【摘 要】在新的一輪課程改革中,強調對學生學習能力的培養(yǎng),同時要求在教學中發(fā)展學生的邏輯思維能力和創(chuàng)新意識。分類討論思想在初中數學的學習中十分重要。在教學過程中,教師要對這種方法進行滲透,使學生真正學會運用這種方法解決數學問題。本文對其進行了簡單的探討,目的在于幫助教師對分類討論思想加以重視,做好這方面的教學工作。
【關鍵詞】初中數學 分類討論 探討
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810(2014)01-0133-02
分類討論是初中數學中常用的數學思想方法之一。在新課改的大環(huán)境下,要想在初中數學教學中,使學生真正地掌握分類討論的方法,教師要對這種方法的意義和重要性等方面有詳細的認識和了解,并對其應用的策略與方法熟練掌握、不斷探索創(chuàng)新。
一 初中數學教學中分類討論的必要性
在新課改中,強調了對學生綜合能力的培養(yǎng),學生總體素質和能力的提高是教學的重點。對有關的數學問題進行分割,將其按種類進行劃分,然后對其進行逐個的解答,這個過程稱為分類討論。做好分類討論的教學工作,符合新課改的要求,有利于學生整體素質和能力的提高。在進行分類討論時,最基本的要求就是做到盡量不要將知識點重復講解,也不要遺漏重要的知識。在初中數學教學中運用分類討論的辦法,能夠有效地提高學生的創(chuàng)新能力和探究能力,在這一點上與新課改的要求是一致的。分類討論對于學生思維的培養(yǎng)有著積極的作用,能夠提高學生思維邏輯的有序性和嚴謹性,使學生能夠對遇到的問題進行全方位的仔細分析,對其進行更深一步的探究,同時還能使學生的思維更加連貫。雖然在初中數學中的分類討論有很多的好處,但是其對于學生來說,具體學習和掌握起來有很大的難度。通過多年的教學工作和學生的學習效果來看,很多學生還是做不好分類討論,表現為對分類討論運用得不夠,在進行分類討論的過程中,對于問題的考慮不夠全面,使得在考試中這方面問題的得分率不高。對導致這種現象的原因進行分析,主要是在實際的初中數學的教學中,教師對于分類討論思想的強調和講解不夠,學生不能夠熟練地運用分類討論思想。
數學問題究其本質是一樣的,只是在某些具體問題上存在著差異,在對這些數學問題進行分類時,導致需要進行分類討論的原因主要有以下幾種:
第一,數學中相關概念的不同,例如對于絕對值的定義,我們將其分為小于零、等于零和大于零這三個具體的情況;對于求含有字母的絕對值的問題時,也要進行分類討論;此外還包括對實數進行分類等等。
第二,某些數學公式、定理以及性質等在進行變換時存在著特定的約束限制條件,這時候也需要進行分類討論,如對一元二次方程根的解決。
第三,在幾何知識中,在圖形的位置之間的關系變化和圖形大小的變化等問題上,需要進行分類討論,例如圓和直線的關系的確定;圓和圓位置關系的確定;利用圓周角確定同弧的圓心角時,都要用到分類討論。
第四,在式子中存在某個字母參數時,要對參數的取值范圍和各種臨界點進行分類討論,例如一次函數中K值的不同引起函數圖像的變化;不等式的性質等等。
二 初中數學中運用分類討論思想的重要意義
當我們在對于一些數學問題進行求解時,問題對象的不同可能會對研究結果造成很大的不同,使得最后的結果不能滿足實際情況,所以,在求解的過程中,對于具體問題要進行分類的討論;另外,隨著問題的研究,出現了多種情況,也需要我們對其進行分類討論和研究。
在解決數學問題的時候,運用好分類討論,能夠將原本復雜的問題簡化,能夠更清楚地了解問題的本質,在某種特定環(huán)境下對問題進行分析,使問題變得簡單?!胺诸愑懻摗焙唵蝸碇v就是對于數學問題先進行分類,然后逐個進行討論。在對教材和教學大綱的閱讀時可以發(fā)現,在初中數學的教材中對分類討論是由易到難來進行安排的,將“分類討論思想”劃分為兩個部分。首先是“分類思想”,它在初中數學教材的編排中較為重視,對此方面的教學安排較多,目的是為了使學生建立起分類的好習慣,正確運用分類方法。其次是“討論思想”,對于討論方法的學習要求教師在教學中向學生逐漸滲透。
三 初中數學教學分類討論思想的基本原則
在初中數學中的分類討論要嚴格遵照一些基本原則去進行,本文將這些原則大體總結為以下幾點:
1.標準一致性原則
在進行分類時要按照一致的標準進行,對于同一個問題在進行分類時按照不同的標準進行,這樣會造成分類的混亂。例如,在實際的教學中,有的學生對三角形進行分類時,將其分為鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形、等腰三角形、不等邊三角形。在分類時將按角分類和按邊分類混用,造成了分類的混亂。銳角三角形中存在著等腰三角形,直角三角形同時也可能是等腰三角形;而等腰三角形中同時包含著銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。這種混亂的分法對于學生的學習和理解無形之中增加了困難。
2.無交集原則
