可靠性的預(yù)測，以了解未來位移的變化發(fā)展趨勢，為隧道穩(wěn)定性控制和安全施工提供了動(dòng)態(tài)參考。

由于隧道周邊位移受多種因素的影響，而有些因素的影響難以進(jìn)行定量和定性分析，使得周邊位移具有非線性特性，因此，一般的數(shù)學(xué)方法難以恰當(dāng)?shù)貙ζ溥M(jìn)行描述和預(yù)測。目前，用于監(jiān)控量測預(yù)測的方法很多，如：支持向量機(jī)［2］、灰色模型［3］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［4］、自適應(yīng)模糊推理系統(tǒng)［5］及遺傳算法［6］等，這些方法各有優(yōu)劣。

卡爾曼濾波是當(dāng)前應(yīng)用最廣的一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，具有最小無偏方差特性［7－10］。其濾波過程實(shí)質(zhì)為一種遞推算法，對所需估計(jì)的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行了線性估計(jì)。對于隧道周邊位移這樣的非線性過程，擴(kuò)展卡爾曼濾波通過對其進(jìn)行線性泰勒處理，使其得以實(shí)現(xiàn)濾波，該方法簡單、有效。因此，擴(kuò)展卡爾曼濾波為隧道周邊位移預(yù)測提供了可靠的理論基礎(chǔ)。在使用濾波算法時(shí)，需要精確的模型參數(shù)和噪聲方差統(tǒng)計(jì)，否則，易致濾波發(fā)散，使得實(shí)際應(yīng)用中存在一定的障礙。據(jù)此人們提出各式各樣的自適應(yīng)方法，以減弱模型誤差和噪聲方差統(tǒng)計(jì)不足的影響。在這些自適應(yīng)方法中，人們更多地探討了方差自適應(yīng)方法，而未予討論參數(shù)自適應(yīng)法。作者擬采用參數(shù)自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波，對周邊位移進(jìn)行濾波預(yù)測處理，并探討其適用性。

1 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

1.1 卡爾曼濾波

對于線性隨機(jī)系統(tǒng)，有

式中：xk，xk＋1分別為k，k＋1時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)向量；Ak為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk為系數(shù)矩陣；vk為觀測向量，Ck為觀測矩陣；ξk為系統(tǒng)噪聲序列；ηk為觀測噪聲序列。

系統(tǒng)噪聲序列和觀測噪聲序列相互獨(dú)立，時(shí)變 噪 聲 統(tǒng) 計(jì) 為：E （ξkξlT）＝Qkδkl，E （ηkηlT）＝Rkδkl，E（ξkηlT）＝0，E（ξkx0T）＝0，E（ηkx0T）＝0，其中：δkl為克羅蒂亞系數(shù)（k＝l時(shí)，δkl＝1；其余情形，δkl＝0）?？柭鼮V波算法［11］可描述為：

式中：p0，0為初始誤差估計(jì)矩陣；pk，k－1為一步預(yù)測誤差矩陣；Gk為濾波增益矩陣；pk，k為估計(jì)誤差矩陣；I 為單 位矩陣；x0，0為狀態(tài) 估 計(jì) 初 始 值，x＾k，k－1為一步預(yù)測值，x＾k，k為狀態(tài)估計(jì)值，Qk為過程噪聲誤差矩陣；Rk為觀測噪聲誤差矩陣。

1.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波

對于非線性系統(tǒng)，有

式中：fk為系統(tǒng)k至k＋1時(shí)刻的轉(zhuǎn)移矩陣；Hk∈Rn×q為矩陣函數(shù)；gk為k時(shí)刻系統(tǒng)觀測矩陣。

對于每個(gè)k，fk（xk）和gk（xk）對xk所有分量的一階偏導(dǎo)都是連續(xù)的。以卡爾曼濾波算法為基礎(chǔ)，進(jìn)行泰勒線性處理，可得擴(kuò)展卡爾曼濾波算法［11］。

2 參數(shù)自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

擴(kuò)展卡爾曼濾波的正常應(yīng)用需要精確已知的模型參數(shù)和噪聲方差統(tǒng)計(jì)，實(shí)際應(yīng)用中往往難以得知，因此需要采取恰當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)方法進(jìn)行彌補(bǔ)。目前較多的自適應(yīng)方法集中于方差自適應(yīng)方法，即通過方差的調(diào)整達(dá)到減小或增大增益Gk，從而實(shí)現(xiàn)一定程度的發(fā)散抑制。然而，濾波的發(fā)散受模型參數(shù)和噪聲方差統(tǒng)計(jì)的雙重影響。當(dāng)模型參數(shù)已不適用于濾波計(jì)算時(shí)，方差自適應(yīng)法也就約束不了濾波的發(fā)散了。因此，進(jìn)行相關(guān)參數(shù)自適應(yīng)方法的研究，彌補(bǔ)其在隧道變形預(yù)測分析應(yīng)用中的空白，具有一定的意義。

