摘 要：針對一類具有離散時滯和參數(shù)范數(shù)有界的不確定性中立神經(jīng)網(wǎng)絡的全局漸近魯棒穩(wěn)定性問題，通過應用范數(shù)和矩陣不等式分析方法，構造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了新的與時滯無關的穩(wěn)定性充分條件。該條件能夠保證離散時滯中立神經(jīng)網(wǎng)絡在平衡點全局漸近魯棒穩(wěn)定。與現(xiàn)有文獻中大多數(shù)LMI形式的穩(wěn)定性準則不同，該穩(wěn)定性判定準則中未知參數(shù)少且計算復雜度低，易于計算驗證。最后，一個仿真算例驗證了結論的有效性。

關鍵詞：中立神經(jīng)網(wǎng)絡；魯棒穩(wěn)定性；離散時滯；范數(shù)有界；李雅普諾夫泛函

中圖分類號：TP183

近年來，各種類型的神經(jīng)網(wǎng)絡已經(jīng)廣泛應用于許多實際工程問題，如信號與圖像處理、模式識別、聯(lián)想記憶、并行計算和優(yōu)化與控制等[1-3]。在這些應用中，神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為是非常重要的。眾所周知，許多實際系統(tǒng)的數(shù)學模型中均含有時滯的現(xiàn)象，如在模擬神經(jīng)網(wǎng)絡電路實現(xiàn)中，由于運放器的開關速度限制會產生時滯，神經(jīng)網(wǎng)絡中的軸突信號傳輸延遲也會產生時滯。當在模型中引入時滯后，它將影響軸突信號傳輸率下降，進而導致失穩(wěn)。因此，在神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性分析中時滯是不可或缺的。近來的文獻中，已經(jīng)有很多利用各種分析和不等式方法，研究了不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡，得到了一些時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性結果[4-7]。事實上，為了精確描述神經(jīng)網(wǎng)絡的平衡和穩(wěn)定屬性，前一個狀態(tài)的時間導數(shù)信息的必須引入神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)方程，即中立神經(jīng)網(wǎng)絡，這種神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性研究已經(jīng)有許多的結果，包括離散時滯、分布時滯以及變時滯[8-11]。

另一方面，在很多實際的系統(tǒng)中，如在物理電路和生物系統(tǒng)中，隨機干擾在動力系統(tǒng)中起著非常重要的作用。那么由于隨機因素客觀存在于實際過程中，確定性系統(tǒng)建模的只能描述實際過程動態(tài)特性的某種近似。顯而易見，利用確定性系統(tǒng)理論的系統(tǒng)建模方法對某些系統(tǒng)實行的描述常常會嚴重背離所期望的效果。為了抵消這些不確定因素的影響，必須將系統(tǒng)描述為不確定系統(tǒng)。

本文將在Lipschitz連續(xù)的激活函數(shù)條件下，研究參數(shù)范數(shù)有界不確定的離散時滯中立神經(jīng)網(wǎng)絡的魯棒穩(wěn)定性問題。應用范數(shù)分析方法，構造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函并考慮參數(shù)范數(shù)有界不確定，研究新的穩(wěn)定性判定準則，用以保證離散時滯中立神經(jīng)網(wǎng)絡在平衡點是全局漸近魯棒穩(wěn)定的。與現(xiàn)有文獻中穩(wěn)定性準則絕大多數(shù)使用LMI形式[5，7，8，10，13]相比，本文的準則未知參數(shù)少且計算復雜度底，更加易于驗證。

在本文中，用Rn表示n維歐幾里德空間；對任意p=（pij）n*n，p>0表示p是對稱正定矩陣；pT，p-1，λm（p），λM（p）分別代表P的轉置、P的逆、P的特征值的最小值和P的特征值的最大值；矩陣的范數(shù)‖P‖2=[λM（PTP）]1/2；對于向量 ， 。

1 系統(tǒng)模型及引理

考慮以下一類具有離散時滯的中立神經(jīng)網(wǎng)絡模型：

（1）

其中n 是神經(jīng)元數(shù)目，xi是第i個神經(jīng)元狀態(tài)；參數(shù)ci為常數(shù)；αij表示神經(jīng)網(wǎng)絡中神經(jīng)元之間的互連權值；τj為時滯；bij表示在具有時滯τj的情況下神經(jīng)元之間的互連權值；eij表示時滯狀態(tài)的時間導數(shù)的系數(shù)；fj（·）表示神經(jīng)元的激活函數(shù)；常數(shù)ui表示外部輸入。在系統(tǒng)（1）中，τj≥0表示時滯參數(shù)τ滿足τ=max（τj），1≤j≤n。系統(tǒng)（1）的初始條件為： ，其中 表示從[-τ，0]到R的連續(xù)函數(shù)集。

