翟子勝姜 南

1）天津大學建筑工程學院，天津 300072

2）濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072

地震作用下非對稱結構平動-扭轉耦合振動的半主動控制1

翟子勝1)姜 南1,2)

1）天津大學建筑工程學院，天津 300072

2）濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072

本文采用半主動控制方法對非對稱結構在地震作用下的平動-扭轉耦合振動控制進行了研究。首先建立了非對稱結構的平動-扭轉耦合振動方程和狀態(tài)空間方程；然后以磁流變（MR）阻尼器為控制裝置，結合線性二次型最優(yōu)控制、最優(yōu)控制算法和限幅控制策略，提出了基于MR阻尼器的半主動控制方法；最后對半主動控制方法對非對稱結構地震反應的控制效果進行了計算分析。結果表明，半主動控制方法可以對非對稱結構的水平位移、扭轉位移和加速度反應都產生明顯的控制效果，適當下調控制力需求時，不會導致控制效果的等比下降，降低MR阻尼器可調控制力上限后，可以減小阻尼器尺寸，便于其在工程實際中的應用。

非對稱結構 平動-扭轉耦合振動 半主動控制 狀態(tài)空間 控制策略

引言

由于建筑結構的質量中心和剛度中心往往并不重合，所以結構在地震作用下除發(fā)生平動外，還會出現扭轉，即產生平動-扭轉耦聯的振動反應。為了減輕結構的地震反應，除了通過增加結構自身剛度、強度和延性的傳統(tǒng)抗震方法外，還可以通過對結構設置控制裝置來消耗、吸收結構的振動能量。本文采用剪切型平扭模型，建立了結構的平扭耦聯微分方程，同時采用Matlab軟件描述結構的狀態(tài)空間模型，取El Centro波和Tianjin波作為地震激勵，分別對多層偏心結構的自由振動、在地震激勵下的振動和在地震激勵作用下的受控狀態(tài)進行時程分析，對地震作用下非對稱結構平動-扭轉耦合振動的半主動控制效果進行了研究。

1 簡化模型及計算假定

非對稱結構在地震作用下會發(fā)生平動與扭轉的耦合振動反應，即各樓層在自身所在平面內發(fā)生整體的平移和轉動，其簡化模型可以采用串聯的剛片模型（幕朝輝，2003；李宏男等，2008），如圖1所示，并服從如下假定（熊麗，2011）：

圖1 非對稱結構模型Fig. 1 Irregular structure

（1）結構各層的質量和轉動慣量都集中于各樓層處；

（2）樓板在其自身平面內剛度無限大，而平面外剛度很小，可以忽略不計；

（3）結構每層有三個自由度，即沿x軸和y軸的兩個平動自由度，以及繞豎軸轉動的一個自由度；

（4）結構各層的質心和剛心分別位于兩根不重合的豎軸上，兩軸之間的距離為結構質量中心與剛度中心的距離，即靜力偏心距es；

（5）地震輸入僅考慮x和y兩個水平方向，不考慮垂直、扭轉和搖擺分量。

2 非對稱結構的平動-扭轉動力方程（吳學淑，2008；黃大宇，2009）

層數為n的非對稱結構，其平動-扭轉耦合振動下的動力方程為：式中，質量矩陣為[m]n×n=diag(m1,…,mi,…,mn)，mi為結構第i層的集中質量；轉動慣量矩陣為[Iz]n×n=diag(I1,…,Ii,…,In)，Ii為第i層相對豎向軸的轉動慣量；平動剛度矩陣為[ky]n×n，其第i行i列元素為ky,i+ky,i+1，與該元素左右相鄰的元素分別為?ky,i和?ky,i+1，ky,i為第i層在y向的水平剛度；扭轉剛度矩陣為[kθ]n×n，其第i行i列元素為(kθ,i+kθ,i+1)+(ky,i+ky,i+1)es2，與該元素左右相鄰的元素分別為?kθ,i?ky,i和?kθ,i+1?ky,i+1，kθ,i為第i層繞z軸的扭轉剛度；扭轉引起的平動附加剛度矩陣為[kyθ]n×n，其第i行i列元素為?(ky,i+ky,i+1)es，與該元素左右相鄰的元素分別為ky,ies和ky,i+1es；{y}和{θ}分別為結構的平動位移和扭轉位移；i=1,2,…,n 。

