張靜

[摘要]：分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，同學們在學習分式方程后，常常會對這兩個概念混淆不清，認為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事，事實上并非如此。

[關鍵詞]：增根 整式方程 最簡公分母 方程化

在八年級數(shù)學分式這一章，解分式方程中會出現(xiàn)增根的現(xiàn)象而導致分式方程無解，因此解分式方程時必須檢驗。而同學們在做相關的練習題時，有時會遇到無解，有時會遇到增根，那么無解與增根到底有怎樣的區(qū)別呢？近幾年隨著考試難度的降低，這一知識點逐漸淡化出很多人的視線。總體上說分式方程的增根和分式方程分無解是兩個不同的概念。

一、概念的意義不同

分式方程的增根是指解分式方程時，在去分母的過程中，方程兩邊都乘以了一個可以使分母為零的整式，從而擴大了未知數(shù)的取值范圍而產生的未知數(shù)的值。它是化簡后整式方程的根，但不是分式方程的根，所以分式方程求解中的檢驗必不可少。分式方程的無解是無論未知數(shù)取何值，都不能使方程左右兩邊的值相等。它包含著兩種情況：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而使原方程無解.現(xiàn)舉例說明如下。

二、分式方程有增根

三、分式方程無解

1.無解=增根

很多同學受思維定式的影響，會認為只要x的值是原分式方程的增根，原分式方程無解。事實上原分式方程無解分兩種情況討論。①分母=0使分式方程無解；②化簡后的整式方程無解，使分式方程無解。

如：把原方程去分母得m-3=x-1

對于這道題而言化簡后的整式方程m-3=x-1即x=m-2永遠有解，所以無解和有增根求得的未知數(shù)的值是一樣的。

只需把增根x=1代入m-3=x-1中得m=3

我們順利地解決了這道題，接下來看下面的例子。

2.無解≠增根

分析：從兩方面考慮分式方程無解的條件是：①去分母后所得整式方程無解，即（a-1）x=a無解。

對于這個含字母系數(shù)的整式方程（a-1）x=a，當a-1=0時，即a=1會出現(xiàn)0x=1的情況，此時方程無解。即無論x取何值，此時都不存在未知數(shù)的值使分式方程的左邊=右邊，我們說分式方程無解。

此時我們要注意不能求出一種情況就認為自己已經找到了正確答案，此時還要考慮第②種情況：分式方程有增根，即當x=0時方程無解，并求出參數(shù)a的值為0。

這告訴我們兩點：①當方程中出現(xiàn)無解時要特別小心；②當化簡后的整式方程未知數(shù)的系數(shù)含有字母時，更應小心。一定要特別留心未知數(shù)的系數(shù)是否含有字母，若未知數(shù)的系數(shù)含有字母時，我們一定要小心。

所以增根與無解既有聯(lián)系又有區(qū)別，考慮問題須全面縝密。方程無解要比方程有增根考慮的情況要多，參數(shù)取得值也多。當然這種情況只限于參數(shù)做了未知數(shù)的系數(shù)。否則取得的值就和上面前兩個例子一樣了。

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