衛(wèi) 強，李新洪，王 剛

(裝備學院，北京101416)

0 引言

推進劑質(zhì)量是制約航天器全壽命的主要因素之一.推進劑消耗一般以軌道控制最多.空間交會需要追蹤航天器向目標航天器軌道進行遠距離軌道轉移，能耗問題更加突出.在滿足各類約束條件下，尋找能耗最少的轉移軌道很有必要.在時間較長的共面圓軌道雙沖量交會中，當對交會點沒有要求時，一般多采用霍曼轉移，而霍曼轉移是Lambert轉移的一種特殊形式.追蹤航天器在轉移軌道上運行不足一圈為單圈Lambert轉移，一圈及一圈以上為多圈Lambert轉移.

目前國內(nèi)外對多圈Lambert問題已有一些較為深入的研究，文獻［1］和［2］分別給出了一種算法，但效率都不高.文獻［3］利用普適變量與轉移時間的函數(shù)關系，提出了另一種魯棒性很強的算法.文獻［4］簡要闡述了一種類似于文獻［3］的算法.文獻［5］與［6］提出了一種基于雙縱坐標的工程圖解法，可以直觀地找到轉移軌道最優(yōu)解，還提出了交會始末位置不固定的多圈轉移設想.文獻［7］為將多圈Lambert問題算法置于遺傳算法的內(nèi)層進行優(yōu)化，利用文獻［5］與［6］提出的工程圖解法進行了最優(yōu)解集分析，然而其對最優(yōu)解集的劃定并不完全，在某些情況下可能會遺漏最優(yōu)解.文獻［8］針對大橢圓軌道的交會，結合一種輔助轉移問題，給出了一種與文獻［2］方法相似的算法，只比較兩個解便可求出最優(yōu)解，提高了計算效率，可是算法流程較為復雜，還需結合圖示.以上多圈問題算法流程雖然看似簡單，有的圖解法還可以直觀地在圖上找出最優(yōu)解，但是其只能進行定性判斷，具體精確值還需要針對性地編程，進行數(shù)值迭代計算.這些算法難以像解決單圈問題那樣將函數(shù)編程封裝，用時直接調(diào)用，也就難以將多圈轉移進一步拓展，如兩動點間的空間交會問題，以及“一對多”甚至“多對多”的在軌服務任務.本文設計了改進算法，簡化了流程，減少了計算量，并依此編寫了Matlab程序.

1 問題闡述

共面圓軌道間兩固定點多圈Lambert轉移是研究兩動點間及多動點間 Lambert問題的基礎，見圖1.F是地球質(zhì)心，為過P1和P2兩點的轉移軌道橢圓的實焦點，F(xiàn)*為虛焦點，其他參數(shù)意義參見文獻［5］.當F*在弦P1P2上時，為最小能量轉移軌道;當F*位于弧P1P2與弦P1P2構成的弧三角形外，為第一類轉移軌道;當F*位于弧P1P2與弦P1P2構成的弧三角形內(nèi)，為第二類轉移軌道.

圖1 多圈Lambert轉移軌道示意圖Fig.1 Sketch map of loopy Lambert transfer orbits

tf為追蹤航天器在橢圓軌道上的轉移時間，Δv為兩次變軌的速度增量之和，a為轉移軌道的長半軸，am為其最小值.當要求的tf較短時，可能只能完成單圈轉移;當較長時，就可能通過進行多圈轉移減小Δv.tf為定值時，兩固定點之間的單圈轉移軌道只有一條，而多圈轉移有多條，可以找出最優(yōu)解.多圈轉移需要分多種情況進行討論，可利用Lagrange轉移時間方程等公式［5］，將解析法、數(shù)值解法和圖示法結合起來，求出多個解進行逐個比對.

［2］中，P1和P2兩點的真近點角f1和f2是直接求反余弦函數(shù)得出，筆者認為不妥.真近點角的范圍是［0，2π)，而反余弦函數(shù)求得的結果范圍是［0，π］，故應該分情況進行討論.經(jīng)過計算，兩者結果有偏差，分情況討論得出的結果是正確的.

2 算法設計

為便于編寫Matlab程序，使算法更加結構化，以下利用兩類軌道的tf、Δv與a三者之間的函數(shù)關系，以及Lagrange參數(shù)在不同情況下的判定結果，分析和總結了解集的分布特點，對多圈算法進行了不再依賴圖示的純程序運算改進.

分3種情況進行分析:

1)當θ0＜π時，第一類軌道Δv隨a的增大先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增，而第二類軌道則單調(diào)遞增，故多圈轉移時得到的2Nmax+1個a的解只需要比較第一類軌道a的所有解和第二類軌道a的最小解即可.

