數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，理解并能夠迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法，是提高解題能力根本之所在，所以我們?cè)谥锌紡?fù)習(xí)過程中一定要注重培養(yǎng)“提煉數(shù)學(xué)思想方法”的習(xí)慣. 整體思想就是中考中常用的數(shù)學(xué)思想方法之一.

整體與局部是對(duì)應(yīng)的，如按常規(guī)不容易求某一個(gè)（或多個(gè)）未知量時(shí)，可打破常規(guī)，把研究對(duì)象的某一部分（或全部）看成一個(gè)整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而從整體上尋求解決問題的新途徑. 這就是我們常說的整體思想.

一、 代數(shù)類整體思想

例1 當(dāng)a+b=4，ab=1時(shí)，求代數(shù)式2a+3ab+2b的值.

【分析】若同學(xué)們想從關(guān)系式a+b=4，ab=1中算出a、b，再代入2a+3ab+2b求值，那將涉及二次方程的求解問題，雖然可行但顯然有點(diǎn)復(fù)雜. 我們不妨分析一下待求式2a+3ab+2b，發(fā)現(xiàn)它可以整理成2（a+b）+3ab，這樣就構(gòu)造出了條件中a+b和ab兩個(gè)整體，將這兩個(gè)整體的數(shù)值代入，即可求出2a+3ab+2b的值.

解：∵a+b=4，ab=1，

∴2a+3ab+2b=2（a+b）+3ab=2×4+3×1=11.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)很難由已知條件確定未知量的具體值時(shí)，我們可以考慮整體代入，這時(shí)就需要將待求式整理成含有“條件中整體”的形式，再整體代入即可.

挑戰(zhàn)自我：當(dāng)x+y=-10，xy=時(shí)，求7x-15xy+7y的值. （答案：-73）

例2 -=3，求的值.

【分析】本題的條件式和待求式，乍一看好像沒有一點(diǎn)聯(lián)系，但若能將條件中的-=3整理成=3，y-x=3xy，就發(fā)現(xiàn)待求式經(jīng)過整理，會(huì)有y-x這個(gè)整體，從而將這個(gè)整體代入求值即可.

【點(diǎn)評(píng)】用整體思想求代數(shù)式的值，這個(gè)整體可能在條件中體現(xiàn)得不明顯，這時(shí)就需要先整理一下條件式，再尋找待求式與整理得到的條件式之間的聯(lián)系.

挑戰(zhàn)自我：已知x-=3，求代數(shù)式x2-3x-1的值. （答案：0）

例3 已知x滿足x2-x-1=0，求代數(shù)式-x3+2x2+2004的值.

【分析】本題的條件式x2-x-1=0可整理成x2=x+1（也可以整理成x2-x=1），對(duì)于待求式-x3+2x2+2004，我們可以整理成x2（2-x）+2004，將x2=x+1整體代入后得（x+1）（2-x）+2004=2+x-x2+2004，發(fā)現(xiàn)結(jié)果中還是含有x，我們?cè)僬w代入一次即可：2+x-（x+1）+2004=2005.

【點(diǎn)評(píng)】用整體思想求代數(shù)式的值時(shí)，可能一次代入不能找到答案，這時(shí)可以嘗試多次代入.

挑戰(zhàn)自我：已知x2-3x-1=0，求x3-x2-7x的值. （答案：2）.

二、 幾何類整體思想

【分析】由圖像中已知條件求出a、b、c顯然行不通，因?yàn)閳D中不具備3個(gè)已知的點(diǎn). 其實(shí)我們可以將待求式a+b+c看成一個(gè)整體，即在二次函數(shù)中當(dāng)x=1時(shí)，會(huì)出現(xiàn)a+b+c，結(jié)合函數(shù)圖像，當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，所以函數(shù)值y為負(fù)數(shù)，A正確；同理，要出現(xiàn)a-b+c這個(gè)整體，即當(dāng)二次函數(shù)中x=-1時(shí)，會(huì)出現(xiàn)a-b+c，結(jié)合函數(shù)圖像，當(dāng)x=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為最高點(diǎn)，函數(shù)值為正數(shù)，B正確；同理，D選項(xiàng)中要出現(xiàn)4a-2b+c，只要二次函數(shù)中x=-2，由二次函數(shù)的對(duì)稱性得x=-2和x=0時(shí)的函數(shù)值相等，而當(dāng)x=0時(shí)，顯然函數(shù)值為正；C選項(xiàng)的式子需要我們先整理一下才能看出整體，不等式左邊其實(shí)是am2+bm，如果在這個(gè)整體上加上c，得am2+bm+c，這個(gè)整體就是當(dāng)函數(shù)中x=m時(shí)的函數(shù)值，右邊a-b，也只要先加上c，得a-b+c，這個(gè)整體是當(dāng)函數(shù)中x=-1時(shí)的函數(shù)值，這樣問題的本質(zhì)其實(shí)是讓我們比較函數(shù)中x=m時(shí)的函數(shù)值和x=-1時(shí)的函數(shù)值的大小，由于當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)有最大值，所以am2+bm+c≤a-b+c，即am2+bm≤a-b，∴m（am+b）≤a-b（m為任意實(shí)數(shù)）成立.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一些函數(shù)中的系數(shù)無法確定時(shí)，我們不妨將待求式看成一個(gè)整體，再結(jié)合函數(shù)圖像整體理解.

例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（3，0），☉P是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓. 若一次函數(shù)y=kx+b的圖像過點(diǎn)A（-1，0）且與☉P相切，則k+b的值為______.

【分析】通過兩點(diǎn)A、B（或者是A、C）確定直線的函數(shù)關(guān)系式，可以求出k+b的值，但計(jì)算相對(duì)龐大. 其實(shí)k+b這個(gè)整體可以理解成當(dāng)函數(shù)y=kx+b中x=1時(shí)函數(shù)值的大小.

【點(diǎn)評(píng)】此題看起來是要我們具體求出k、b，此計(jì)算較為復(fù)雜. 其實(shí)我們可以將k+b看成一個(gè)整體，理解為當(dāng)函數(shù)y=kx+b中x=1時(shí)，函數(shù)值的大小.

整體思想是中考常考的數(shù)學(xué)思想方法，通常題干會(huì)給出各種各樣關(guān)于未知數(shù)的關(guān)系式，利用常規(guī)方法解題，甚至求不出具體的數(shù)值，這時(shí)就需要從一個(gè)整體的角度分析，挖掘已知式子和待求式子的整體結(jié)構(gòu)特征，將已知關(guān)系式或?qū)⑹阶舆M(jìn)行適當(dāng)變形后作為整體直接代入求值式中計(jì)算，一次代入若沒能得到結(jié)果，還可能需要代入第二次. 這種通過整理、變形構(gòu)造整體，再整體求值的思想往往能使很多問題變得“柳暗花明”！

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）