【摘要】規(guī)劃問題是數(shù)學建模中最常見的問題，本文全面系統(tǒng)的闡述各種類型規(guī)劃問題的MATLAB解法，包括線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、無約束優(yōu)化、有約束優(yōu)化等。

【關鍵詞】數(shù)學建模;規(guī)劃問題;計算機求解;MATLAB語言

規(guī)劃即最優(yōu)化問題就是求最大（小）值問題，是數(shù)學建模中最常見的問題，幾乎每個建模問題都離不開優(yōu)化。建模中的優(yōu)化問題主要有四種類型，即線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、無約束優(yōu)化和有約束優(yōu)化。

一、線性規(guī)劃問題（linprog）

min""f（x）x屬于R

s.t：" A*xlt;=b;

Aeq*x=beq;

lblt;=xlt;=ub;

其中f、x、b、beq、lb、ub為向量，A、Aeq為矩陣。

函數(shù)""linprog

格式：

x = linprog（f，A，b）""""""""" %求min"f "s.t "線性規(guī)劃的最優(yōu)解。

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq） "%不等式約束，若沒有不等式約束，則A=[]，b=[]。

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）%指定x的范圍，若沒有等式約束"，則Aeq=[]，beq=[]

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0）%設置初值x0

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0，options） % options為指定的優(yōu)化參數(shù)

[x，fval]= linprog（…）% 返回目標函數(shù)最優(yōu)值，即fval= f

[x，lambda，exitflag]= linprog（…）% lambda為解x的Lagrange乘子。

[x，lambda，fval，exitflag]= linprog（…）% exitflag為終止迭代的錯誤條件。

說明：若exitflaggt;0表示函數(shù)收斂于解x，exitflag=0表示超過函數(shù)估值或迭代的最大數(shù)字，exitflaglt;0表示函數(shù)不收斂于解x;若lambda=lower 表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式約束，lambda=eqlin表示等式約束，lambda中的非0元素表示對應的約束是有效約束。

二、二次規(guī)劃（quadprog）

標準型為：

Min Z= XTHX+cTX

s.t.AXlt;=b""

VLB≤X≤VUB

用MATLAB軟件求解，其輸入格式如下：

1.x=quadprog（H，C，A，b）;

2.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq）;

3.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）;

4.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB，X0）;

5.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB，X0，options）;

6.[x，fval]=quaprog（...）;

7.[x，fval，exitflag]=quaprog（...）;

8.[x，fval，exitflag，output]=quaprog（...）;

三、無約束最優(yōu)化（fminunc）

命令""利用函數(shù)fminunc求無約束函數(shù)最小值

函數(shù)""fminunc

格式：

x = fminunc（fun，x0）%返回給定初始點x0的最小函數(shù)值點

x = fminunc（fun，x0，options）% options為指定優(yōu)化參數(shù)

[x，fval]= fminunc（…）%fval最優(yōu)點x處的函數(shù)值

[x，fval，exitflag]= fminunc（…）% exitflag為終止迭代的條件，與上同。

[x，fval，exitflag，output]= fminunc（…）%output為輸出優(yōu)化信息

四、有約束最優(yōu)化（fmincon）

min f（x）

s.t"""""" "C（x）lt;=0

Ceq（x）=0

A*xlt;=b

Aeq*x=beq

lblt;=xlt;=ub

其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq為矩陣，C（x）、Ceq（x）是返回向量的函數(shù)，f（x）為目標函數(shù)，f（x）、C（x）、Ceq（x）可以是非線性函數(shù)。函數(shù)""fmincon

格式：

x = fmincon（fun，x0，A，b）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options）

[x，fval]= fmincon（…）

[x，fval，exitflag]= fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output]= fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output，lambda]= fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output，lambda，grad]= fmincon（…）

參數(shù)說明：fun為目標函數(shù)，它可用前面的方法定義;

x0為初始值;

A、b滿足線性不等式約束，若沒有不等式約束，則取A=[]，b=[];

B、Aeq、beq滿足等式約束，若沒有，則取Aeq=[]，beq=[];

C、lb、ub滿足，若沒有界，可設lb=[]，ub=[];

D、nonlcon的作用是通過接受的向量x來計算非線性不等約束 和等式約束 分別在x處的估計C和Ceq，通過指定函數(shù)柄來使用，

如：x = fmincon（@myfun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@mycon）

先建立非線性約束函數(shù)，并保存為mycon.m：function[C，Ceq]= mycon（x）

C = …" " % 計算x處的非線性不等約束 的函數(shù)值。

Ceq = …" % 計算x處的非線性等式約束 的函數(shù)值。

參考文獻：

[1]卓金武.MATLAB在數(shù)學建模中的應用.北京航空航天大學出版社.2011年

[2]孫祥、徐流美、吳清.MATLAB7.0基礎教程.清華大學出版社.2011年

[3]林雪松、周婧、林德新.MATLAB7.0應用集錦.機械工業(yè)出版社.2012年

[4]邱李華.MATLAB7及工程問題解決方案.機械工業(yè)出版社.2012年

作者簡介：張小紅（1974～），男，江西新余人，計算機副教授、網(wǎng)絡工程師。