【摘 要】高中學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)思維，這是制約學(xué)生解題能力提升的關(guān)鍵因素，因此如何在課堂教學(xué)中提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，是高中數(shù)學(xué)教師面臨的一個(gè)重要課題。

【關(guān)鍵詞】思維水平 分析預(yù)期 大局觀 通性通法

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）01-0137-02

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)學(xué)是一個(gè)原則，無數(shù)內(nèi)容，一種方法，到處可用。”數(shù)學(xué)思維駕馭著數(shù)學(xué)知識(shí)。而學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的高低，直接決定著數(shù)學(xué)解題能力的高低。數(shù)學(xué)思維能力對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來發(fā)展都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。而如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)是教學(xué)改革的一個(gè)重要課題。下面就如何在課堂教學(xué)中提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力談?wù)劰P者在教學(xué)中的幾點(diǎn)嘗試。

一 做好分析預(yù)期，提高學(xué)生思維的目的性，培養(yǎng)“大局觀”

要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的思維水平，首先要讓學(xué)生學(xué)會(huì)全面地分析問題，從而能做出合理、科學(xué)的決策。這就必須從培養(yǎng)學(xué)生分析問題的“大局觀”著手，讓學(xué)生的思維具有一定的前瞻性和目的性。因此，教師在講解例題時(shí)，一定要做好分析預(yù)期。

例1，右下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

=1的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)（異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)），設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P，設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍。

這是一個(gè)典型的問題，顯然要同時(shí)用到M點(diǎn)和P點(diǎn)坐標(biāo)，必須要把直線FP的方程寫出來，那到底怎么設(shè)，是設(shè)直線FP的斜率，還是設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)，或是設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)？

教師可以嘗試讓學(xué)生先思考：要求k1·k2的取值范圍，需要什么？怎么得到這些需要的條件？怎么得到這些條件方便？

有個(gè)學(xué)生這樣講：設(shè)直線FP的斜率為k，然后用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩條直線聯(lián)立，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把k1·k2表示為k的函數(shù)？我就問該學(xué)生：你為什么這么設(shè)？學(xué)生回答：這么設(shè)只要一個(gè)參數(shù)k。我又問：你再想一下，這樣做會(huì)不會(huì)有困難，困難在哪里？學(xué)生略作思考后回答：求M點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)要解一個(gè)含參數(shù)k的一元二次方程，這個(gè)很困難。我又問：怎么可以回避你剛才碰到的問題？學(xué)生回答：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)。

顯然，在這個(gè)問題中，學(xué)生的思維局限在“一個(gè)參數(shù)”所帶來的方便中，而沒有意識(shí)到接下來會(huì)遇到的麻煩，顯然學(xué)生思維的深度和遠(yuǎn)度不夠，從而做出了短期性、局限性的決定。而要突破這種局限，要求教師必須放開學(xué)生的思維，多給學(xué)生鍛煉的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在挫折中吸取教訓(xùn)，使目光變得長遠(yuǎn)，“大局觀”變得更強(qiáng)，數(shù)學(xué)的思維水平得到提高。

二 “高觀點(diǎn)”指引，提高學(xué)生思維的概括性，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)思想”

要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的思維水平，還要求教師能夠“居高等數(shù)學(xué)之高”，去“臨中學(xué)數(shù)學(xué)之下”。用高等數(shù)學(xué)的原理、觀點(diǎn)、思想和方法去指導(dǎo)研究初等數(shù)學(xué)中的一些常見問題。

例2，講到這樣一個(gè)例題：已知x，y，z∈R，求x+y

z=1，x2+y2+z2=3，求xyz的最大值。

筆者在所教的兩個(gè)班（A班和B班）中采用了不同的方法：A班直接告訴學(xué)生可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)來做。在B班教學(xué)時(shí)，先給出了一個(gè)簡單的變式題：已知x，y∈R，x+y=1，求x·y的最大值。然后問學(xué)生：（1）這個(gè)題目怎么做？（2）這個(gè)題目和例題有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？學(xué)生很快就回答了出來，接著又問學(xué)生：（3）這兩個(gè)題目主要是用到了怎樣的數(shù)學(xué)思想？（4）用這個(gè)數(shù)學(xué)思想可以解決什么樣的問題？然后讓學(xué)生討論。最后，學(xué)生得出結(jié)論：兩個(gè)題目中都是未知數(shù)個(gè)數(shù)比方程個(gè)數(shù)多1個(gè)，因此兩個(gè)題目都有一個(gè)“自由變量”，就能以此“自由變量”構(gòu)造函數(shù)；這一討論，意在顯化數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法所隱含的本質(zhì)思想，即通性通法。

一周后，我在兩個(gè)班考了這樣一個(gè)題目：已知a，b，c∈R+，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求abc的取值范圍。結(jié)果A班做對(duì)的有18人（共44人），B班做對(duì)的有34人（共40人）。很明顯，兩種教學(xué)方法給學(xué)生帶來了截然不同的影響。顯然，這里的“高觀點(diǎn)”所凸顯的數(shù)學(xué)思想能幫助學(xué)生深化理解，解決一些共性的問題。作為高中數(shù)學(xué)教師，用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，溝通高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新能力，帶動(dòng)數(shù)學(xué)思維能力的提升，將是新形勢下搞活中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條有效途徑。