假設1 考慮系統(tǒng)模型參數(shù)的不確定性，假設系統(tǒng)（1）中ci，αij，bij，eij和τj是范數(shù)有界且滿足

（2）

假設2 系統(tǒng)（1）中的激活函數(shù)fj（），i=1，2，…，n是Lipschitz連續(xù)，即存在 使得

（3）

接下來，系統(tǒng)模型（1）寫成矩陣向量形式，如下

（4）

其中 A=（aij）n×n，B=（bij）n×n，

E=（bij）n×n，C=diag（ci>0），u=（u1，u2，…，un）T，

f（x（t））=（f1（x1（t）），f2（x2（t）），…，fn（xn（t）））T，

f（x（t-τ））=（f1（x1（t-τ1）），f2（x2（t-τ2）），…，fn（xn（t-τn）））T.

為了求得結果，將使用下列1個事實和4個引理。

事實1 如果W=（Wij）和V=（Vij）滿足式（2）且范數(shù)有界，則存在正常數(shù)σ（W）和σ（V）使得||W||2≤σ（W）和||V||2≤σ（V）。

引理1[12] 對W∈W1：=

下列不等式成立：

其中

引理2[13] 對W∈W1：=

下列不等式成立：

σ2（W）=||W*||2+||W*||2

其中

引理3[14] 對W∈W1：=

下列不等式成立：

其中

引理4[15] 對W∈W1：=

下列不等式成立：

其中

2 穩(wěn)定性分析

為了簡化證明過程，通過變換z（t）=x（t）-x*，轉移中立神經(jīng)網(wǎng)絡（1）的平衡點到新系統(tǒng)的原點，得到以下系統(tǒng)模型：

（5）

寫成矩陣向量形式，如下

（6）

其中 是轉換后神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)向量， g（z（t））=g1（z1（t）），g2（z2（t）），…，gn（zn（t）））T，和表示新的非線性激活函數(shù)。式（5）中的激活函數(shù)gi（zi（t））滿足

（7）

以下將導出主要的穩(wěn)定性結果。

定理1 對于中立神經(jīng)網(wǎng)絡（5），讓||E||2<1和激活函數(shù)滿足（7）。如果存在正定對角矩陣H、D及正定矩陣P，Q，R，使得下式成立，那么系統(tǒng)（5）的原點是全局漸近魯棒穩(wěn)定的：

