一次函數(shù)和反比例函數(shù)是初中數(shù)學兩種重要的基本函數(shù)，也是各地中考的重要內(nèi)容. 此類題目的呈現(xiàn)方式比較多，其中蘊含了一些巧妙的思想方法，為同學們的解題提供了一定的思考空間. 下面以幾道近年的中考題為例，談?wù)勅绾吻山怅P(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的問題，以期對同學們的復習有所幫助.

類型一 巧解反比例函數(shù)中的面積問題

例1 （2011·陜西）如圖1，過y軸正半軸上的任意一點P，作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=-和y=的圖像交于點A和點B，若點C是x軸上任意一點，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】此題的一般解法可設(shè)A點坐標為

-，m，B點坐標為

，m（m>0），求出AB=，進而求得△ABC的面積為·m·=3. 實際上如果利用同底等高，將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ABO的面積，再利用k的意義，會更簡單.

解：連接AO、BO，則S△ABO=S△APO+S△BPO，由反比例函數(shù)y=中k的幾何意義，可知S△APO==2，S△BPO==1，所以S△ABC=S△ABO=3.

【點評】對于雙曲線y=（k≠0），k有很重要的意義. 雙曲線上任一點（x，y）到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為x·y=xy，也就是說k的幾何意義是雙曲線上任一點到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積. 因此在解決有關(guān)反比例函數(shù)中的面積問題時，要充分利用k的幾何意義，從而達到巧解的目的.

類型二 巧解取值范圍問題

例2 （2012·四川宜賓）如圖2，一次函數(shù)y1=ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y2=（k≠0）的圖像交于A（1，4）、B（4，1）兩點，若使y1>y2，則x的取值范圍是______.

【分析】我們首先想到是將一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式求出，然后解不等式，但是出現(xiàn)了分式不等式（或二次不等式），同學們不會解，思路受阻. 此時我們可以借助函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，巧妙地將y1>y2在圖像上體現(xiàn)為一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的上方的部分.

解：由圖像知，y1>y2的部分包括反比例函數(shù)的圖像在第三象限時和在第一象限內(nèi)的A、B兩點之間，所以x的取值范圍是x<0或1

例3 （2013·甘肅蘭州）已知A（-1，y1），B（2，y2）兩點在雙曲線y=上，且y1>y2，則m的取值范圍是（ ）.

A. m<0 B. m>0

C. m>- D. m<-

【分析】此題常規(guī)解法可將A（-1，y1）、B（2，y2）兩點分別代入雙曲線y=，求出y1與y2的表達式，再根據(jù)y1>y2，列出關(guān)于m的不等式即可解答. 本題若結(jié)合反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解，則更簡捷.

解：雙曲線y=的圖像當k>0時，圖像在一、三象限，當k<0時，圖像在二、四象限，題中A點和B點的橫坐標分別為-1和2，要使y1>y2，只能是圖像在二、四象限的情況，所以3+2m<0，即m<-.

【點評】解決此類求不等式成立的自變量取值范圍的問題，通?？梢岳脭?shù)形結(jié)合的數(shù)學思想進行轉(zhuǎn)化，達到巧解的目的.

類型三 巧設(shè)點的坐標

例4 （2013·廣西南寧）如圖3，直線y=x與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點A，將直線y=x向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點B，若OA=3BC，則k的值為（ ）.

A. 3 B. 6

C. D.

【分析】本題可首先求出平移后直線的解析式，然后分別聯(lián)立方程組求出點A和點B的橫坐標，根據(jù)△OAE∽△BCF可得A、B的橫坐標的比等于OA∶BC，然后列出方程求解即可. 實際上，根據(jù)相似三角形的比例性質(zhì)得出A、B的橫坐標的比等于OA∶BC后，可以巧設(shè)A、B的坐標分別為m

，m、

，+4（m>0），再根據(jù)雙曲線上點的坐標特征，列方程求出m的值，進而求出k的值.

解：直線BC的解析式為y=x+4. 過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點B作BF⊥y軸，垂足為F，容易得到△OAE～△BCF，則=，由于OA=3BC，所以O(shè)E=3BF，即A點的橫坐標為B點的橫坐標的3倍，因此由題意可以設(shè)A、B的坐標分別為m

，m，

，+4（m>0），而A、B兩點都在雙曲線y=上，可得m·m=·

+4，解得m=3，所以k==.

【點評】此類題目較難，可以根據(jù)點的坐標之間的關(guān)系，巧設(shè)點的坐標求解，從而達到簡化計算的目的.

類型四 巧用對稱性

例5 （2013·湖北鄂州）已知正比例函數(shù)y=-4x與反比例函數(shù)y=的圖像交于A、B兩點，若點A的坐標為（x，4），則點B的坐標為______.

【分析】本題可先根據(jù)正比例函數(shù)的解析式求出A點坐標，進而求出反比例函數(shù)的解析式，然后將兩函數(shù)聯(lián)立，解方程組得出B點坐標. 實際上，正比例函數(shù)圖像和反比例函數(shù)圖像的兩個交點是關(guān)于原點對稱，求出A點的坐標后，直接利用此對稱性可求出點B的坐標.

解：由點A（x，4）在y=-4x上，可求出A點坐標為（-1， 4），由對稱性可知B點的坐標為（1，-4）.

例6 （2013·陜西）如果一個正比例函數(shù)的圖像與一個反比例函數(shù)y=的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x2-x1）（y2-y1）的值為______.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像的交點坐標關(guān)于原點成中心對稱，可以得到x1和x2、y1和y2分別是互為相反數(shù)的關(guān)系，然后代入所求式子化簡，再根據(jù)圖像上點的坐標的特征求值.

解：由對稱性得x2=-x1，y2=-y1，所以（x2-x1）（y2-y1）=（-x1-x1）（-y1-y1）=4x1y1，又由A點在y=的圖像上，所以x1y1=6，即（x2- x1）（y2-y1）=24.

【點評】反比例函數(shù)圖像與正比例函數(shù)圖像都關(guān)于原點成中心對稱，因此它們的交點也關(guān)于原點對稱，巧用這種對稱性是解決此類問題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）