【摘要】本文通過(guò)舉例，說(shuō)明了微分方程在生物、經(jīng)濟(jì)、物理等交叉學(xué)科中的作用，進(jìn)一步揭示了掌握微分方程理論知識(shí)的重要性。

【關(guān)鍵詞】競(jìng)爭(zhēng)種群;供求均衡;混沌

一、微分方程的基本概念：

表示自變量、函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)關(guān)系的等式稱為微分方程，如果函數(shù)只有一個(gè)自變量，那么稱其為常微分方程（ODEs），若函數(shù)有多個(gè)自變量，稱其為偏微分方程（PDEs）。

只含一階導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為一階微分方程，含有階導(dǎo)數(shù)的方程稱為階微分方程，階微分方程通過(guò)變換可以化成由個(gè)一階微分方程構(gòu)成的方程組;如果函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)都是一次的微分方程稱為線性微分方程，否則稱非線性微分方程。

二、在生物種群模型中的應(yīng)用：

兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)種群A、B在時(shí)刻密度分別為和，和是關(guān)于時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。種群A、B不斷繁殖導(dǎo)致密度變化，而由于A、B之間相互競(jìng)爭(zhēng)，導(dǎo)致它們各自作為對(duì)方的食餌而相互抵消，這樣影響它們各自密度變化率的有兩個(gè)因素：一是自身的增長(zhǎng)消亡，二是相互競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致的消亡。由此有了下面著名的Volterra模型：

這里，和分別表示了在時(shí)刻種群A、B的密度變化，分別為A、B的自然增長(zhǎng)率，表示它們自身的消亡。而、表示A、B的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，表示在B的影響下，種群A的減少程度;表示在A的影響下，種群B的減少程度，且要求系數(shù)均是大于0的常數(shù)。

這是一個(gè)一階非線性常微分方程組，

它的平衡點(diǎn)為A、B、C、P，當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)P具有生態(tài)意義，即它是漸進(jìn)穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在一定條件下經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期競(jìng)爭(zhēng)后，可以使種群A、B密度（數(shù)量）趨于穩(wěn)定。

三、在數(shù)量經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用：

在完全市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)條件下，商品價(jià)格由供求關(guān)系決定，即商品在時(shí)刻的供給量及需求量與時(shí)刻的商品價(jià)格有關(guān)，假設(shè)供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為

，

其中，均為常數(shù)，且。

則供求均衡的靜態(tài)模型為，此時(shí)均衡價(jià)格為。假設(shè)初始價(jià)格為，而時(shí)刻價(jià)格變化率與供求量的差值成正比，即有

這是一個(gè)一階線性常微分方程的初值問(wèn)題，其中為比例常數(shù)，，這個(gè)方程的解為

由于，則，即最終供求平衡使得商品價(jià)格達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)。

例如，取，則商品價(jià)格隨時(shí)間的變化曲線如下：

四、在物理學(xué)中的應(yīng)用：

1.大氣混沌方程：Lorenz方程

1963年美國(guó)麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家E.Lorenz在對(duì)天氣預(yù)報(bào)的微分方程模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)由3維非線性方程組描述的著名Lorenz方程，這就是混沌現(xiàn)象的第一個(gè)奇怪吸引子Lorenz吸引子。Lorenz方程可以作為許多實(shí)際中混沌運(yùn)動(dòng)的精確模型，在研究天氣、對(duì)流現(xiàn)象中備受關(guān)注。Lorenz方程的基本形式為：

其中，是隨時(shí)間t變化的物理量，可看作是t的連續(xù)可微函數(shù);均是正參數(shù)，且當(dāng)參數(shù)不同時(shí)，方程狀態(tài)就不同。

當(dāng)時(shí)，取初值為（3，2，5），時(shí)間t取[0，75]，系統(tǒng)出現(xiàn)蝴蝶狀的混沌吸引子，如圖：

五、總結(jié)：

以上就微分方程的應(yīng)用舉了幾個(gè)特殊的例子，在實(shí)際科學(xué)研究中，微分方程還可以廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域，而解決問(wèn)題的思想是將現(xiàn)實(shí)生活中的某些現(xiàn)象和某些數(shù)值，通過(guò)某種聯(lián)系抽象成微分方程模型，再對(duì)該模型進(jìn)行求解和分析，最后得到我們想要的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

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