2.1 殘差特性因子

欲對濾波模型參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的修正，首先需判斷模型的斂散趨勢，可通過當(dāng)前濾波預(yù)測殘差絕對值與往期預(yù)測殘差絕對值的均值的比值來加以判斷，殘差特性因子θ的定義表達(dá)式為：

式中：Lk為預(yù)測殘差，Lk＝vk－gk（x＾k，k－1）。

①當(dāng)θ≤1時(shí)，即當(dāng)前預(yù)測殘差絕對值小于往期預(yù)測殘差絕對值的均值，濾波正常。②當(dāng)θ＞1時(shí)，即當(dāng)前預(yù)測殘差絕對值大于往期預(yù)測殘差絕對值的均值，濾波出現(xiàn)偏離，可能發(fā)散，為預(yù)防濾波失效，可為θ設(shè)立閾值θ0（θ0可根據(jù)預(yù)測精度要求設(shè)立，如：取θ0為2或3）；當(dāng)θ＞θ0時(shí)，判斷為濾波發(fā)散。

2.2 模型參數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)

對擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行一步預(yù)測，有

一步預(yù)測誤差矩陣計(jì)算式為：

受模型參數(shù)的影響，需引入模型參數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)s（θ≤1時(shí)，濾波正常，取s＝1；θ＞1且θ＞θ0時(shí)，濾波發(fā)散，取s＝1＋α，α＝， 為經(jīng)驗(yàn)參β數(shù)，可取為0.7～1.0）。根據(jù)殘差特性因子，判斷濾波的斂散性。利用模型參數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)，對濾波模型進(jìn)行相應(yīng)的縮放調(diào)節(jié)。進(jìn)而抑制濾波發(fā)散，實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展卡爾曼濾波的參數(shù)自適應(yīng)，則有

故對于k＝1，2，…，參數(shù)自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法可歸結(jié)為：

3 工程實(shí)例分析

3.1 工程概況

葵壩路一標(biāo)2號(hào)隧道，樁號(hào)YK3＋565～YK3＋600段洞頂埋深275～290m，凈寬10.72m，內(nèi)凈高7.14m，巖質(zhì)堅(jiān)硬，解理裂隙不發(fā)育，圍巖的完整性及穩(wěn)定性均較好，自穩(wěn)能力較強(qiáng)，設(shè)計(jì)圍巖等級(jí)為Ⅱ級(jí)，采用新奧法原理進(jìn)行設(shè)計(jì)與施工，全斷面開挖。以YK3＋590斷面周邊位移為例，進(jìn)行理論驗(yàn)證，測線布置如圖1所示。（文獻(xiàn)［1］中說明：一般地段全斷面開挖時(shí)，布置一條水平測線即滿足要求）

圖1 斷面測線布置Fig.1 Measuring line layout chart of section

3.2 實(shí)例分析

由于無法得知確切的周邊收斂變化的轉(zhuǎn)移方程，因此，采用前6期觀測值進(jìn)行曲線擬合，作為其轉(zhuǎn)移方程，即：f（xk）＝5.398 5×exp（0.063 9xk），初始值可根據(jù)具體情況人為設(shè)置［12］，取p0，0＝0.025，Q0＝0.01，R0＝0.01，x＾0＝16.59。 依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型和參數(shù)自適應(yīng)型擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，分別進(jìn)行濾波預(yù)測處理，將兩種濾波計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理，見表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)型和參數(shù)自適應(yīng)型擴(kuò)展卡爾濾波計(jì)算的結(jié)果Table 1 Standard EKF and parameter adaptive EKF calculation

表1第7期中濾波預(yù)測的殘差特性因子θ＝3.21大于預(yù)設(shè)的閾值（θ0＝2），濾波有發(fā)散的趨勢，采用模型參數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)s進(jìn)行修正。從表1中可以看出，修正后的參數(shù)自適應(yīng)型預(yù)測殘差（表1中標(biāo)★處，其最大預(yù)測誤差為0.06mm，平均預(yù)測誤差為0.048mm）要明顯小于未經(jīng)修正的標(biāo)準(zhǔn)型預(yù)測殘差（表1中標(biāo)☆處，其最大預(yù)測誤差為0.26mm，平均預(yù)測誤差為0.24mm）。這說明參數(shù)自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波模型的預(yù)測值與觀測值更為接近，其預(yù)測性能更優(yōu)。

4 結(jié)論

1）參數(shù)自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波能有效抑制濾波發(fā)散，其預(yù)測值更接近于觀測值，其預(yù)測效果優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)型的。

2）用參數(shù)自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波模型進(jìn)行隧道周邊位移預(yù)測是可靠和精確的。通過該模型得知該斷面AB預(yù)測平均誤差為0.048mm，其最大誤差為0.06mm，濾波預(yù)測精度較高，為隧道周邊位移預(yù)測提供了一種新的方法。

（

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