在動力方程（1）中，加入地震和控制力對結構的作用，并考慮結構的阻尼影響，得到非對稱結構在地震和控制力作用下的動力方程為：

式中，[Hy]n×n和[Hθ]n×n為控制力位置矩陣，[Hy]n×n中主對角線元素均為1，主對角線元素右側的元素都為-1，[Hθ]n×n中主對角線元素均為es，主對角線元素右側的元素都為-es；{u}={u1,…,ui,…,un}T為控制力向量；In×1為元素均為1的列向量。

3 非對稱結構的振動控制系統(tǒng)

結構振動控制（滕軍，2009；胡鵬等，2008）是通過安裝在結構適合部位控制裝置的控制力輸出，使結構的振動反應被限制在容許的范圍內，達到減小或抑制結構在強風、地震或其它荷載下的動力響應的目的。

控制裝置對結構施加的控制力需要通過某種控制算法（唐玉果等，2008；盧輝等，2012）進行計算，控制算法則需要在滿足結構狀態(tài)方程和各種約束條件的情況下，通過選擇合適的增益矩陣和控制參數，使整個控制系統(tǒng)達到較好的性能指標，實現對結構的最優(yōu)控制。本文采用的控制算法為線性二次型最優(yōu)控制（LQR）算法（李秀領等，2010），采用的控制裝置為磁流變（MR）阻尼器（李秀領等，2004），其相應的限幅控制策略為：

式中，F為單個控制裝置的控制力輸出；Fmax和Fmin分別為控制裝置的最大和最小控制力輸出限制；Fop為最優(yōu)控制算法計算得到的最優(yōu)控制力。

4 算例分析

算例為10層單向偏心的框架結構模型，樓層平面布置如圖2所示。樓層簡化為矩形板，x向長18m，y向寬12m，各層的集中質量為1.35×106kg，各層相對質心的轉動慣量為2×108kg·m2，層間抗側剛度為5×108N/m，層間抗扭剛度為1×1011N·m/rad。各層的質量中心位于該層樓板的形心處，剛度中心與質量中心只存在x向的偏心。選取El Centro波和Tianjin波作為地震激勵，加速度峰值調整至0.30g。結構每層安裝磁流變阻尼器，阻尼器出力方向為樓層的寬度方向，結構各層的相對運動使MR阻尼器產生控制力，以達到控制結構地震反應的目的。考慮到MR阻尼器的實際出力狀態(tài)、出力范圍以及控制裝置的實際尺寸限制，將阻尼器的最大出力取為LQR算法計算出的最優(yōu)控制力的50%。

圖2 平面布置圖Fig. 2 Layout of structure

不同地震作用下的結構控制效果如表1和2所列。表中D-P和D-rms分別表示樓層在質心處的層間水平位移峰值和層間水平位移均方根值；A-P和A-rms分別表示樓層在質心處的絕對加速度峰值和絕對加速度均方根值；θ -P和θ -rms分別表示層間的相對轉角峰值和相對轉角均方根值；De-P和De-rms分別表示樓層邊跨中點處的層間位移峰值和層間位移均方根值。

表1 0.30g El Centro波激勵下半主動控制方法對結構的控制效果Table 1 Control effect of a structure with the semi-active control method under 0.30g El Centro wave

續(xù)表

表2 0.30g Tianjin波激勵下半主動控制方法對結構的控制效果Table 2 Control effect of a structure the semi-active control method under 0.30g Tianjin wave

圖3 0.30g El Centro波激勵下結構頂層位移和加速度的時程對比曲線Fig. 3 Comparison of time history curves of displacement and acceleration in the top floor under 0.30g El Centro wave

圖4 0.30g Tianjin波激勵下結構頂層位移和加速度的時程對比曲線Fig. 4 Comparison of time history curves of displacement and acceleration in the top floor under 0.30g Tianjin wave

從表1和表2及圖3和圖4可以看出，雖然半主動控制方法中MR阻尼器的最大控制力限值只取控制力需求值的50%，但對結構的控制效果卻沒有等比下降。半主動控制方法對結構在不同地震作用下的位移反應和加速度反應有較好的控制效果。半主動控制方法對結構底部水平位移峰值的控制效果優(yōu)于對頂部的控制效果，對結構底部邊跨中點處的水平位移峰值控制效果也優(yōu)于對頂部的控制效果；半主動控制方法對結構底部水平加速度峰值的控制效果較小，對頂部的控制效果稍好，且對不同的地震波輸入控制效果也有所差異；半主動控制方法對結構層間轉角峰值的控制效果較為穩(wěn)定，兩種地震波下分別為30%左右和20%左右；相較于對結構反應峰值的控制效果，對結構反應均方根值的控制效果各層的差異更小也更穩(wěn)定。

