在三角形里求角度的問題，都離不開三角形內(nèi)角和定理以及由這個定理推導(dǎo)出來的外角性質(zhì). 熟記定理并靈活使用才能順利解決所給的問題. 下面讓我們由課本例題與習(xí)題的鏈接分析來體會在三角形里的用角策略.

【例題展示】蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級下冊（下文用課本指代）第29頁例2

如圖1，△ABC的角平分線BD，CE相交于點(diǎn)P，∠A=70°，求∠BPC的度數(shù).

【例題精析】

課本例題的思路：

根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°推導(dǎo)，在△ABC中，先推導(dǎo)出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再利用角平分線，求出∠1+∠2的度數(shù)，在△PBC中，再利用三角形內(nèi)角和定理，得出∠BPC的度數(shù).

【其他方法】

在求出∠1+∠2的度數(shù)后，也就知道了∠3+∠4的度數(shù)，再借助外角性質(zhì)——三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，推導(dǎo)出∠BPC=∠PDC+∠4，∠PDC=∠A+∠3，最終得到∠BPC=∠3+∠4+∠A，也可算出∠BPC的度數(shù).

本題的特點(diǎn)，就是三角形內(nèi)角和的靈活運(yùn)用，借助外角計(jì)算，思路比較簡捷，但觀察圖形需要具有一定的做題經(jīng)驗(yàn)，本章節(jié)也有習(xí)題與此題思路類似，如課本第40頁第9題，第42頁第20題.

由本題引發(fā)的深度思考：使用兩種不同的方法可以充分體現(xiàn)三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)的應(yīng)用，并且還可發(fā)現(xiàn)三角形兩條內(nèi)角平分線的夾角只與第三個角的大小有關(guān)，即∠BPC=90°+∠A.

【習(xí)題鏈接】課本第40頁第9題

如圖2，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，求∠BDC的度數(shù).

【思路引導(dǎo)】

方法1：同29頁例2的課本解法，始終利用三角形內(nèi)角和.

先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A =118°，

再求出∠3+∠4=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=63°，

最后求出∠BDC=180°-（∠3+∠4）=117°.

方法2：延長BD交AC于點(diǎn)E，如圖3，借助三角形的一個外角等于和它不相鄰的內(nèi)角和，得∠BDC=∠DEC+∠2，∠DEC=∠A+∠1，

最終得到∠BDC =∠1+∠2+∠A，

也可算出∠BDC的度數(shù).

（同理，延長CD交AB于點(diǎn)F，也可求解，在此不贅述）

課本第42頁第20題

（1） 如圖4①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)；

（2） 如圖4②，△A′B′C′的兩個外角∠C′B′D，∠B′C′E的平分線相交于點(diǎn)O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度數(shù)；

（3） 上面（1）、（2）兩題中的∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系，若∠A=∠A′=n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的關(guān)系？這個結(jié)論你是怎樣得到的？

【思路引導(dǎo)】

（1） 同課本第29頁例2，可求∠BOC

=110°.

（2） 因?yàn)榇藛柵c外角相關(guān)，所以借助外角求出∠C′B′D=∠A′+∠A′C′B′，∠B′C′E=∠A′+∠A′B′C′，而∠A′+∠A′C′B′+∠A′B′C′=180°.

再根據(jù)角平分線，求出∠1+∠2=（∠C′B′D

+∠B′C′E）=（180°+∠A′）=90°+∠A′.

最后，利用三角形內(nèi)角和，求出

∠B′O′C′=180°-（∠1+∠2）=90°-∠A′=70°.

另一種解法：如圖5，連接A′O′，

利用外角可求：

∠3=∠B′A′O′+∠B′O′A′，

∠4=∠C′A′O′+∠C′O′A′，

即∠3+∠4=∠B′A′C′+∠B′O′C′.

而∠3+∠4=∠1+∠2=180°-∠B′O′C′，

故180°-∠B′O′C′=∠B′A′C′+∠B′O′C′，

從而∠B′O′C′=90°-∠B′A′C′=70°.

（3） 由結(jié)果不難看出

∠BOC+∠B′O′C′=180°，

若∠A=∠A′=n°，可推出

∠BOC=90°+∠A=90°+n°，

∠B′O′C′=90°-∠A′=90°-n°，

故∠BOC+∠B′O′C′=180°，

與給定的n值的大小無關(guān).

由此題引發(fā)的思考：此題旨在探究三角形兩條角平分線夾角的度數(shù)，經(jīng)過推導(dǎo)計(jì)算發(fā)現(xiàn)夾角只與第三個角的度數(shù)相關(guān). 題中先給出的是兩個內(nèi)角的平分線，繼而擴(kuò)展到兩個外角的平分線，事實(shí)上還可延伸到一個內(nèi)角和一個外角的平分線. 解決此題需靈活使用三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)的知識，同時，記清基本結(jié)構(gòu)圖，便于合理添加輔助線，快速抵達(dá)問題的心臟. 如圖6所示，外角的結(jié)構(gòu)圖像一面三角旗，再看看圖7的燕尾形，在這里面存在∠BDC=∠BAC+∠B+∠C的結(jié)論，可參考圖中輔助線求證.

【例題延展】

課本第42頁20題的延伸：如圖8，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)O，∠A=40°，求∠BOC的度數(shù).

思路引導(dǎo)：

因?yàn)椤?=∠ABC，∠2=∠ACD，

∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠1+∠BOC，

所以∠BOC=∠2-∠1=（∠ACD-∠ABC）=∠A.

【變式提升】

1. 如圖9，在△ABC中，∠A=96°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依次類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于點(diǎn)A5，則∠A5的度數(shù)為（ ）.

A. 19.2° B. 8°C. 6°D. 3°

2. 如圖10，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC與∠ACB的平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的平分線交于點(diǎn)D2，依次類推，∠ABD4與∠ACD4的平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（ ）.

A. 56° B. 60°C. 68°D. 94°

參考答案：

1. D 2. A

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學(xué)）