2)當θ0=π時，兩類軌道Δv隨a的增大先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增，故多圈轉移時得到的2Nmax+1個a的解只需要比較第一類軌道或第二類軌道a的最小解即可.也可將此情況并入θ0＜π或θ0＞π的計算中.

3)當θ0＞π時，第二類軌道 Δv隨a的增大先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增，而第一類軌道則單調(diào)遞增，故多圈轉移時得到的2Nmax+1個a的解只需要比較第二類軌道a的所有解和第一類軌道a的最小解即可.

定義tfN為N圈轉移(N≥0)時am對應的tf的值，tfminN為N圈(N≥1)轉移時tf的最小值，aminN為tfminN對應的a值，為N圈轉移(N≥0)時第一類軌道a，為N圈轉移(N≥0)時第二類軌道a，為N圈轉移(N≥0)時第一類軌道Δv，為N圈轉移(N≥0)時第二類軌道Δv.

r1、r2、tf和 θ0為已知條件.由 Lagrange 轉移時間方程的求導式計算aminN(N≥1)，以及其對應的tfminN.若tfminN＞tf，則N-1 為Nmax.若Nmax=0，則為單圈轉移;若Nmax＞0，則為多圈轉移.分多種情況進行討論，設計算法流程，見圖2.

可以看出，照上述算法編寫的Matlab程序可將解集中解的數(shù)量由2Nmax+1個減少為Nmax+1或Nmax+2個，提高了計算效率.

圖2 算法流程設計Fig.2 Algorithm flowchart

3 問題拓展

可將從共面圓軌道上兩固定點間的轉移推廣到兩動點空間交會.

若追蹤航天器和目標航天器分別以平均角速度n1和n2在半徑為r1和r2的圓軌道上同向運行，且r1≤r2.給定完成交會任務的總時間為T，但不限定追蹤航天器進行變軌的時機.在初始時刻t0，兩者的分離角為.要求在終點時刻te完成交會任務，即終點時分離角=0.可將交會過程劃分為3個階段，見圖3.

圖3 兩動點空間交會示意圖Fig.3 Sketch map of two moved points in space rendezvous

1)追蹤航天器在初始軌道的等待階段，時間為Δt1，Δt1=t1-t0，t1為追蹤航天器第一次變軌的時刻.Δv1為第一次變軌的速度改變量，Δ為第一次變軌的最大速度改變量.隨著兩航天器在各自軌道上的運行，兩者的分離角由θ*0逐漸變化，至t1時分離角為為整數(shù)，使得的范圍為［0，2π).

2)追蹤航天器在轉移軌道的轉移階段，時間為tf，tf=t2-t1，t2為追蹤航天器第二次變軌的時刻.Δv2為第二次變軌的速度改變量，為第二次變軌的最大速度改變量.隨著兩航天器在各自軌道上的運行，兩者的分離角由逐漸變化，至t2時分離角為n2tf-2kπ，k為整數(shù)，使得的范圍為［0，2π).

3)兩航天器在終端軌道的再等待階段，時間為Δt2，Δt2=te-t2.隨著追蹤航天器在t2時變軌，脫離轉移軌道進入終端軌道，與目標航天器交會，兩航天器在終端軌道繼續(xù)運行，分離角保持為0不變，直至te時任務完成.

在規(guī)定的時間內(nèi)完成交會，以推進劑消耗量最小為優(yōu)，忽略姿態(tài)控制所需的推進劑消耗量和攝動力對軌道精度的影響，只對二體問題建模如下:

可利用遺傳算法等多種智能算法對式(1)進行最優(yōu)化求解.單圈或者多圈問題函數(shù)作為內(nèi)層優(yōu)化的適應度函數(shù)，根據(jù)之前設計的算法編寫的Matlab程序可以直接調(diào)用.易知在T足夠大時，兩航天器會調(diào)相至滿足霍曼軌道轉移的條件，而當T不能滿足時，兩航天器也可以找到一條最優(yōu)或者較優(yōu)的多圈或者單圈轉移軌道.

4 算例驗證

算例1.選取文獻［5］中的多圈轉移算例，算例中為便于分析，將距離和時間歸一，分別計算了θ0＜π、θ0=π、θ0＞π 3種情況下的單圈和多圈轉移問題.計算機CPU為英特爾酷睿i5-4200M，計算耗時分別為 0.112 2 s，0.134 8 s，0.126 4 s，得到的結果與文獻中圖解法得到的一致，驗證了設計算法和編寫程序的正確性及高效性，見表1.結果顯示，在給定時間T允許的情況下，采用多圈Lambert轉移可能比單圈速度增量小得多.