5 結論

本文以MR阻尼器作為控制系統(tǒng)采用的半主動控制裝置，對地震作用下結構的平動-扭轉耦合振動的半主動控制進行了計算分析，得到如下結論：

（1）當靜力偏心距的存在引起非對稱結構發(fā)生平動-扭轉耦合振動反應時，半主動控制方法對結構的水平位移、扭轉位移和加速度反應都有明顯的控制效果，對結構反應均方根值的控制效果更為穩(wěn)定。

（2）半主動控制方法可以較大程度的實現最優(yōu)控制方法對非對稱結構平動-扭轉耦合振動反應的控制效果，當適當下調半主動控制方法中與最優(yōu)控制算法對應的控制力需求時，控制效果仍然比較理想，并不會導致控制效果的等比下降。

（3）在保證控制效果不顯著降低的情況下，可以在限幅控制策略中減小MR阻尼器的控制力限值，降低MR阻尼器的控制力可調上限，使阻尼器裝置的實際尺寸明顯減小，更利于其在工程實際中的應用。

黃大宇，2009．結構振動控制的研究進展與展望．中原工學院學報，20（4）：43—46．

胡鵬，劉麗，2008．建筑結構振動控制概述．科學之友，8（2）：2—6．

李宏男，霍林生，2008．結構多維減震控制．北京：科學出版社．

李秀領，李宏男，2004．磁流變阻尼器結構控制策略研究進展．防災減災工程學報，24（3）：335—342．

李秀領，蔣愛玲，2010．基于結構扭轉反應控制的MR阻尼器位置研究．山東建筑大學學報，25（3）：5—9．

盧輝，王海青，2012．基于線性二次型最優(yōu)控制在結構振動控制中的研究．科技廣場，（1）：16—20．

幕朝輝，2003．不規(guī)則高層建筑結構抗震分析．西南交通大學．

滕軍，2009．結構振動控制的理論、技術和方法．北京：科學出版社．

唐玉果，鄧雪松，周云，2008．地震作用下偏心結構扭轉控制的研究與應用．工程抗震與加固改造，30（2）：1—8．

吳學淑，2008．平面不對稱高層建筑結構利用速度型阻尼器減震控制的研究．同濟大學．

熊麗，2011．平面不規(guī)則框架結構基于粘滯阻尼器的扭轉減振控制．重慶大學．

Semi-Active Control for Irregular Structures with Translation-Torsion Coupling Response under Earthquake Loading

Zhai Zisheng1)and Jiang Nan1,2)

1) School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China
2) Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety of Ministry of Education, Tianjin 300072, China

In this paper, we studied the control effect of irregular structures with translation-torsion coupling response under earthquake loading by using semi-active control method. Firstly, we established the translation-torsion coupling response equations and state space equation. Then, we proposed the semi-active control method based on magnetorheological (MR) damper being control device, combining with the linear quadratic optimal control algorithm and limiting control strategy. Finally, we calculated and analyzed the effect of the semi-active control method of irregular structures with seismic response. The results show that with the semi-active control method, the control effect of the irregular structures’ horizontal displacement and torsional displacement and acceleration response are obvious. Appropriate control demand reduction will not lead to geometric decline in control effect. And lowering adjustable control limit of MR damper can reduce the size of the damper, supporting its application in engineering practice.

Irregular structures; Translation-torsion coupling response; Semi-active control; State space; Control strategy

翟子勝，姜南，2014．地震作用下非對稱結構平動-扭轉耦合振動的半主動控制．震災防御技術，9（3）：462—467．

10.11899/zzfy20140313

國家自然科學基金青年科學基金項目（51208356）

2014-01-24

翟子勝，男，生于1988年。碩士，就讀于天津大學建筑工程學院。E-mail：zzisheng@tju.edu.cn

姜南，男，生于1980年。副教授，博士。主要從事建筑結構動力分析與振動控制研究。E-mail：jiangnan@tju.edu.cn