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        南通市肺結(jié)核傳染病研究

        2014-04-29 00:00:00劉慧翠吳海霞繆雪晴
        學(xué)園 2014年1期

        【摘 要】本文根據(jù)南通市第三人民醫(yī)院提供的病人數(shù)據(jù),利用Excel擬合工具給出了肺結(jié)核傳染病的SIS 模型以及相應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果,能較好地解釋已有的傳染病數(shù)據(jù)并能對(duì)以后的傳染病趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

        【關(guān)鍵詞】SIS模型 Excel擬合 數(shù)值模擬

        【中圖分類號(hào)】O29 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810(2014)01-0031-01

        一 傳染病模型的介紹

        本文主要研究肺結(jié)核傳染病,根據(jù)結(jié)核病本身的特點(diǎn)(即無(wú)免疫性),病人痊愈后可能再次感染,即易感者被傳染后變?yōu)楦胁≌?,感病者可以被治愈,但不?huì)產(chǎn)生免疫力,所以仍為易感者。

        通常把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類:(1)S類,易感者,指未得病者,但缺乏免疫能力,與感染者接觸后容易受到感染;(2)I類,感病者,指染上傳染病的人,它可以傳播給S類成員;(3)R類,移出者,指被隔離或因病痊愈而具有免疫力的人。

        在本文討論的模型中,僅存在健康者即易感者和感病者,這類傳染病模型稱為SIS模型。設(shè)在t時(shí)刻這兩類人數(shù)分別為S(t),I(t),人員流動(dòng)圖為:S→I→S。不考慮人口的出生與死亡,此環(huán)境中的人口數(shù)量N不變。k是在單位時(shí)間內(nèi)每天每個(gè)病人感染的人數(shù),S(t)/ t,I(t)/ t是增加率。

        為了得出南通市肺結(jié)核病數(shù)學(xué)模型,做如下假設(shè):(1)南通市人口數(shù)量較多;(2)人群個(gè)體之間無(wú)差異;(3)易感者被傳染機(jī)會(huì)與接觸病者機(jī)會(huì)成正比;(4)疾病的感染率為常數(shù);(5)考慮出生與死亡的人數(shù),也不考慮人群的遷入與遷出;(6)感染者以固定的比率痊愈,而重新成為易感者。

        為了方便,將S(t),I(t)表示為概率,即人群總數(shù)N=1。則S(t)+I(t)=1。

        在(t,t+dt)時(shí)間內(nèi),感病者增加的人數(shù)恰好等于dt這段時(shí)間內(nèi)受到傳染的人數(shù):N[I(t+dt)-I(t)]=kNS(t)I(t)dt。

        令h為痊愈率(單位時(shí)間內(nèi)痊愈的百分?jǐn)?shù)),顯然 是

        疾病的平均傳染周期。滿足的微分方程如下:

        =kI(1-I)-hI,I(0)=I0;

        當(dāng)k不等于h時(shí), ,

        δ=k/h。

        當(dāng)k等于h時(shí), 。

        稱δ=k/h為接觸數(shù),是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸易感染者的平均人數(shù)。

        當(dāng)k趨向于無(wú)窮時(shí),I(t)=1-δ-1,δ>1;I(t)=0,δ≤1。

        由此可以看出,δ=1是一個(gè)閾值。

        當(dāng)δ≤1時(shí),I(t)逐漸減小,最終趨向于0,表示疾病被控制。

        當(dāng)δ>1時(shí),I(t)的增減性取決于I0是低于1-δ-1還是高于1-δ-1,這時(shí)有一個(gè)非零的極限值,疾病不完全消除。

        這與實(shí)際很符合,即人口越多,傳染率越高,從得病到治愈時(shí)間越長(zhǎng),傳染病越容易流行。

        二 擬合和數(shù)值解結(jié)果

        現(xiàn)在的醫(yī)療水平使得肺結(jié)核的痊愈率h達(dá)到80%以上,這里取平均值82.94%,疾病傳染率k為91.24%。復(fù)發(fā)的可能性很小,但仍會(huì)傳染。可以近似認(rèn)為符合本文所涉及的SIS傳染模型。根據(jù)南通市第三人民醫(yī)院2007年以及2009年病人數(shù)據(jù),利用Excel進(jìn)行擬合,得到如下結(jié)果:

        y為發(fā)病數(shù),x為年份(分別取2007年和2009年),

        y=48.51+18.51cos(0.4993x)-10.89sin(0.4993x)-11.01cos(0.9986x)+8.647sin(0.9986x)+15.25cos(1.4979x)-3.15sin(1.4979x)+1.609cos(1.9972x)-8.818sin(1.9972x)-0.4306cos(2.4965x)+7.459sin(2.4965x);

        y=48.71+10.71cos(0.515x)+19.83sin(0.515x)+13.23cos(1.03x)-5.698sin(1.03x)+0.3473cos(1.545x)-13.99sin(1.545x)+4.945cos(2.06x)-8.863sin(2.06x)

        =70.2812(/10萬(wàn)例)(2007年);

        =79.7389(/10萬(wàn)例)(2009年)。

        三 結(jié)果的解釋

        當(dāng)δ=1.10>1時(shí),I0是低于1-δ-1時(shí),y=70.2812(/10萬(wàn)例)(I0取2007年數(shù)據(jù));I0是高于1-δ-1時(shí),y=79.7389(/10萬(wàn)例)(I0取2009年數(shù)據(jù))。

        這一估計(jì)數(shù)字與前幾年77,79,49,52.74(/10萬(wàn)例)大體上看是相吻合的,符合實(shí)際規(guī)律。

        參考文獻(xiàn)

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        [3]林道榮主編.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模[M].北京:科學(xué)出版社,2011

        [4]湯在祥等.非線性方程的Excel擬合及其應(yīng)用[J].農(nóng)業(yè)信息科學(xué),2005(2)

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