摘 要：文章針對傳統(tǒng)的求曲線上點的插值法和冪基法的不足之處，提出了借鑒Berstein基函數(shù)求曲線上點的幾何算法，并研究了如何將該方法用迭代算法來書寫。采用了matlab編程的方法求解了一條平面曲線上指定的點，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該算法能夠比較精確地求出曲線上的點，比用通常的冪基函數(shù)的方法更簡單，且對舍入誤差不敏感；更重要的是易在計算機上用matlab編程實現(xiàn)，且具有較強的幾何風格；但是該算法的計算效率稍差。因此在對計算效率要求不是很高的情況下，可以考慮用該幾何迭代算法來彌補傳統(tǒng)的求曲線上點的方法的不足之處。

關(guān)鍵詞：Bernstein基函數(shù)；升階逼近；Bezier曲線；幾何迭代算法

中圖分類號：TP18

在自然科學的研究中，曲線的表示理論及其應(yīng)用已經(jīng)滲透到許多領(lǐng)域內(nèi)，如解決數(shù)學物理方程、差分方程、幾何造型等問題。工程設(shè)計中的某些臨界值問題、造船工業(yè)、航空工業(yè)和汽車制造工業(yè)中經(jīng)常遇到的幾何外形設(shè)計問題等[1]都涉及到曲線曲面等的表示問題。曲線上點的求解是我們需要經(jīng)常面對的重要問題，它的計算常用的方法有插值法和冪基法。其中，插值法是通過將要求的曲線表示為一系列插值基的線性組合的形式，主要的方法有Newton插值法、Hermite插值法等[2-3]；冪基法是直接對傳統(tǒng)的基函數(shù)進行處理，通過變換，使之變?yōu)檩^容易求的原曲線對應(yīng)新曲線的相應(yīng)點，進而利用新曲線的對應(yīng)點去求原曲線上所要求的點。然而，這幾種方法都有如下幾個方面的缺點[4-5]：

（1）用于形狀設(shè)計時不夠自然，系數(shù)只能傳遞很少的關(guān)于曲線形狀的直觀幾何印象。而且設(shè)計者通常需要指定曲線兩端的端點條件，而不僅僅是起點處的條件。

（2）處理冪基多項式的算法更多地具有代數(shù)風格而非幾何風格。且更重要的是不能很有效地用計算機編程來求解。

本文在傳統(tǒng)的曲線表示理論方法的基礎(chǔ)上做出了一些改進，提出了幾何迭代算法概念。該算法能夠由曲線上給定的初始型值點，通過迭代的方法算出曲線上要求的任何一點。該方法的最大特點是較易在計算機上用matlab來實現(xiàn)且具有較強幾何風格。

1 Bernstein基函數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)

2 Berstein曲線的定義和性質(zhì)

3 曲線上點的幾何迭代算法

5 結(jié)束語

通過matlab實例驗算，發(fā)現(xiàn)該幾何迭代算法能夠比較精確地算出曲線上要求的點，與傳統(tǒng)的冪基方法等比較而言，該方法幾何意義更強。由于Bernstain基函數(shù)的凸包性和變差性，該方法更適合曲線的交互設(shè)計。設(shè)計者通過（Bezier曲線的）控制點可以比通過冪基形式中的系數(shù)更直觀地控制曲線的形狀。而且和傳統(tǒng)算法相比，該算法對舍入誤差不敏感。這在直觀上是清楚的，因為可以認為該算法是反復(fù)地在兩點之間做線性插值運算，所有這些點都位于曲線的附近。該方法的缺點是計算的效率稍差，如何能夠有效地提高計算效率是需要進一步研究的問題。

參考文獻：

[1]王仁宏，許志強.分片代數(shù)曲線Bezout數(shù)的估計[J].中國科學（A輯：數(shù)學），2003（02）：185-192.

[2]Liu H Y，Zhu C G，Li C Y.Constructing N-sided toric surface patches from boundary curves[J].Information and Compute.Sci.，2012（03）：737-743.

[3]Zhu C G，Wang R H. The correspondence between multivariate spline ideals and piecewise algebraic varieties[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2011（05）：793-800.

[4]李學軍，黃文清.平面區(qū)域三角化的快速算法[J].計算機輔助幾何設(shè)計與圖形學學報，2003（02）：78-79.

[5]陳平.計算幾何若干問題研究[D].浙江大學，2011.

作者簡介：高靈霞（1978.12-），女，河北人，講師，碩士，主要研究方向為人工智能、計算幾何。

作者單位：重慶電子工程職業(yè)學院 計算機學院，重慶 401331