幾何學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)中最古老、最成熟的一個(gè)分支.直到18世紀(jì)，還是由歐幾里得幾何一統(tǒng)天下，即使解析幾何出現(xiàn)了，也未改變歐氏幾何的實(shí)質(zhì)內(nèi)容.進(jìn)入19世紀(jì)，一場(chǎng)幾何學(xué)領(lǐng)域的革命悄然開(kāi)始了.

對(duì)于第五公設(shè)的思考

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中給出了五個(gè)公設(shè)（卷首介紹），其中第五個(gè)公設(shè)是“同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交”.長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來(lái)，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn).有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書(shū)中直到第29個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒(méi)有使用.也就是說(shuō)，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前28個(gè)命題.因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)？還有的數(shù)學(xué)家們又嘗試用反證法討論第五公設(shè).到了19世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到，應(yīng)該否認(rèn)第五公設(shè)，引入新的幾何理念，這就是幾何革命的開(kāi)始，非歐幾何也隨之誕生.

非歐幾何的誕生

德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯否定了第五公設(shè)，從1813年開(kāi)始建立新的幾何學(xué)，并定名為“非歐幾何”.可惜他生前有關(guān)的信件和筆記一直沒(méi)有發(fā)表，直到去世后才引起人們的注意.

羅巴切夫斯基的非歐幾何

首先有系統(tǒng)著作發(fā)表的要算俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（ 1792 -1856）.1826年，他在喀山大學(xué)宣讀了關(guān)于幾何原理概述的論文.1829年，他又在《喀山通報(bào)》上發(fā)表《論幾何原理》，這成為世界上最早發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn).新幾何學(xué)公布后，遭到許多人的攻擊，被指責(zé)為“荒唐的笑話”.但他卻始終不妥協(xié)，表現(xiàn)出非凡的勇氣.羅巴切夫斯基晚年雙目失明，仍以口述的方式完成他最后的著作《泛幾何學(xué)》，對(duì)非歐幾何給出了全新的說(shuō)明.因此，現(xiàn)在人們把由他發(fā)展的非歐幾何稱(chēng)為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱(chēng)“羅氏幾何”.

三種幾何的比較

非歐幾何的產(chǎn)生和發(fā)展，引起了人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入探討，影響著現(xiàn)代自然科學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展.

黎曼的非歐幾何

1854年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（ 1826 - 1866）在哥廷根大學(xué)作了題為《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的報(bào)告，提出了另一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的新幾何體系.現(xiàn)在人們稱(chēng)它為黎曼幾何，簡(jiǎn)稱(chēng)“黎氏幾何”.

黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一，為數(shù)學(xué)的發(fā)展立下了豐功偉績(jī). 他一生中發(fā)表的論文著作雖然不多，卻異常深刻，篇篇堪稱(chēng)經(jīng)典.他是復(fù)變函數(shù)論的奠基人.在素?cái)?shù)分布中，他提出的“黎曼猜想”，是數(shù)學(xué)中懸而未決的最重要的猜想.