【摘 要】本文根據(jù)南通市第三人民醫(yī)院提供的病人數(shù)據(jù)，利用Excel擬合工具給出了肺結(jié)核傳染病的SIS 模型以及相應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果，能較好地解釋已有的傳染病數(shù)據(jù)并能對(duì)以后的傳染病趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

【關(guān)鍵詞】SIS模型 Excel擬合 數(shù)值模擬

【中圖分類號(hào)】O29 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）01-0031-01

一 傳染病模型的介紹

本文主要研究肺結(jié)核傳染病，根據(jù)結(jié)核病本身的特點(diǎn)（即無(wú)免疫性），病人痊愈后可能再次感染，即易感者被傳染后變?yōu)楦胁≌?，感病者可以被治愈，但不?huì)產(chǎn)生免疫力，所以仍為易感者。

通常把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：（1）S類，易感者，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；（2）I類，感病者，指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；（3）R類，移出者，指被隔離或因病痊愈而具有免疫力的人。

在本文討論的模型中，僅存在健康者即易感者和感病者，這類傳染病模型稱為SIS模型。設(shè)在t時(shí)刻這兩類人數(shù)分別為S（t），I（t），人員流動(dòng)圖為：S→I→S。不考慮人口的出生與死亡，此環(huán)境中的人口數(shù)量N不變。k是在單位時(shí)間內(nèi)每天每個(gè)病人感染的人數(shù)，S（t）/ t，I（t）/ t是增加率。

為了得出南通市肺結(jié)核病數(shù)學(xué)模型，做如下假設(shè)：（1）南通市人口數(shù)量較多；（2）人群個(gè)體之間無(wú)差異；（3）易感者被傳染機(jī)會(huì)與接觸病者機(jī)會(huì)成正比；（4）疾病的感染率為常數(shù)；（5）考慮出生與死亡的人數(shù)，也不考慮人群的遷入與遷出；（6）感染者以固定的比率痊愈，而重新成為易感者。

為了方便，將S（t），I（t）表示為概率，即人群總數(shù)N=1。則S（t）+I（t）=1。

在（t，t+dt）時(shí)間內(nèi)，感病者增加的人數(shù)恰好等于dt這段時(shí)間內(nèi)受到傳染的人數(shù)：N[I（t+dt）-I（t）]=kNS（t）I（t）dt。

令h為痊愈率（單位時(shí)間內(nèi)痊愈的百分?jǐn)?shù)），顯然 是

疾病的平均傳染周期。滿足的微分方程如下：

=kI（1-I）-hI，I（0）=I0；

當(dāng)k不等于h時(shí)， ，

δ=k/h。

當(dāng)k等于h時(shí)， 。

稱δ=k/h為接觸數(shù)，是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸易感染者的平均人數(shù)。

當(dāng)k趨向于無(wú)窮時(shí)，I（t）=1-δ-1，δ>1；I（t）=0，δ≤1。

由此可以看出，δ=1是一個(gè)閾值。

當(dāng)δ≤1時(shí)，I（t）逐漸減小，最終趨向于0，表示疾病被控制。

當(dāng)δ>1時(shí)，I（t）的增減性取決于I0是低于1-δ-1還是高于1-δ-1，這時(shí)有一個(gè)非零的極限值，疾病不完全消除。

這與實(shí)際很符合，即人口越多，傳染率越高，從得病到治愈時(shí)間越長(zhǎng)，傳染病越容易流行。

二 擬合和數(shù)值解結(jié)果

現(xiàn)在的醫(yī)療水平使得肺結(jié)核的痊愈率h達(dá)到80%以上，這里取平均值82.94%，疾病傳染率k為91.24%。復(fù)發(fā)的可能性很小，但仍會(huì)傳染。可以近似認(rèn)為符合本文所涉及的SIS傳染模型。根據(jù)南通市第三人民醫(yī)院2007年以及2009年病人數(shù)據(jù)，利用Excel進(jìn)行擬合，得到如下結(jié)果：

y為發(fā)病數(shù)，x為年份（分別取2007年和2009年），

y=48.51+18.51cos（0.4993x）-10.89sin（0.4993x）-11.01cos（0.9986x）+8.647sin（0.9986x）+15.25cos（1.4979x）-3.15sin（1.4979x）+1.609cos（1.9972x）-8.818sin（1.9972x）-0.4306cos（2.4965x）+7.459sin（2.4965x）；

y=48.71+10.71cos（0.515x）+19.83sin（0.515x）+13.23cos（1.03x）-5.698sin（1.03x）+0.3473cos（1.545x）-13.99sin（1.545x）+4.945cos（2.06x）-8.863sin（2.06x）

=70.2812（/10萬(wàn)例）（2007年）；

=79.7389（/10萬(wàn)例）（2009年）。

三 結(jié)果的解釋

當(dāng)δ=1.10>1時(shí)，I0是低于1-δ-1時(shí)，y=70.2812（/10萬(wàn)例）（I0取2007年數(shù)據(jù)）；I0是高于1-δ-1時(shí)，y=79.7389（/10萬(wàn)例）（I0取2009年數(shù)據(jù)）。

這一估計(jì)數(shù)字與前幾年77，79，49，52.74（/10萬(wàn)例）大體上看是相吻合的，符合實(shí)際規(guī)律。

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