一、元素的互異性①

例1.含有三個實數(shù)的集合可表示{a， ，1}，也可表示為{a2，a+b，0}，則a2007+b2007的值為（ ）

A.0 B.1 C.-1 D.±1

解析：方法1：集合{a， ，1}中含有1，因此集合{a2，a+b，0}中也含有1，若a2=1，則a=±1，當(dāng)a=1時，集合{1，b，1}中兩元素不互異，舍去.當(dāng)a=1時，集合{-1，-b，1}與集合{1，b，-1，0}相等，得b=0，當(dāng)a+b=1時，集合{a， ，1}={a2，1，0}這時 =0，即a=1，b=0與{1，1}中元素互異矛盾，舍去；故a=-1，b=0，所以a2007+b2007=-1故選C.

方法2：集合{a2，a+b，0}中有0，因此集合{a， ，1}中必有0，而 a≠0，只有b=0由集合相等可知a2=1，∴a=±1，又元素互異，∴a=-1因此a2007+b2007=-1，故選C。

二、區(qū)分數(shù)集與點集

以數(shù)和點為元素的集合分別叫數(shù)集和點集，是我們研究的主要對象，因而研究集合必須搞清楚集合中的元素是什么。如：對于集合

A={x？佐y=x2-2x+5，0≤x≤3}，

B={y？佐y=x2-2x+5，0≤x≤3}，

C={（x，y）？佐y=x2-2x+5，0≤x≤3}

A中的元素是函數(shù)y=x2-2x+5，0≤x≤3的自變量x的取值，B中的元素是函數(shù)值，C中的元素是函數(shù)圖象上的點。

例2.A={（x，y）？佐x2=y2}，B={（x，y）？佐x=y2}，則A∩B=

解析：A，B集合都表示曲線方程上點的集合，A∩B表示它們的交點的集合，所以答案因是點的集合：

A∩B=（x，y）？佐x2=y2x=y2={（0.0），（1，1），（1，-1）

變題：已知M=y？佐y=x2，N=y？佐x2+y2=2，則A∩B=（ ）

A.（1，1）（1，-1） B.1 C.[0，1] D.0，

解析：M，N都表示數(shù)集，M是函數(shù)y的范圍，N是圓的方程中 y的范圍，即M=0，+∞），N=- ， ，所以M∩N=0， ，故選D。

三、區(qū)別？準(zhǔn)，？準(zhǔn)，0，0

？準(zhǔn)？綴？準(zhǔn)，此時？準(zhǔn)作為元素，而？準(zhǔn)則為元素？準(zhǔn)的集合；？準(zhǔn)？奐？準(zhǔn)中的？準(zhǔn)和？準(zhǔn)均作為集合來理解，這樣就符合空集是任何非空集合的真子集這一事實。同時不要把0和0與？準(zhǔn)混淆，數(shù)0不是集合，0是含有一個元素0的集合，而？準(zhǔn)是不含任何元素的集合，更不能把空集錯誤地寫成空集或？準(zhǔn)。

例3.下列關(guān)系成立的是 （ ）

A.a，b=（a，b） B.？準(zhǔn)？奐？準(zhǔn)

C.0？奐0 D.0？哿？準(zhǔn)

解析：A的左邊表是數(shù)集，有兩個元素a，b，右邊表示點集，有一個點（a，b），所以不相等；B正確；C.左邊表示元素，右邊表示集合，而元素與集合的關(guān)系是？綴， 的關(guān)系，既表示錯誤；D.左邊表示有一個元素0的集合，左邊表示空集，剛好弄反了，故選B。

四、區(qū)別？奐，？勱，？哿，？勐，？埭，？芫

A？哿B與A？勐B是互逆的，A？哿B與A？芫B是互否的，而A？哿B與B？勐A等同的；

自于A？奐B它等價于A？哿B與A？芫B是互否的，而A？哿B與B？勐A是等同的；自于A？奐B它等價于A？芫B且A≠B，A？哿B，包括A=B，A？奐B兩種情況其中必有一種且只有一種成立；關(guān)于A？哿B與A？勐B一般不同時成立，如果同時成立，那么A=B。

例4.設(shè)集合M={x？佐x= + ，k？綴Z}，N=xx= + ，k？綴Z}，表示正確的是（ ）

A.M=N B.M？奐N

C.M？勱N D.M∩N=？準(zhǔn)

解析：解法1：列舉法

∵x= + = （k？綴Z） ∴M={…，- ， ， ， ， ， …}

∵x= + = （k？綴Z） ∴N={…- ，0， ， ， ，1…}

∴M？奐N，故選B。

解法2：比較法

M={x？佐x= + ，k？綴Z}={x？佐x= ，k？綴Z}

N={x？佐x= + ，k？綴Z}={x？佐x= ，k？綴Z}

∵2k+1為奇數(shù)，而k+2為整數(shù) ∴M？奐N，故選B。

五、不要忘了空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

例5.A={x？佐x2-8x+15=0}，B={x？佐ax-1=0}，若B？奐A求實數(shù)a的值。

解析：集合A的元素是方程x2-8x+15=0的解，即A={3，5}由于ax-1=0最高次數(shù)是1，又有B？奐A，所以B集合可為？準(zhǔn)，{3}，{5}，這里易忘了B=？準(zhǔn)的情況。

當(dāng)B=？準(zhǔn)時，即ax-1=0無解，a=0

當(dāng)B={3}時，即3是ax-1=0的解，代入3a-1=0，所以a=

當(dāng)B={5}時，即5是ax-1=0的解，代入5a-1=0，所以a=

綜上所述：a=0或 或

參考文獻：

劉詩雄.數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書.高中卷1：集合：第2版，華東師范大學(xué)出版社，2012-07.

作者簡介：朱洪家，男，1976年11月出生，本科，就職于阜寧縣第一高級中學(xué)，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

編輯 孫玲娟