在進行分類后,各個分類情況中包含的子項應該是彼此沒有交集的,要做到互相排斥,不產生關聯(lián),要做到同一個子項只屬于某一個大類。例如在運動會上,班級里有十個同學參加了田徑和舞蹈兩個比賽,其中七個人參加了舞蹈比賽,六個人參加了田徑項目。假如將這十個人按照參加舞蹈和田徑比賽來進行劃分,這就違背了無交集原則,這是因為,在這十個人當中,一定有人參加舞蹈比賽又參加了田徑比賽。
3.相稱性原則
在進行分類時要做到相稱,也就是說在分類之后,分成的各小項的總和在進行擴展和延伸時,要與未分類之前問題的拓展和延伸相對稱,不能在分類之后,在進行問題延伸時與原問題出現差錯。例如對于有理數的分類,有的學生將其分為負有理數和正有理數,這就違反相稱性原則。分類后各項進行延伸后的和小于分類之前的,沒有將零這種特殊的有理數考慮在內,因為零既不屬于正數又不屬于負數。
4.多層次性原則
對問題的分類包括一次分類和多次分類?!耙淮畏诸悺敝傅氖菍τ谒懻摰膯栴}或對象只進行一次分類;“多次分類”指的是在進行首次分類后,對于分類后的各個小項再次進行分類,一直到能夠達到實際需要。在實際中,一些較為復雜的問題,常常會用到“二分法”,根據一些性質對其進行劃分,將所討論問題進行不斷地延伸,直到在分類中出現矛盾。
四 初中數學中進行分類討論的一般步驟
在初中數學中進行分類討論是要遵循一定的步驟,其大體步驟如下:(1)對討論問題和對象的取值范圍以及其本身進行確定;(2)對于分類標準要進行正確、合理地選擇,做到分類的合理;(3)按照所分類型逐個進行分析討論,解決問題;(4)對于討論的結果進行總結。
五 在初中數學的教學過程和解題中對分類討論思想的具體應用
要想在初中數學的教學過程和解題中應用好分類討論思想,首先要求教師在進行知識傳授的同時,重視對分類討論思想的滲透,從而幫助學生養(yǎng)成遇到問題分類討論的好習慣。目前,初中生在數學的學習中對分類討論運用的效果不好,其遇到問題進行分類討論的意識還有待增強,不清楚該對哪些問題進行分類討論,頭腦較為混亂。另外,分類討論思想不同于其他的數學知識,不是通過短時間的學習就能夠學會的。這就對教師提出了更高的要求,教師要對教材進行更進一步的研究,在教學中結合有關知識滲透分類討論思想,幫助學生建立分類討論的習慣,對其本質進行更好地揭示,從而使學生能夠更好地運用分類討論思想解決有關問題。
下面根據本人在教學中分類討論教學的實例,來講解在初中數學的教學中如何具體地應用分類討論方法。
例1,當m為何值時,函數y=(m+5)x2m-1+7x-3(x≠0)是一個一次函數。
解答:當(m+5)x2m-1為一次項時,要求2m-1=1;則m=1,函數為y=13x-3。當(m+5)x2m-1為常數項時,
2m-1=0;則m= ,函數為y=7x+ ;當m+5=0時;
m=-5,函數為y=7x-3。
點評:對(m+5)x2m-1進行討論,考慮其是常數項或者一次項的情況,對這兩種情況分別進行解答,求出滿足條件的m的所有值。
例2,若|n-m|=m-n,且|n|=4,|m|=3,則(m+n)2為多少?
解答:由于|m|=3,|n|=4,所以m為3或者-3,n為4或者-4;又由于|n-m|=m-n,因此,m-n的值大于等于零,且m大于等于n;當m=3時,n的可能取值是-4,結果是1;當m=-3時,n的可能取值是-4,這時的結果為49。所以(m+n)2的所有可能的值是49或1。
點評:與絕對值相關的問題,在解答時要特別注意對其進行分類討論。對其各種情況進行合理的分類,才能得到正確的完整結果,若不能進行分類,會造成最終結果的不全面,導致錯誤。
例3,某運動旗艦店賣籃球襪和護腕,籃球襪的定價為200元一組,護腕的定價為40元一套。賣家在進行促銷時有兩種具體的優(yōu)惠方案,第一種是買籃球襪送一套護腕;第二種方案時籃球襪和護腕均按原價賣,顧客在同時購買時,可享受九折優(yōu)惠,并且只能選擇一種優(yōu)惠方案。某個運動隊教練要到該旗艦店購買20套籃球襪和20套以上的護腕,請為這個教練選擇一種最經濟的購買方案。
問題分析:由于題干中沒有具體說明要買的護腕的數量,所以這種購買方案具有不確定性,是由購買的籃球襪的數量而決定的。
解答:假設教練要購買籃球襪x套,則根據方案一,所付款數為200×20+(x-20)×40=40x+3200(元);根據方案二,所付款數為:(200×20+40x)×90%=36x+3600(元);設兩者的差為y,則y=(40x+3200)-(36x+3600)=4x-400(元)。(1)當y<0時,4x-400<0,即20
根據以上分析,當購買護腕數大于20套而不足100套時,選擇方案一;當購買護腕數等于100套時,哪種購買方案都行;當購買護腕數大于100套時,選擇方案二。
六 總結
以上就是對初中數學分類討論思想的論述,分析了在初中數學教學中分類討論思想的意義和重要性,并簡單介紹了其應用的基本原則和步驟,最后根據本人在教學中的實際,列舉了分類討論的具體應用。由于本人能力有限,對這方面的研究還不夠充分,還需要在今后的教學中進一步探索,讓學生在解決數學問題時真正掌握分類討論的思想方法。
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