因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題是中考試卷的考查熱點(diǎn). 解決這類問題時(shí)，我們常常需要分三種情況討論，即究竟哪個(gè)角是直角.

一、 構(gòu)造輔助線，借用相似解決問題

例1 （2013·山西?。┤鐖D1，拋物線y=x2-x-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， 0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.

（1） 求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N. 試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；

（3） 當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

1. 第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQ=DC列方程. 要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值作一個(gè)準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論.

2. 第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形.

【解答過程】（1） 由y=x2-x-4=（x+2）（x-8），得A（-2，0），B（8，0），C（0，-4）.

【技巧說明】討論直角的時(shí)候，通常題目討論的直角三角形的兩條直角邊并不與坐標(biāo)軸平行（如圖4），這時(shí)我們可構(gòu)造如圖5的基本圖形，將∠ACB是不是直角的討論，轉(zhuǎn)化為討論△ACF與△CBE是否相似. 將斜著的線段AC、CB，轉(zhuǎn)化為平行于坐標(biāo)軸的線段AF、CF、CE、BE.

二、 借用直徑所對的圓周角是直角，討論三角形有沒有可能是直角三角形

（1） 當(dāng)k=-2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；

（2） 要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；

（3） 設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值.

【思路點(diǎn)撥】

1. 由點(diǎn)A（1，k）或點(diǎn)B（-1，-k）的坐標(biāo)可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是y=. 題目中的k都是一致的.

2. 由點(diǎn)A（1，k）或點(diǎn)B（-1，-k）的坐標(biāo)還可以知道，A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O.

3. 根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當(dāng)Q落在☉O上時(shí)，△ABQ是以直徑AB為斜邊的直角三角形.

【解答過程】（1） 因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像過點(diǎn)A（1，k），所以反比例函數(shù)的解析式是y=. 當(dāng)k=-2時(shí)，所求解析式是y=-.

（2） 在反比例函數(shù)y=中，如果y隨x增大而增大，那么k<0，且x的范圍是（-∞，0）或（0，∞）.

當(dāng)k<0時(shí)，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大.

【技巧說明】要判定∠AQB=90°，只需保證OQ=OA=OB即可，因?yàn)楫?dāng)OB=OQ、OA=OQ時(shí)，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可證明∠AQB=90°. 這也是直角三角形常用的判定方法之一.

當(dāng)然，討論直角三角形的時(shí)候，如果能設(shè)出三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，也可以利用兩點(diǎn)間距離公式分別求出三角形三邊長，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學(xué)）