摘 要：文章針對(duì)傳統(tǒng)的求曲線上點(diǎn)的插值法和冪基法的不足之處，提出了借鑒Berstein基函數(shù)求曲線上點(diǎn)的幾何算法，并研究了如何將該方法用迭代算法來書寫。采用了matlab編程的方法求解了一條平面曲線上指定的點(diǎn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該算法能夠比較精確地求出曲線上的點(diǎn)，比用通常的冪基函數(shù)的方法更簡(jiǎn)單，且對(duì)舍入誤差不敏感；更重要的是易在計(jì)算機(jī)上用matlab編程實(shí)現(xiàn)，且具有較強(qiáng)的幾何風(fēng)格；但是該算法的計(jì)算效率稍差。因此在對(duì)計(jì)算效率要求不是很高的情況下，可以考慮用該幾何迭代算法來彌補(bǔ)傳統(tǒng)的求曲線上點(diǎn)的方法的不足之處。

關(guān)鍵詞：Bernstein基函數(shù)；升階逼近；Bezier曲線；幾何迭代算法

中圖分類號(hào)：TP18

在自然科學(xué)的研究中，曲線的表示理論及其應(yīng)用已經(jīng)滲透到許多領(lǐng)域內(nèi)，如解決數(shù)學(xué)物理方程、差分方程、幾何造型等問題。工程設(shè)計(jì)中的某些臨界值問題、造船工業(yè)、航空工業(yè)和汽車制造工業(yè)中經(jīng)常遇到的幾何外形設(shè)計(jì)問題等[1]都涉及到曲線曲面等的表示問題。曲線上點(diǎn)的求解是我們需要經(jīng)常面對(duì)的重要問題，它的計(jì)算常用的方法有插值法和冪基法。其中，插值法是通過將要求的曲線表示為一系列插值基的線性組合的形式，主要的方法有Newton插值法、Hermite插值法等[2-3]；冪基法是直接對(duì)傳統(tǒng)的基函數(shù)進(jìn)行處理，通過變換，使之變?yōu)檩^容易求的原曲線對(duì)應(yīng)新曲線的相應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而利用新曲線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)去求原曲線上所要求的點(diǎn)。然而，這幾種方法都有如下幾個(gè)方面的缺點(diǎn)[4-5]：

（1）用于形狀設(shè)計(jì)時(shí)不夠自然，系數(shù)只能傳遞很少的關(guān)于曲線形狀的直觀幾何印象。而且設(shè)計(jì)者通常需要指定曲線兩端的端點(diǎn)條件，而不僅僅是起點(diǎn)處的條件。

（2）處理冪基多項(xiàng)式的算法更多地具有代數(shù)風(fēng)格而非幾何風(fēng)格。且更重要的是不能很有效地用計(jì)算機(jī)編程來求解。

本文在傳統(tǒng)的曲線表示理論方法的基礎(chǔ)上做出了一些改進(jìn)，提出了幾何迭代算法概念。該算法能夠由曲線上給定的初始型值點(diǎn)，通過迭代的方法算出曲線上要求的任何一點(diǎn)。該方法的最大特點(diǎn)是較易在計(jì)算機(jī)上用matlab來實(shí)現(xiàn)且具有較強(qiáng)幾何風(fēng)格。

1 Bernstein基函數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)

2 Berstein曲線的定義和性質(zhì)

3 曲線上點(diǎn)的幾何迭代算法

5 結(jié)束語(yǔ)

通過matlab實(shí)例驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)該幾何迭代算法能夠比較精確地算出曲線上要求的點(diǎn)，與傳統(tǒng)的冪基方法等比較而言，該方法幾何意義更強(qiáng)。由于Bernstain基函數(shù)的凸包性和變差性，該方法更適合曲線的交互設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)者通過（Bezier曲線的）控制點(diǎn)可以比通過冪基形式中的系數(shù)更直觀地控制曲線的形狀。而且和傳統(tǒng)算法相比，該算法對(duì)舍入誤差不敏感。這在直觀上是清楚的，因?yàn)榭梢哉J(rèn)為該算法是反復(fù)地在兩點(diǎn)之間做線性插值運(yùn)算，所有這些點(diǎn)都位于曲線的附近。該方法的缺點(diǎn)是計(jì)算的效率稍差，如何能夠有效地提高計(jì)算效率是需要進(jìn)一步研究的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]王仁宏，許志強(qiáng).分片代數(shù)曲線Bezout數(shù)的估計(jì)[J].中國(guó)科學(xué)（A輯：數(shù)學(xué)），2003（02）：185-192.

[2]Liu H Y，Zhu C G，Li C Y.Constructing N-sided toric surface patches from boundary curves[J].Information and Compute.Sci.，2012（03）：737-743.

[3]Zhu C G，Wang R H. The correspondence between multivariate spline ideals and piecewise algebraic varieties[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2011（05）：793-800.

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[5]陳平.計(jì)算幾何若干問題研究[D].浙江大學(xué)，2011.

作者簡(jiǎn)介：高靈霞（1978.12-），女，河北人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄?、?jì)算幾何。

作者單位：重慶電子工程職業(yè)學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 401331