三 精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)“障礙”，提高思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)

平坦無奇固然可使學(xué)生的學(xué)習(xí)比較輕松，但往往也會(huì)使學(xué)生感到乏味。因此，要使學(xué)生積極主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，開發(fā)其創(chuàng)造潛能，教師就必須根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和教材內(nèi)容，巧妙地設(shè)置一些學(xué)習(xí)上的“小障礙”。只有這些“障礙”在學(xué)生新的需要與原有發(fā)展水平之間產(chǎn)生沖突時(shí)，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高學(xué)生的思維。

例3，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足2Sn=an+ （n∈N*），求

{an}的通項(xiàng)。

在教學(xué)過程中，我讓兩個(gè)同學(xué)分別從消an和消Sn的角度解決此題，以下是這兩個(gè)同學(xué)的解法：

學(xué)生1：由2Sn=an+ （n∈N*） （1）

得到2Sn+1=an+1+ （n∈N*） （2）

由（2）-（1）得2an+1=an+1+an+ ，通分整理得：

an+1- =-（an+ ） （3）

兩邊同時(shí)平方得： ，所以

是等差數(shù)列，公差d=4。

∴ ，∴ ，∴ 。

學(xué)生2：由 ，得 ，

整理得： ，∴ ，∴ ，∴ （n∈N*）。

兩位學(xué)生算完后，下面的學(xué)生就開始議論了，兩種方法都對(duì)，答案不一樣，問題出在哪里？

面對(duì)困難，同學(xué)們開始積極思考，最后發(fā)現(xiàn)本題中“正項(xiàng)

數(shù)列”是關(guān)鍵，在學(xué)生1的式（3）中， ，

所以an+1∈（0，1）， 。

新課程特別強(qiáng)調(diào)問題在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的重要性。只有在教學(xué)過程中不斷地給學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)“障礙”，才能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，挑戰(zhàn)學(xué)生的思維新高度。同時(shí)，通過一些思維上的挫折，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己思維上的斷點(diǎn)，從而通過有針對(duì)性的訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的延續(xù)性和耐挫性，提升數(shù)學(xué)思維水平。

四 加強(qiáng)變式訓(xùn)練，提高思維的靈活性，培養(yǎng)舉一反三的能力

所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式以及問題從不同角度、不同層次、不同情形進(jìn)行橫向或縱向的拓展延伸。變式訓(xùn)練可以幫助學(xué)生多角度地理解解題方法，從“掌握知識(shí)”向“理解思想”過渡；俗話說：授之以魚，不如授之以漁。教師要讓學(xué)生主動(dòng)參與，不要總是教師“變”，學(xué)生“練”。要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地“變”，有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，幫助學(xué)生融會(huì)貫通所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神以及舉一反三的能力。

例4，在高三一輪復(fù)習(xí)關(guān)于“二元函數(shù)的均值”一節(jié)時(shí)，最常見的有這樣一個(gè)題目：已知，a，b∈R，a>0，b>0，a

+b=1，求 的最小值。我們可以給出這個(gè)題目有很多種

變式，如變式（1）：已知x∈（0，1），求 的最小值；

變式（2）：已知θ∈R， ，求 的最小值。

在這兩個(gè)題目的基礎(chǔ)上，我讓學(xué)生思考，能不能再大膽變化，出一個(gè)含參數(shù)的題，思考兩分鐘后有學(xué)生給出了這樣

一個(gè)題目（3）：已知 ≥4對(duì)x∈（0，1）恒成立，求

正實(shí)數(shù)m的取值范圍。

我讓學(xué)生進(jìn)一步思考這幾個(gè)題目的共同特征是什么？有同學(xué)馬上舉手告訴我：都是分式結(jié)構(gòu)且分母和為定值。至此，這一類問題得到了圓滿的解決。學(xué)生也在這個(gè)過程受到了數(shù)學(xué)思維的熏陶，把問題歸結(jié)為最本源。

可見，變式訓(xùn)練可使學(xué)生正確理解教材與知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)的關(guān)系，從而抓綱務(wù)本，跳出題海，有效地提高思維的敏捷性、應(yīng)變性、發(fā)散性、創(chuàng)造性等思維品質(zhì)。

簡言之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)是高中數(shù)學(xué)課堂的首要任務(wù)。高中學(xué)生，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要得到思維訓(xùn)練。因此，如何啟發(fā)學(xué)生積極、有效的思維，提升數(shù)學(xué)思維水平，就成為高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要研究課題。而只有做好了這一點(diǎn)，才能真正做好應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)變。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)是高級(jí)智力體操，數(shù)學(xué)能力的提高不僅取決于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本身，也取決于數(shù)學(xué)之外的努力，特別是非智力因素的培養(yǎng)。因此，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)和適度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)性、加強(qiáng)其耐挫力培養(yǎng)、提煉通性通法、解決共性問題、提升思維品質(zhì)，也應(yīng)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)有之意。