算例2.霍曼轉移軌道是一條特殊的單圈轉移軌道，而單圈可以看作廣義多圈轉移軌道(N≥0)的子集，因此，針對多圈轉移設計的一般算法對兩者都是適用的.選取文獻［9］中的兩固定點間和兩動點間空間交會霍曼轉移例題.利用編寫的程序直接計算兩固定點間空間交會問題，霍曼轉移為原題結果，Lambert轉移為程序運行結果，結果一致，誤差在允許范圍之內(nèi)，見表2.

表1 算例1轉移軌道對比Tab.1 Contrast of transfer orbits in case 1

表2 算例2轉移軌道比較Tab.2 Contrast of transfer orbits in case 2

兩動點空間交會問題中，不限定完成交會任務的總時間.利用遺傳算法工具箱和編寫的程序，采用遺傳算法接力進化，即將本次進化結束后輸出的最終種群作為下一次輸入的初始種群，進化代數(shù)設定為120.由于工具箱封裝的特殊性，不便于直接計算大數(shù)目，故首先對算例中的軌道半徑和周期做歸一化處理:r1=0.155 8，r2=1，T1=0.061 5，T2=1.最終適應度隨進化代數(shù)變化，呈收斂趨勢，見圖4.得出的結果 Δt1=0.014 3，tf=0.217 4，Δv=8.040 8，經(jīng)過換算后，與文獻［9］中用霍曼轉移算法得出的一致，誤差在允許范圍之內(nèi)，見表2.結果表明，在給定完成任務的總時間足夠大的情況下，Lambert轉移軌道可調(diào)相至滿足霍曼轉移，以達到最優(yōu)化;兩動點空間交會模型是正確的，設計的算法是有效的.

圖4 適應度變化趨勢Fig.4 Range of fitness

5 結論

本文對多圈Lambert問題算法進行了改進，并利用改進后的結構化算法編寫了可以直接調(diào)用進行計算的Matlab程序.應用算例的運行結果與文獻中霍曼轉移和圖解法所得結果對比一致，驗證了程序運行的正確性和有效性.在兩固定點轉移的基礎上，還探討了空間交會時兩動點間的多圈轉移問題，建立了數(shù)學模型，并設計遺傳算法進行了計算，驗證了模型的正確性.Matlab程序的實現(xiàn)還可為進一步設計基于多圈轉移的自主任務規(guī)劃軟件提供必要的條件.下一步可將攝動力影響和轉移時航天器碰撞的可能性引入算法設計中，完善模型，提高計算精度.

參考文獻

［1］PRUSSING J E.A class optimal two-impulse rendezvous using multiple-revolution Lambert solutions［J］.Journal of the Astronautical Sciences，2000，48(2):17-39.

［2］SHEN H J，PANAGIOTIS T.Optimal two-impulse rendezvous using multiple-revolution Lambert solutions［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26(1):50-61.

［3］韓潮，謝華偉.空間交會中多圈Lambert變軌算法研究［J］.中國空間科學技術，2004，24(5):9-14.HAN C，XIE H W.Research on algorithm loopy Lambert transfer in space rendezvous［J］.Chinese Space Science and Technology，2004，24(5):9-14.

［4］唐國金，羅亞中，張進.空間交會對接任務規(guī)劃［M］.北京:科學出版社，2008:141-145.

［5］朱仁璋，蒙薇，胡錫婷.航天器交會中的Lambert問題［J］.中國空間科學技術，2006，26(6):49-55.ZHUR Z，MENG W，HU X T.Lambert's problem in spacecraft rendezvous［J］.Chinese Space Science and Technology，2006，26(6):49-55.

［6］朱仁璋，蒙薇.航天器交會兩點邊界值問題［J］.宇航學報，2006，27(6):1182-1186.ZHU R Z，MENG W.Two point boundary value problem in space rendezvous［J］.Journal of Astronautics，2006，27(6):1182-1186.

［7］歐陽琦，趙勇，陳小前.共面軌道航天器在軌服務任務規(guī)劃［J］.中國空間科學技術，2010，30(1):34-40.OUYANG Q，ZHAO Y，CHEN X Q.Programming of onorbit service mission for multiple object spacecraft in coplanar circular orbits［J］.Chinese Space Science and Technology，2010，30(1):34-40.

［8］譚麗芬，閆野，周英，等.航天器交會中的Lambert問題研究［J］.國防科技大學學報，2010，32(5):12-16.TAN L F，YAN Y，ZHOU Y，et al.Research on multiplerevolution Lambert problem in spacecraft rendezvous［J］.Journal of National University of Defense Technology，2010，32(5):12-16.

［9］SELLERSJ J，ASTORE W J，GIFFEN R B，et al.理解航天:航天學入門［M］.張海云，李俊峰，譯.北京:清華大學出版社，2007:209-212.