γ1=||C||2-||P||2-||Q||2-||H||2-σ2（C）||R-1||2>0，

γ2=||C||2||L-2||2-||D||2-σ2（A）||P-1||2-σ2（A）||R-1||2>0， （8）

γ3=||D||2-σ2（B）||Q-1||2-σ2（B）||R-1||2>0，

γ4=||H||2-3σ2（E）||R||2>0，

其中

證明 構造如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

（9）

其中hi和di，i=1，2，…，n是正常數(shù)。

沿著系統(tǒng)（5）解的軌跡，對V（z（t））求時間的導數(shù)：

（10）

由于 ，則有

（11）

另有下列不等式：

2zT（t）Ag（z（t））≤zT（t）Pz（t）+gT（z（t））ATP-1Ag（z（t））

≤||P||2||z（t）||22-||A||22||P-1||2||g（z（t））||22

（12）

2zT（t）Bg（z（t-τ））≤zT（t）Qz（t）+gT（z（t-τ））BTQ-1Bg（z（t-τ））

≤||Q||2||z（t）||22+||B||22||Q-1||2||g（z（t-τ））||22

（13）

-2zT（t-τ）ETCz（t）≤zT（t-τ）ETREz（t-τ）+zT（t））CTR-1Cz（t）

≤||E||22||R||2||（z（t-τ）||22+||C||22||R-1||2||z（t）||22

（14）

2zT（t-τ）ETAg（z（t））≤zT（t-τ）ETREz（t-τ）+gT（z（t））ATR-1Ag（z（t））

≤||E||22||R||2||（z（t-τ）||22+||A||22||R-1||2||g（z（t））||22，

（15）

2zT（t-τ）ETBg（z（t-τ））≤zT（t-τ）ETREz（t-τ）+gT（z（t-τ））BTR-1Bg（z（t-τ））

≤||E||22||R||2||（z（t-τ）||22+||B||22||R-1||2||g（z（t-τ））||22

（16）

其中P，Q，R是正定矩陣。

根據(jù)式（7）有

zT（t）Cz（t）≥gT（z（t））CL-2g（z（t）） （17）

將（12）-（17）代入（11），可得：

（18）

由事實1和引理1-引理4，

||A||2≤σ（A），||B||2≤σ（B），||C||2≤σ（C），||E||2≤σ（E）

，則有

（19）

即

（20）

等于

（21）

顯然，如果z（t），g（z（t-τ）），gT（z（t））和z（t-τ）中任意一個向量非零，則γ1>0，γ2>0，γ3>0，和γ4>0，就能保證 。當且僅當在系統(tǒng)（5）的原點有，z（t）=z（t-τ）=g（z（t-τ））=g（z（t））=0，則 。另外，V（z（t））→∞as||z（t）||2→∞意味著用于穩(wěn)定性分析的Lyapunov泛函是徑向無界的。因此，可以從標準的Lyapunov穩(wěn)定性理論得出結論：系統(tǒng)（5）的原點（等價于系統(tǒng)（1）的平衡點）是全局漸近魯棒穩(wěn)定的。定理1證明完畢。

選擇定理1中的H，D，P，Q和R，令H=hI，D=dI，P=pI，Q=qI和R=rI，我們能得到以下推論1。

推論1 對于中立神經(jīng)網(wǎng)絡（5），讓||E||2<1和激活函數(shù)滿足（7）。如果存在正常數(shù)h，d，p，q及r，使得下式成立，那么系統(tǒng)（5）的原點是全局漸近魯棒穩(wěn)定的：

（22）

其中

3 仿真示例

在本節(jié)，將用一個仿真算例說明所得結論的有效性。

例1 考慮具有離散時滯和范數(shù)有界不確定性的中立神經(jīng)網(wǎng)絡模型系統(tǒng)（5），其參數(shù)為

其中χ>0是一個實數(shù)。

計算矩陣A*，A*，B*和B*，有

那么，有

σ21（A*）=|||A*TA*|+2|A*T|A*+A*TA*||2=105.3505χ2，

σ22（A）=（||A*||2+||A*||2）=98.3826χ2，

σ23（A）=||A*||22+||A*||22+2||A*T|A*|||2=95.4366χ2，

因為σ（A）=min﹛σ1（A），σ2（A），σ3（A），σ4（A）﹜，

可得σ2（A）=95.4366χ2。同理，計算得σ2（B）=95.4366χ2，σ2（C）=4。

由推論1，令||E||2，r，h，為極小值，d=1，p=q，則有

聯(lián)立上述4項必要條件，可得95.4366χ2≤1，即χ≤0.1024。因此，根據(jù)推論1，如果選擇χ≤0.1024，推論1中的穩(wěn)定性條件就能滿足，那么就能判定系統(tǒng)（5）的平衡點是全局漸近魯棒穩(wěn)定的。

接下來，考慮本例中的一種特殊情況，將給出可視化的模擬結果。令χ=0.08（滿足χ≤0.1024），則有

選擇

使用Matlab模擬，結果如圖1所示，可以看出系統(tǒng)（5）經(jīng)過一段時間后收斂于平衡點。

圖1

系統(tǒng)（5）的x（t）軌跡（初始狀態(tài)x（0）=[0.4 -0.2]、激活函數(shù)f（x（t））=tanh（x（t））

4 結束語

本文得到了一個有關具有離散時滯和參數(shù)范數(shù)有界的不確定性中立神經(jīng)網(wǎng)絡的全局漸近魯棒穩(wěn)定性的新結果。通過將神經(jīng)網(wǎng)絡模型中的參數(shù)不確定性轉化為范數(shù)有界問題，并利用矩陣不等式分析方法，構造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了新的與時滯無關的穩(wěn)定性判定準則，能夠保證該類離散時滯中立神經(jīng)網(wǎng)絡在平衡點全局漸近魯棒穩(wěn)定。與現(xiàn)有文獻中大多數(shù)LMI形式的穩(wěn)定性準則不同，該穩(wěn)定性判定準則中未知參數(shù)少且計算復雜度低，易于計算驗證。最后，一個數(shù)值仿真算例驗證了穩(wěn)定性判定準則的有效性。在后續(xù)的研究工作中，將進一步研究具有變時滯的范數(shù)有界不確定神經(jīng)網(wǎng)絡的全局漸近魯棒穩(wěn)定性問題。

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作者簡介：吳海霞（1979-），女，山東臨清人，博士后，副教授，美國IEEE會員，中國計算機學會會員。研究方向：神經(jīng)網(wǎng)絡、基因調控網(wǎng)絡動力學行為。

作者單位：重慶大學自動化學院，重慶 400044；重慶第二師范學院數(shù)學與信息工程系，重慶 400065

基金項目：中國國家自然科學基金（項目編號：61103211），重慶市博士后基金（項目編號：XM201310）。