化歸思想也稱轉(zhuǎn)化思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，化歸思想的應(yīng)用無處不在，當(dāng)感到思維受阻時(shí)，可以換一個(gè)角度去思考. 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題，可以提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維水平和解題能力. 現(xiàn)以2013年中考試題為例加以說明.

一、 化未知為已知

例1 （2013·臨沂）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a﹡b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a

例如4*2，因?yàn)?>2，所以4*2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根，則x1*x2=______.

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2.

①當(dāng)x1=3，x2=2時(shí)，x1*x2=32-3×2=3；

②當(dāng)x1=2，x2=3時(shí)，x1*x2=3×2-32=-3.

故答案為：3或-3.

【點(diǎn)評(píng)】解決新定義類問題，首先應(yīng)準(zhǔn)確理解新定義概念，深刻揭示新定義的內(nèi)涵和本質(zhì)，并從中獲取新的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)、運(yùn)算法則或解題思路，進(jìn)而用類比的方法將他們轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)解決. 這種思想體現(xiàn)了化未知為已知的解題策略.

二、 化數(shù)為形

例2 （2013·揚(yáng)州）方程x2+3x-1=0的根可視為函數(shù)y=x+3的圖像與函數(shù)y= 的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則方程x3+2x-1=0的實(shí)根x0所在的范圍是（ ）.

A. 0

C.

【解析】依題意得方程x3+2x-1=0的實(shí)根是函數(shù)y=x2+2與y=的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖1所示，它們的交點(diǎn)在第一象限.

當(dāng)x=時(shí)，y=x2+2=2，y==4，此時(shí)拋物線的圖像在反比例函數(shù)下方；

當(dāng)x=時(shí)，y=x2+2=2，y==3，此時(shí)拋物線的圖像在反比例函數(shù)下方；

當(dāng)x=時(shí)，y=x2+2=2，y==2，此時(shí)拋物線的圖像在反比例函數(shù)上方；

當(dāng)x=1時(shí)，y=x2+2=3，y==1，此時(shí)拋物線的圖像在反比例函數(shù)上方.

故方程x3+x-1=0的實(shí)根x0所在范圍為：

【點(diǎn)評(píng)】本題是把求一元二次方程解的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題，解決此類問題時(shí)應(yīng)注意函數(shù)與方程可以互相轉(zhuǎn)化，二者結(jié)合可優(yōu)勢(shì)互補(bǔ). 利用方程與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，可將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，使解題變得簡單.

三、 化局部為整體

例3 （2013·大慶）如圖2，三角形ABC是邊長為1的正三角形，與所對(duì)的圓心角均為120°，則圖中陰影部分的面積為______.

【解析】如圖2，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接OA、OB、OC，線段OA將陰影的上方部分分成兩個(gè)弓形，將這兩個(gè)弓形分別按順時(shí)針及反時(shí)針繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后，陰影部分便合并成△OBC，它的面積等于△ABC面積的三分之一.

∴S陰影部分=××12=.

故答案為：.

【點(diǎn)評(píng)】通過轉(zhuǎn)化得出陰影部分的面積恰好為△ABC面積的三分之一是解答此題的關(guān)鍵. 利用平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱化零為整進(jìn)行思考，要正確把握整體與局部之間的關(guān)系，善于發(fā)現(xiàn)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示轉(zhuǎn)化的規(guī)律.

四、 化空間圖形為平面圖形

例4 （2013·東營） 如圖3，圓柱形容器的高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3 m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計(jì)）.

解：將圓柱沿其母線剪開，壁虎在圓柱展開圖4的矩形兩邊中點(diǎn)的連線上.過A作關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則線段A′B的長度為壁虎捉蚊子的最短距離，過B作BM⊥AA′于點(diǎn)M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2 m，BM= m，所以A′B==1.3 m，即壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

【點(diǎn)評(píng)】沿圓柱表面的最短線段長度問題，常常是要將它展開轉(zhuǎn)化成平面圖形問題. 本題通過作出關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)，把同側(cè)線段長度和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段長度和，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即可解決問題，軸對(duì)稱在此起到轉(zhuǎn)化作用.

五、 化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形

例5 （2013·長春）探究：如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點(diǎn)E. 若AE=10，求四邊形ABCD的面積.

應(yīng)用：如圖6，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點(diǎn)E. 若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為______.

解：如圖5，過點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F.

∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四邊形AFCE為矩形，

∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°.

∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，

又AB=AD，∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=AE，∴四邊形AFCE為正方形，

∴S四邊形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100.

如圖6，過點(diǎn)A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，連接AC.

則∠ADF+∠ADC=180°.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC·AE+CD·AF=×10×19+×6×19=95+57=152.

【點(diǎn)評(píng)】將不規(guī)則圖形割補(bǔ)成規(guī)則圖形，是求不規(guī)則圖形面積的常用方法. 問題（1）是通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形，將不規(guī)則的四邊形轉(zhuǎn)化為正方形；問題（2）是通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形，把四邊形轉(zhuǎn)化為同高的兩個(gè)三角形.

轉(zhuǎn)化就是不斷地把一個(gè)尚待解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，把一個(gè)復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較簡單的問題，這就是數(shù)學(xué)解題的通法，也是數(shù)學(xué)解題的有力武器！不斷轉(zhuǎn)化，不斷向已知靠攏，最終使問題獲解，這是轉(zhuǎn)化的精髓.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）