黃榮勝

(福建省將樂縣水南中學(xué)，福建將樂，353300)

哪來的14元?
——中學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)期望”教學(xué)芻議

黃榮勝

(福建省將樂縣水南中學(xué)，福建將樂，353300)

作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想之一的“概率”，在初中階段已有明確的學(xué)習(xí)要求，但與之關(guān)聯(lián)的“數(shù)學(xué)期望”則往往容易為教師所忽視。教師在概率教學(xué)中順?biāo)浦?，進(jìn)行引申，將更有助于學(xué)生對(duì)概率的掌握以及相應(yīng)問題的解答。

概率；數(shù)學(xué)期望；教學(xué)反思

“概率”作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想之一，在初中階段已有明確的學(xué)習(xí)要求:了解概率的含義，能夠借助概率模型或通過設(shè)計(jì)活動(dòng)解釋一些事件發(fā)生的概率。(《2013年福建省初中學(xué)業(yè)考試大綱》)與之關(guān)聯(lián)的“數(shù)學(xué)期望”則往往容易為教師所忽視，究其原因在于大綱中并未要求。其實(shí)，教師若能在教學(xué)中順?biāo)浦?，作些引申，?shì)必更有助于學(xué)生對(duì)概率的掌握以及相應(yīng)問題的解答。

一、問題情境

某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(如下圖)，并規(guī)定:顧客每購(gòu)買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)。如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券，憑購(gòu)物券可以在該商場(chǎng)繼續(xù)購(gòu)物。如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購(gòu)物券10元。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，你認(rèn)為哪種方式對(duì)顧客更合算?(北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第四章2哪種方式更合算)

當(dāng)教師展示完題目，學(xué)生幾乎異口同聲地答道:“直接獲得購(gòu)物券。”這在教師意料之中，或者說，是學(xué)生想當(dāng)然的一種反映。當(dāng)教師告訴他們:“你們錯(cuò)了!”學(xué)生的愕然可想而知。

眾所周知，數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)生活，但又高于現(xiàn)實(shí)生活，盡管它可以反過來解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象。不過，不經(jīng)思考、分析，尤其是未能把當(dāng)前的問題情境與已有知識(shí)聯(lián)系起來思考，困惑則毋庸置疑。

教師可以先引導(dǎo)學(xué)生讀教材，看看書中的解答。

小亮認(rèn)為，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲得購(gòu)物券金額的平均數(shù)是:100×5%＋50×10%＋20×20%＝14元。

14元大于10元，這是小學(xué)一年級(jí)學(xué)生都明白的事實(shí)。問題在于，轉(zhuǎn)盤中不會(huì)直接出現(xiàn)14元，那么，這14元又是從哪來的呢?小亮的解答對(duì)嗎?為什么?

二、解決策略

該問題情境涉及的正是數(shù)學(xué)期望方面的知識(shí)。不過，這需要教師從學(xué)生已學(xué)習(xí)過的算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的推廣公式等知識(shí)點(diǎn)切入。

首先，算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算。

例:小明在初二(上)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)分別為:平時(shí)測(cè)驗(yàn)92分，期中考試90分，期末考試88分，則小明該學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是_______分。

其次，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)推廣公式:x＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn，其中x1，x2，…，xn為各組數(shù)據(jù)，f1，f2，…，fn為各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，f1＋f2＋…＋fn＝1。

例:小明在初二(上)各次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為:92分2次，90分1次，88分3次，則小明該學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是________分。

運(yùn)用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的推廣公式，容易解答類似下列問題:

例:小明在初二(上)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)分別為:平時(shí)測(cè)驗(yàn)92分，期中考試90分，期末考試88分，如果按照平時(shí)、期中、期末成績(jī)所占的權(quán)重分別為10%、30%、60%，則小明該學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是_______分。

借助公式，很快得出:x＝92×10%＋90×30%＋88 ×60%＝89。

掌握了加權(quán)平均數(shù)的推廣公式，要解決上述問題情境中的疑惑也就并非難事了。其實(shí)，在小亮的解答(100×5%＋50×10%＋20×20%＝14)中，省略了部分內(nèi)容，完整過程應(yīng)該如下:

