摘 要 本文中首先給出充要條件的概念及一些判斷方法；然后根據(jù)具體實(shí)例找出學(xué)生對(duì)充要條件判斷失誤的原因，接著給出一個(gè)容易忽略的題型，一題多用，最后講到另一 種特例，挖掘題目中的隱含條件，并將之推廣到整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中。

關(guān)鍵詞 充分條件 必要條件 充要條件 等價(jià)

一、關(guān)于充要條件的概念

若p€H！q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件

若p€H#q，則稱p是q的充要條件

若p€H！q，且q≠>p則稱p是q的充分不必要條件

若p≠>q，且p€H！q則稱p是q的必要不充分條件

若q<≠>p，則稱p是q的既不充分也不必要條件

二、教師如何教

充要條件的判斷，是近年來高考和會(huì)考試卷中的熱門題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。結(jié)合解析幾何和高中試驗(yàn)課本數(shù)學(xué)第1冊(cè)關(guān)于充要條件的內(nèi)容，現(xiàn)歸納出如下三種解法：

1、定義法

（1）若A€H！B則A是B的充分條件，B是A的必要條件。

（2）若A€H！B且B≠>A，則A是B的充分非必要條件；B是A的必要非充分條件。

（3）若A€H#B，則A是B的充要條件。

（4）若A≠>B且B≠>A，則A既非B的充分條件，也非B的必要條件。

2、逆否法（命題法）

（1）若A€H！B，則A是B的必要條件；B是A的充分條件。

（2）若A€H！B且B≠>A，則A是B的必要非充分條件；B是A的充分非必要條件。

（3）若A€H#B，則A是B的充分條件。

（4）若A≠>B且B≠>A，則A既非B的充分條件，也非B的必要條件。

3、集合法

記條件A、B對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則有

（1）若A€H誃（或B€H誂），則A是B的充分條件，B是A的必要條件。

（2）若A€H袯（或B€H誂），則A是B的充分非必要條件；B是A的必要非充分條件。

（3）若A=B（或B=A即B€H誂且A€H誃），則A是B的充要條件。

三、如何在實(shí)際中應(yīng)用

其實(shí)充要條件不僅僅是就題論題，還可以“一題多用”。

命題 已知A，B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則sinA>sinB€H#AB>。設(shè)R是△ABC外接圓的半徑，sinA>sinB€H#2RsinA>2RsinBa>bA>B命題為真。

利用上述命題，有時(shí)可以比較方便地解決一些三角形的問題。

四、在整個(gè)教學(xué)過程中如何教，應(yīng)用此理論

在高中數(shù)學(xué)課本中，介紹了“充分條件”和“必要條件”的概念，教學(xué)上往往是局限于能判斷給定命題中條件的充分性或必要性。實(shí)際上，有許多題目本身并未出現(xiàn)“充分條件”和“必要條件”的字樣，但在解題思考中，自覺應(yīng)用“充分條件”，“必要條件”的概念，卻成為加深理解，避免誤入歧途的重要保證。學(xué)生在解題思考中經(jīng)常會(huì)因忽視“充分條件”和“必要條件”的應(yīng)用而導(dǎo)致錯(cuò)解。

例1已知：2≤a+b≤4， 1≤a-b≤2，求4a-2b的范圍？

錯(cuò)解 由題設(shè)條件2≤a+b≤4 （1）， 1≤a-b≤2 （2）

則（1）+（2）得 3≤2a≤6，即6≤4a≤12 （3），

由（2）得 -2≤-a+b-≤1 （4）， （1）+（4） 得 0≤2b≤3，

即 -3≤-2b≤0 （5），（3）+（5） 得 3≤4a≤-2b≤12.

分析 本題的正確答案為54a-2b10。而上面解法的每個(gè)步驟，都應(yīng)用了不等式的性質(zhì)，卻為什么得到錯(cuò)誤的答案呢？錯(cuò)誤的根本原因，是沒有運(yùn)用“充分條件”和“必要條件”的概念，區(qū)分不等式的性質(zhì)中，哪些可以用來解不等式，而哪些可以用來證明不等式。

證明不等式（或等式），只要求每一步的結(jié)論是前提的必要條件；但解不等式（或方程）要求的是同解過程，即必須是：“充分且必要”條件，不能只是必要條件。

正解 令4a-2b=m（a+b）+n（a-b），易得m=1，n=3

1≤a-b≤2， 3≤3（a-b）≤6 （1） 又 2≤a+b≤4 （2）

（1）+（2）得 5≤4a≤-2b≤10

上述例題錯(cuò)解在學(xué)生的解題中是經(jīng)?？梢砸姷降模@樣的例子很多。題目本身并未現(xiàn)“充分條件”或“必要條件”的字樣，但整個(gè)解題過程卻都要應(yīng)用它進(jìn)行思考，可見它的重要性。

參考文獻(xiàn)：

[1]王輝.中學(xué)特級(jí)教師教學(xué)思想與方法[M].東南大學(xué)出版社，2002.

[2]鮑曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[3]濮安山.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[4]范長(zhǎng)如.充分條件和必要條件的判斷[J].數(shù)學(xué)通訊，2003（5）.

[5]劉婷.論文可以這樣寫[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（3）.

[6]徐照武.一個(gè)充要條件及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2002（10）.

（作者單位：湖北省襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）