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        基于Bernstein基函數(shù)的曲線上點(diǎn)的幾何迭代算法

        2014-04-29 00:00:00高靈霞

        摘 要:文章針對(duì)傳統(tǒng)的求曲線上點(diǎn)的插值法和冪基法的不足之處,提出了借鑒Berstein基函數(shù)求曲線上點(diǎn)的幾何算法,并研究了如何將該方法用迭代算法來書寫。采用了matlab編程的方法求解了一條平面曲線上指定的點(diǎn),結(jié)果發(fā)現(xiàn)該算法能夠比較精確地求出曲線上的點(diǎn),比用通常的冪基函數(shù)的方法更簡(jiǎn)單,且對(duì)舍入誤差不敏感;更重要的是易在計(jì)算機(jī)上用matlab編程實(shí)現(xiàn),且具有較強(qiáng)的幾何風(fēng)格;但是該算法的計(jì)算效率稍差。因此在對(duì)計(jì)算效率要求不是很高的情況下,可以考慮用該幾何迭代算法來彌補(bǔ)傳統(tǒng)的求曲線上點(diǎn)的方法的不足之處。

        關(guān)鍵詞:Bernstein基函數(shù);升階逼近;Bezier曲線;幾何迭代算法

        中圖分類號(hào):TP18

        在自然科學(xué)的研究中,曲線的表示理論及其應(yīng)用已經(jīng)滲透到許多領(lǐng)域內(nèi),如解決數(shù)學(xué)物理方程、差分方程、幾何造型等問題。工程設(shè)計(jì)中的某些臨界值問題、造船工業(yè)、航空工業(yè)和汽車制造工業(yè)中經(jīng)常遇到的幾何外形設(shè)計(jì)問題等[1]都涉及到曲線曲面等的表示問題。曲線上點(diǎn)的求解是我們需要經(jīng)常面對(duì)的重要問題,它的計(jì)算常用的方法有插值法和冪基法。其中,插值法是通過將要求的曲線表示為一系列插值基的線性組合的形式,主要的方法有Newton插值法、Hermite插值法等[2-3];冪基法是直接對(duì)傳統(tǒng)的基函數(shù)進(jìn)行處理,通過變換,使之變?yōu)檩^容易求的原曲線對(duì)應(yīng)新曲線的相應(yīng)點(diǎn),進(jìn)而利用新曲線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)去求原曲線上所要求的點(diǎn)。然而,這幾種方法都有如下幾個(gè)方面的缺點(diǎn)[4-5]:

        (1)用于形狀設(shè)計(jì)時(shí)不夠自然,系數(shù)只能傳遞很少的關(guān)于曲線形狀的直觀幾何印象。而且設(shè)計(jì)者通常需要指定曲線兩端的端點(diǎn)條件,而不僅僅是起點(diǎn)處的條件。

        (2)處理冪基多項(xiàng)式的算法更多地具有代數(shù)風(fēng)格而非幾何風(fēng)格。且更重要的是不能很有效地用計(jì)算機(jī)編程來求解。

        本文在傳統(tǒng)的曲線表示理論方法的基礎(chǔ)上做出了一些改進(jìn),提出了幾何迭代算法概念。該算法能夠由曲線上給定的初始型值點(diǎn),通過迭代的方法算出曲線上要求的任何一點(diǎn)。該方法的最大特點(diǎn)是較易在計(jì)算機(jī)上用matlab來實(shí)現(xiàn)且具有較強(qiáng)幾何風(fēng)格。

        1 Bernstein基函數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)

        2 Berstein曲線的定義和性質(zhì)

        3 曲線上點(diǎn)的幾何迭代算法

        5 結(jié)束語(yǔ)

        通過matlab實(shí)例驗(yàn)算,發(fā)現(xiàn)該幾何迭代算法能夠比較精確地算出曲線上要求的點(diǎn),與傳統(tǒng)的冪基方法等比較而言,該方法幾何意義更強(qiáng)。由于Bernstain基函數(shù)的凸包性和變差性,該方法更適合曲線的交互設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)者通過(Bezier曲線的)控制點(diǎn)可以比通過冪基形式中的系數(shù)更直觀地控制曲線的形狀。而且和傳統(tǒng)算法相比,該算法對(duì)舍入誤差不敏感。這在直觀上是清楚的,因?yàn)榭梢哉J(rèn)為該算法是反復(fù)地在兩點(diǎn)之間做線性插值運(yùn)算,所有這些點(diǎn)都位于曲線的附近。該方法的缺點(diǎn)是計(jì)算的效率稍差,如何能夠有效地提高計(jì)算效率是需要進(jìn)一步研究的問題。

        參考文獻(xiàn):

        [1]王仁宏,許志強(qiáng).分片代數(shù)曲線Bezout數(shù)的估計(jì)[J].中國(guó)科學(xué)(A輯:數(shù)學(xué)),2003(02):185-192.

        [2]Liu H Y,Zhu C G,Li C Y.Constructing N-sided toric surface patches from boundary curves[J].Information and Compute.Sci.,2012(03):737-743.

        [3]Zhu C G,Wang R H. The correspondence between multivariate spline ideals and piecewise algebraic varieties[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2011(05):793-800.

        [4]李學(xué)軍,黃文清.平面區(qū)域三角化的快速算法[J].計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2003(02):78-79.

        [5]陳平.計(jì)算幾何若干問題研究[D].浙江大學(xué),2011.

        作者簡(jiǎn)介:高靈霞(1978.12-),女,河北人,講師,碩士,主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄?、?jì)算幾何。

        作者單位:重慶電子工程職業(yè)學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院,重慶 401331

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