運(yùn)用計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的推廣公式，得到: 100×5%＋50×10%＋20×20%＋0×65%＝14(元)。

每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲得購(gòu)物券金額的平均數(shù)14元，是轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤最有可能獲得的金額數(shù)，所以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤更合算。這里的平均數(shù)14元，也稱為轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤實(shí)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)期望，顧名思義，就是顧客轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤最期待、最希望獲得的獎(jiǎng)券金額。

三、教學(xué)反思

看來，“數(shù)學(xué)期望”并不神秘，其實(shí)，它原本即來自生活。

據(jù)說，有一天，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡遇到兩個(gè)賭徒，他們向他提出了這樣一個(gè)問題:兩人下賭注后，約定誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就可獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時(shí)間很晚了，兩人都不想再賭下去。那么，這個(gè)錢該如何分?

賭徒A認(rèn)為:把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份。

賭徒B認(rèn)為:因?yàn)樽钤缯f好的是誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就可獲得全部賭金。現(xiàn)在，誰(shuí)也沒達(dá)到，所以就一人分一半。

兩人各持己見，誰(shuí)也無法說服誰(shuí)，于是找到了帕斯卡。帕斯卡經(jīng)過一番思考，提出解決方案:贏了4局的拿這個(gè)錢的3/4，贏了3局的拿這個(gè)錢的1/4。理由是:假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏，就贏滿了5局，錢應(yīng)該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個(gè)錢應(yīng)該對(duì)半分?，F(xiàn)在，A贏、輸?shù)目赡苄远际?/2，所以，他拿的錢應(yīng)該是1/2×1＋1/2×1/2＝3/4，當(dāng)然，B就應(yīng)該得1/4。

賭徒賭博，最期待的是什么?在公平的情況下，那就是贏錢的可能性越大越好，數(shù)學(xué)期望之名由此而來。

教學(xué)，顧名思義乃教師的教與學(xué)生的學(xué)之間的互動(dòng)，教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)的主動(dòng)性上。為此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)在了解學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，以做到有的放矢。上述問題情境中，學(xué)生想當(dāng)然的結(jié)果與真實(shí)答案之間的不一致成為激發(fā)他們學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)他們積極求知的動(dòng)力。教師可以領(lǐng)著學(xué)生通過回顧平均數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，將其與當(dāng)前問題情境聯(lián)系起來，以便學(xué)生對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知。

平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)。解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)”。在統(tǒng)計(jì)工作中，平均數(shù)(均值)和標(biāo)準(zhǔn)差是描述數(shù)據(jù)資料集中趨勢(shì)和離散程度的兩個(gè)最重要的測(cè)度值。這在小學(xué)階段已有所接觸，初中階段則更進(jìn)一步。

離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值xi(i＝1，2，…，n)與對(duì)應(yīng)的概率pi(i＝1，2，…，n)的乘積之和稱為該離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)。數(shù)學(xué)期望是最基本的數(shù)學(xué)特征之一，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，又稱期望或均值。如果隨機(jī)變量只取有限個(gè)值，它是簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的一種推廣，類似于上述中的加權(quán)平均數(shù)的推廣公式，pi(i＝1，2，…，n)等同于fi(i＝1，2，…，n)，E(x)等同于x，區(qū)別在于把頻率看成概率。盡管這是高中階段的內(nèi)容，但不妨礙學(xué)生深化對(duì)平均數(shù)的認(rèn)知。

事實(shí)上，作為一門尤其注重邏輯性的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)的各部分之間原本環(huán)環(huán)相扣，因此，教材中出現(xiàn)的部分內(nèi)容，看似無關(guān)，顯示無理，就更需要教師深入研究、探討，找出知識(shí)生成的脈絡(luò)，由淺入深，逐步引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。換句話說，熟知教材，強(qiáng)化教師個(gè)人的知識(shí)儲(chǔ)備與分析解決問題的能力以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的把握是首要的。

[1] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 覃光蓮.數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法探討[J].高等理科教育，2006(10).

G633.62

A

2095－3712(2014)12－0063－03

黃榮勝(1972—)，男，本科，福建將樂人，將樂縣水南中學(xué)一級(jí)教師。